Высшая математика для 1 и 2 курса

Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Конспект лекций

Минск 2010

Высшая математика : конспект лекций. – Минск : БГТУ, 2010. –

197с.

Вконспекте лекций приведена программа по высшей математике, изложены основные теоретические сведения по курсу высшей математики, решения типовых примеров с рекомендациями, задания для самостоятельного решения, также содержится рекомендуемая литература и приложение.

Предназначен для студентов первого и второго курсов.

2

3.Дифференциальное исчисление функции одной переменной …. 47

3.1.Производная. Правила вычисления производных. Таблица

4.4.Асимптоты графика функции ……………………………….. 58

4.5.Выпуклость и вогнутость графика функции ……………….. 60

3

6.2. Вычисление определенного интеграла методом интегри-

4

5

ВВЕДЕНИЕ

Электронный конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» предназначен для оказания помощи студентам первого и второго курсов при выполнений домашних заданий и при подготовке к экзаменам

Издание полностью соответствует образовательному стандарту и программе вышеуказанной дисциплины, содержит программу, изложение теоретических вопросов программы, решение типовых задач с подробными пояснениями и рекомендациями, задачи для самостоятельного решения по 13-ти основным разделам высшей математики, приложение и список рекомендуемой литературы. По каждой теме в теоретическом разделе приведены основные понятия и определения, теоремы и формулы, необходимые для выполнения контрольных работ. Затем приведены образцы решения задач, аналогичных задачам контрольных работ. Структура учебно-методического пособия позволит студенту самостоятельно проработать материал и выполнить контрольные работы, не прибегая к посторонней помощи.

Содержание рукописи соответствует уровню современных образовательных технологий, служит рационализации учебного процесса, позволяет студентам самостоятельно усваивать учебный материал, способствует повышению качества подготовки специалистов в высших учебных заведениях.

Предлагаемый материал излагается в логической последовательности, что позволяет при изучении определенной темы использовать усвоенные знания по предыдущим разделам. Работа написана ясным математическим языком. Удачно сочетается строгость изложения и доступность материала. Многие примеры для наглядности усвоения иллюстрируются рисунками.

6

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-методическое пособие по дисциплине «Высшая математика» предназначено для оказания помощи студентам заочной формы обучения химико-технологических специальностей при выполнении контрольных работ и при подготовке к экзаменам, для которых на изучение курса высшей математики типовыми учебными планами предусмотрено 524–570 часов.

Издание полностью соответствует образовательному стандарту и программе вышеуказанной дисциплины, содержит программу, изложение теоретических вопросов программы, решение типовых задач с подробными пояснениями и рекомендациями, контрольные задания по 13-ти основным разделам высшей математики, приложение и список рекомендуемой литературы. По каждой теме в теоретическом разделе приведены основные понятия и определения, теоремы и формулы, необходимые для выполнения контрольных работ. Затем приведены образцы решения задач, аналогичных задачам контрольных работ. Структура учебно-методического пособия позволит студенту самостоятельно проработать материал и выполнить контрольные работы, не прибегая к посторонней помощи.

Содержание рукописи соответствует уровню современных образовательных технологий, служит рационализации учебного процесса, позволяет студентам самостоятельно усваивать учебный материал, способствует повышению качества подготовки специалистов в высших учебных заведениях.

Предлагаемый материал излагается в логической последовательности, что позволяет при изучении определенной темы использовать усвоенные знания по предыдущим разделам. Работа написана ясным математическим языком. Удачно сочетается строгость изложения и доступность материала. Многие примеры для наглядности усвоения иллюстрируются рисунками.

В процессе подготовки к выполнению контрольной работы рекомендуется изучить теоретические сведения, разобраться с решениями предложенных типовых задач, решить несколько аналогичных задач, ответы на которые известны, и только после этого переходить к выполнению контрольной работы.

7

ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1.Матрицы. Действия над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица.

2.Определители второго и третьего порядков, их свойства и вычисление. Определители n-го порядка.

3.Обратная матрица. Ранг матрицы.

4.Системы линейных уравнений. Матричная форма записи. Совместность и несовместность систем. Теорема Кронекера– Капелли. Решение систем методами Крамера, Гаусса и обратной матрицы.

5.Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.

6.Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат в пространстве. Ортонормированная тройка векторов. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме.

7.Линейно независимые системы векторов. Базис. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису.

8.Скалярное произведение векторов и его свойства.

9.Векторное произведение двух векторов и его свойства. Вычисление площади треугольника, построенного на двух векторах.

10.Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление объема пирамиды, построенной на трех векторах.

11.Взаимное расположение векторов: перпендикулярность, параллельность, компланарность, угол между векторами.

12.Декартовая и полярная системы координат на плоскости. Уравнение линий на плоскости.

13.Различные формы уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости.

14.Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, па-

рабола.

15.Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

Тема 2. Введение в математический анализ

1. Множества и функции. Области определения и изменения функции. Способы задания. Классификация функций. Основные эле-

8

ментарные и элементарные функции. Сложная функция. Функции, заданные параметрически и неявно.

2.Окрестность конечной и бесконечно удаленной точки. Конечный и бесконечный пределы функции. Односторонние пределы.

3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

4.Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей.

5.Определение касательной к графику функции. Число e. Натуральные логарифмы. Первый и второй замечательные пределы.

6.Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые. Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.

7.Непрерывность функции в точке и на отрезке. Критерий непрерывности функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность.

2.Основные правила дифференцирования. Производная сложной

иобратной функций.

3.Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

4.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Основные свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

5.Производные и дифференциалы высших порядков.

6.Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Коши, Лагранжа). Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

Тема 4. Исследование функций с помощью производных

1.Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания дифференцируемой функции.

2.Понятие о локальном экстремуме функции. Необходимые условия экстремума дифференцируемой и непрерывной функций.

3.Достаточные условия экстремума по первой и второй производной. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций на замкнутом промежутке.

9

4.Асимптоты графика функции. Вертикальные и наклонные асимптоты и их нахождение.

5.Выпуклые и вогнутые функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости функций. Точки перегиба.

6.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

Тема 5. Неопределенный интеграл

1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов.

2.Методы нахождения неопределенных интегралов: интегрирование по частям и заменой переменной.

3.Интегрирование рациональных функций.

4.Интегрирование простейших иррациональных функций и тригонометрических выражений.

Тема 6. Определенный интеграл, несобственные интегралы

1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (о площади криволинейной трапеции, о нахождении пути, пройденного материальной точкой). Определенный интеграл и его основные свойства.

2.Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.

3.Замена переменной в определенном интеграле.

4.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

5.Приложение определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физические приложения определенного интеграла.

6.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.

Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.Дифференциальные уравнения. Основные понятия и определения.

2.Дифференциальные уравнения первого порядка (решение, общее решение, начальные условия, частное решение). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

10