Левданский_Прикладная механика

1

Курс лекций по дисциплине «Прикладная механика» для студентов химико-технологических специальностей

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

2

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Сопротивление материалов изучает поведение различных материалов при действии на них сил и указывает, как подобрать для каждого элемента конструкции надлежащий материал и поперечные размеры при условии полной надежности работы и наибольшей дешевизны конструкции.

Реальные элементы конструкций и деталей машин при действии на них внешних сил изменяют свою форму, и размеры отсюда вытекают задачи курса “Сопротивление материалов“ как науки о прочности, жесткости и устойчивости.

Прочность – способность конструкции, а также ее частей воспринимать заданную нагрузку, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.

Жесткость – способность конструкции, и ее частей под воздействием заданной нагрузки сохранять свои размеры и форму в установленных пределах.

Устойчивость – способность конструкции и ее частей сохранять под воздействием заданной нагрузки первоначальную форму упругого равновесия.

Схематизация.

Расчетная схема – реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей.

Схематизация свойств материала:

1)Материалы рассматривают как однородную сплошную среду.

2)Среда считается абсолютно упругой.

3)Сплошная среда считается изотропной (т.е. свойства по любым направлениям одинаковы).

Схематизация геометрии объекта.

Многообразие форм реальных объектов можно свести к брусу и оболочке.

Брус – тело, одно из измерений которого (длина) много больше двух других.

Взависимости от формы геометрической оси, брусья делятся на прямые

икривые. Брус с прямолинейной осью называется стержнем. Брус, работающий на изгиб, называется балкой.

Оболочка – тело, одно из измерений которого (толщина) много меньше двух других. Если поверхность оболочки плоскость, то расчетный объект называют пластиной.

Схематизация сил.

Различают следующие силовые факторы: сосредоточенная сила, сосредоточенный момент, распределенная нагрузка.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

3

Внешние силовые факторы.

Объект расчета рассматривается изолированно от окружающих его тел, действие же последних на него заменяют силами, которые принято называть внешними. К внешним силам относятся и реакции связей (реактивные силы – действие на тело опор, защемления)

Внутренние силовые факторы.

Непосредственной причиной разрушения конструкций и деформаций являются внутренние силы, вызванные действием внешних сил (внутренние силы взаимодействия атомов и молекул не учитываются).

В расчетные формулы по определению напряжений и деформаций подставляются величины не внешних, а внутренних сил и моментов.

Все тела состоят из отдельных частиц, между которыми существуют силы взаимодействия. При деформации тела расстояние между частицами изменяются. При этом возникают дополнительные силы взаимодействия упругие силы, которые стремятся вернуть частицы в первоначальное положение. Эти силы называют внутренними силами (возрастают нагрузки, следовательно, возрастают внутренние силы (до определенной величины, дальше разрушение)).

Основные принципы сопротивления материалов.

В основе расчетов сопротивления материалов лежит ряд общих предпосылок или принципов. Такими принципами являются: принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил, принцип начальных размеров и принцип Сен-Венана.

Принцип независимости действия сил указывает, что общий результат от действия нескольких сил равен сумме результатов от действия каждой силы взятой в отдельности, при этом общий результат действия сил не зависит от порядка их приложения. В соответствии с этим принципом, напряжения и перемещения, возникающие в теле от действия нескольких сил, можно определить как их сумму от действия каждой отдельной силы.

Принцип начальных размеров предполагает, что при нагружении твердого тела его геометрические размеры и форма изменяются не значительно и при составлении уравнений равновесия деформированного тела его деформациями можно пренебречь (т.е. рассматривается тело как абсолютно жесткое не деформируемое). Исключением являются мгновенно изменяемые системы, которые в некотором положении допускают перемещения элементов, не сопровождающиеся деформациями.

Принцип Сен-Венана утверждает, что особенности приложения внешних сил к телу проявляются в малом объеме тела вокруг нагруженного участка на расстояниях, не превышающих линейных размеров поперечного сечения тела.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

4

ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ

Как уже указывалось, в расчетные формулы подставляются только внутренние силовые факторы. Величины внутренних силовых факторов определяются с использованием метода сечений. Метод сечений основан на том, что рассматриваемое тело под действием внешних сил находится в равновесии. Следовательно, в равновесии должна находиться и любая часть этого тела.

Рассмотрим брус, к которому приложена система внешних сил, удовлетворяющая условиям равновесия (рис.1). Мысленно рассечем наш брус на две части (рис.2) и одну из них отбросим. В общем случае внешние силы действующие на оставленную часть бруса не будут удовлетворять

условиям равновесия. Однако если весь брус находится в равновесии, то в равновесии должна находиться и оставленная часть. Так как связи между частями устранены, то заменим действие правой части бруса на левую и левой на правую системой сил (внутренних сил) в этом сечении (рис 2). Следовательно, оставленная часть бруса удерживается в равновесии за счет внутренних сил действующих в сечении, разделившем брус на две части. По принципу действия и противодействия внутренние силы взаимны. Правая

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

5

часть действует на левую так же, как левая на правую. Внутренние силы считаются поверхностными силами, то есть принимается, что частицы, расположенные за сечением, во взаимодействии не участвуют. Рассмотрим оставленную часть бруса. Приведем систему внутренних сил к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор Rred и главный момент Mred (рис 3). Через центр тяжести сечения проведем главные центральные оси (X;Z;Y), разложим на эти оси главный вектор и главный момент. Запишем условия равновесия оставленной части (рис 4).

где N – нормальная сила; Qy и Qz – поперечные силы; Mk – крутящий момент;

My и Mz – изгибающие моменты. Все эти перечисленные составляющие главного вектора и главного момента называются внутренними силовыми факторами.

Записанная система уравнений позволяет сформулировать правило определения каждого из внутренних силовых факторов.

Знаки внутренних силовых факторов принято определять их направлением относительно поперечного сечения, к которому они приложены, что соответствует характеру деформаций и действующим в сечении элементарным силам.

Нормальная сила, направленная от сечения, вызывает в сечении растяжение материала и считается положительной, а направленная к сечению

– вызывает в сечении сжатие и считается отрицательной.

Нормальная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на ось Х, направленную по нормали к сечению, всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части бруса

Поперечная сила считается положительной, если внешние силы стремятся вращать отсеченную часть бруса относительно проведенного сечения по часовой стрелке; если против часовой стрелки, то поперечная сила считается отрицательной.

Изгибающий момент от внешних сил, вызывающих сжатие верхних волокон балки, считается положительным, а вызывающий сжатие нижних волокон балки отрицательным. При построении эпюры изгибающих моментов для внутренних стержней рамы, знаки не присваиваются, а эпюра строится на сжатых волокнах.

Крутящий момент в сечении считается положительным, когда скручивающие (внешние) моменты, действующие на оставленную часть бруса, образуют равнодействующий момент, направленный по часовой стрелке, если смотреть на сечение со стороны внешней нормали; когда равнодействующий момент направлен против часовой стрелки, то крутящий

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

6

момент в сечении считается отрицательным. Правило знаков для крутящих моментов носит рекомендательный характер.

Виды нагружений В соответствии с наименованием силовых факторов производится

классификация видов нагружения.

Нагружение называется простым, если в поперечных сечениях элемента конструкции возникает только один внутренний силовой фактор. Простыми видами нагружения являются: растяжение (сжатие) – в поперечных сечениях элемента возникает только нормальная (продольная) сила; кручение – в поперечных сечениях элемента возникает только крутящий момент; чистый изгиб – в поперечных сечениях элемента возникает только изгибающий момент; сдвиг – в поперечных сечениях элемента возникает только поперечная сила.

Нагружение называется сложным, если в поперечных сечениях элемента одновременно возникает несколько силовых факторов.

Напряжение

Напряжение - мера интенсивности внутренних сил. Рассмотрим брус, нагруженный равновесной системой сил. Методом сечений рассечем брус на две части (рассмотрим правую часть) рис 5. Действие отброшенной части на оставленную заменим внутренними силами, которые непрерывно

распределены по сечению. Выделим вокруг произвольной точки К элементарную площадку А. Пусть равнодействующая внутренних сил на этой площадке R (рис. 5).

Отношение равнодействующей внутренних сил, возникающих на элементарной площадке, к площади этой площадки называется средним напряжением Pm в окрестности рассматриваемой точки по проведенному сечению.

R Pm A

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

7

Напряжение в точке

Напряжение в данной точке по рассматриваемому сечению величина векторная. Проекция на нормаль к сечению называется нормальным напряжением и обозначается σ (рис.6). Проекции полного напряжения на оси, лежащие в плоскости сечения, называются касательными напряжениями и обозначаются буквой τ с двумя индексами первый обозначает ось к которой перпендикулярна площадка, а второй – ось, по направлению которой действует напряжение. Через точку можно провести множество сечений и каждый раз полное напряжение будет другим. Совокупность напряжений для всех площадок, проходящих через данную точку, называется напряженным состоянием в точке.

Внутренние силовые факторы можно выразить через напряжения dN dAгде dN – элементарная нормальная сила, приходящаяся на площадку dA;

dQ dA где dQ – элементарная поперечная сила, приходящаяся на площадку dA;

dMk dA где dMk – элементарный крутящий момент внутренних сил, действующих на площадку dA относительно центра тяжести сечения;

dM z ydA и dM y zdA где dM z и dM y – элементарные изгибающие

моменты внутренних сил, действующие на площадку dA относительно осей Z и Y.

Перемещения и деформации

Все твердые тела не являются абсолютно жесткими и под действием внешних сил изменяют свою форму и размеры. Термин «деформация» в сопротивлении материалов, применяется двояко: с одной стороны, в качественном смысле, как всякое изменение формы и размеров тела, а с другой стороны, как количественная мера изменения состояния в точке. Вектор S , (рис.7) имеющий начало в точке В недеформированного тела, а конец в этой же точке В' деформированного тела, называют полным перемещением точки. Проекции вектора S на координатные оси называются составляющими или компонентами перемещений или перемещениями по

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

8

осям, и обозначаются соответственно осям x,y,z через u,v,w. Перемещения разных точек деформированного тела различны. Перемещения не могут быть приняты как характеристики деформации, так как они включают в себя составляющие, связанные не только с деформациями в данной точке, но и с переносами самой точки, вызванные перемещениями других участков тела.

Рис.7 Рис.8 Рассмотрим точки В и С недеформированного тела (рис. 8),

расположенные друг от друга на расстоянии S. После приложения нагрузки точки заняли положение В' и С', а расстояние изменилось на S.

Предел отношения приращения длины к начальному расстоянию между точками, когда точка С стремится к точке В, называется относительной линейной деформацией или относительным удлинением тела в точке В по направлению ВС.

отрицательное тогда имеет место укорочение.

Кроме линейной деформации существует понятие угловой деформации. Рассмотрим прямой угол в недеформированном теле образованный отрезками ОВ и ОС. После нагружения точки заняли новое положение О'В'С', а прямой угол превратился в острый.

Предел разности углов В'О'С' и 2 , когда точки В и С стремятся к

точке О, называется относительным сдвигом или углом сдвига в точке О в плоскости XY и обозначается буквой γ с индексами соответствующей координатной плоскости.

Согласно рисунка γxy =γ1+γ2 где γ1и γ2 – углы поворотов отрезков ОВ и ОС.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Осевое (центральное) растяжение и сжатие является простым видом нагружения. При данном нагружении в поперечных сечениях тела возникают только нормальные (продольные) силы.

Это же можно сказать и о напряжениях т.е. в поперечных сечениях бруса испытывающего растяжение или сжатие появляются только нормальные напряжения которые определяются по зависимости

N

A0

Проектируя Pα на нормаль и плоскость сечения, получим выражения для нормальных и

касательных напряжений на наклонной площадке

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

где μ – коэффициент Пуассона.

Из записанной зависимости видно, что коэффициент Пуассона определяется как

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.