Kalishuk_D_G_PiAKhT_2011

Pс1 +ρgh1 = Pс2 +ρgh2 ,

(4.30)

где Pс1 и Pс2 – статические давления на свободных поверхностях, расположенных над точками 1 и 2, соответственно, Па; h1 и h2 – уровни жидкости, исчисляемые от точек 1 и 2 до соответствующих свободных поверхностей, м.

4.2.3. Практическое применение уравнения гидростатики

Полное гидростатическое давление, действующее со стороны жидкости на лю- бую точку стенки или днища сосуда (емкости аппарата), определяется при приме- нении уравнений (4.24) и (4.25). При этом сила давления на плоское горизонталь- ное днище Fд, Н, равна

Fд = PSд,

(4.31)

где Sд – площадь днища, м2.
Для вертикальных стенок сосудов и их элементов, например люков, сила дав-
ления, действующая со стороны жидкости Fв, Н, вычисляется по формуле
Fв = (Pс +ρghц )Sв,	(4.32)

где hц – высота уровня жидкости над центром масс погруженной в нее части

стенки (люка), м; Sв – площадь поверхности части стенки (люка), погруженной в жидкость, м2.

Уравнение гидростатики в форме закона сообщающихся сосудов (4.30) приме- няется при расчетах гидравлических затворов, измерителей уровня жидкостей, оп- ределении усилий, развиваемых гидравлическими прессами, гидроцилиндрами различных механизмов и машин, тормозных систем, а также при измерении пере- пада давлений P, Па, жидкостными дифференциальными манометрами. Если шкала жидкостного манометра градуирована в единицах длины, то его показания пересчитываются в единицы давления по формуле

P = (ρм −ρ) g h,

(4.33)

где ρм – плотность жидкости в манометре (манометрической), кг/м3; ρ – плот- ность жидкости, в среде которой проводится измерение P, кг/м3; h – разность уровней жидкости в коленах (для двухтрубного) или трубке и чаше (для чашеч- ного) манометра, м.

При измерении P в газовых средах, как правило, ρм >> ρ.	В таких случа-
ях с достаточной точностью можно использовать упрощенную версию фор-
мулы (4.33):
P = ρмg h.	(4.34)

При измерении давления прямопоказывающими пьезометрами высота уровня жидкости в трубке пьезометра относительно точки его присоединения hт , м, связана с полным гидростатическим давлением в точке измерения P, Па, зави- симостью

P = Pс +ρghт,

(4.35)

где Pс – статическое давление над поверхностью жидкости в пьезометре, Па.

31

4.3.ГИДРОДИНАМИКА ОДНОФАЗНЫХ ПОТОКОВ

4.3.1.Основные определения и параметры

Поток жидкости представляет совокупность ее движущихся макрочастиц. Се- чение потока (поперечное сечение) S, м2, – площадь его сечения, перпендикуляр- ного направлению движения потока жидкости.

Объемный расход жидкости V, м3/с,

V = v	,	(4.36)
τ
где v – объем жидкости, прошедший через поперечное сечение потока, м3; τ		– вре-
мя, за которое через поперечное сечение прошло v жидкости, с.
Массовый расход жидкости G, кг/с,
G = m	,	(4.37)
τ

где m – масса жидкости, прошедший через поперечное сечение потока, кг; τ – вре- мя, за которое через поперечное сечение прошло m жидкости, с.

Из (4.4), (4.36), (4.37) следует, что
G = Vρ.	(4.38)

Для упрощения описания некоторых явлений в гидродинамике используется понятие идеальной (гипотетической) жидкости – жидкости несжимаемой, не обла- дающей вязкостью и объемным температурным расширением (ρ = const, μ = 0, βt = 0 ).

Локальная скорость – скорость элементарной струйки (частицы) жидкости в данной точке сечения потока. Среднерасходная (средняя) скорость – среднеинте- гральное значение скорости жидкости для всего сечения потока. В тексте пособия, если не указано определение скорости (локальная, среднерасходная), подразуме- вается, что это среднерасходная скорость wср, м/с,

w	= V ,			(4.39)
ср		S
или
w	=	G	.	(4.40)
ср		ρS

Массовая скорость W, кг/(м2 с), определяется как массовый расход жидкости через единицу поперечного сечения потока:

W =	G	,	(4.41)
или	S
			(4.42)
W = wсрρ.

Для стационарного (установившегося) потока в каждой точке параметры, влияю- щие на характер движения и его определяющие (средняя и локальные скорости, плот- ность, вязкость жидкости), остаются неизменными во времени. В дальнейшем мате- риале пособия дано описание явлений и процессов только для стационарных потоков.

32

4.3.2. Практическое применение уравнения неразрывности

Сплошным (неразрывным) потоком является поток, при движении которого размеры области течения велики по сравнению с длиной свободного пробега моле- кул (амплитудой их колебаний), и в потоке нет пустот, разрывов, инородных вклю- чений. Для стационарного сплошного потока справедливо уравнение постоянства массового расхода:

G = ρwсрS = const.	(4.43)
Для несжимаемой (капельной) жидкости ( ρ = const )	уравнение (4.43) приво-
дится к виду уравнения постоянства объемного расхода:
V = wсрS = const.	(4.44)

При течении упругой жидкости (газа, пара) в трубопроводе (канале) постоян- ного поперечного сечения ( S = const ) из уравнения (4.43) получается уравнение постоянства массовой скорости:

W = ρwср = const.

(4.45)

Уравнения (4.43)–(4.45) позволяют при известных параметрах движения потока в одном сечении получать параметры его движения в другом сечении, например:

				ρ1wср1S1 = ρ2wср2S2 ,	(4.46)
где	ρ	и ρ	– плотность жидкости в первом и втором сечении соответственно, кг/м3;
wср1	1	2	– средние скорости движения жидкости в первом и втором сечениях со-
	и wср2
ответственно, м/с; S и S – площади первого и второго поперечного сечений потока
соответственно, м2. 1				2

4.3.3. Режимы движения потоков в трубах. Распределение скоростей в потоках

Ламинарный режим движения потоков в прямых трубах (каналах) наблюда- ется при числах Re < 2300. Слои жидкости при этом движутся, не перемешиваясь:

Re =		wсрdэρ			,	(4.47)
			μ
где dэ – эквивалентный диаметр трубы, м.
d	=		4S	,		(4.48)
			П
э

где S – площадь поперечного сечения трубы, м2; П – смоченный периметр, м. Для круглых труб dэ = dвн, где dвн – внутренний диаметр трубы.

Турбулентный (вихревой) режим потоков в прямых трубах имеет устойчивый характер при Re > 10 000. В диапазоне 2300 ≤ Re ≤10 000 движение потока неус- тойчивое и называется переходным режимом (областью).

Профиль распределения локальных скоростей по сечению ламинарного пото- ка в круглой трубе описывается уравнением закона Стокса:

33

w	= w	1	−		r 2			,	(4.49)
r	max
					R
где wr – значение локальной скорости на удалении r,									м, от геометрической оси

трубы, м/с; wmax – максимальная локальная скорость жидкости в сечении потока

(скорость на оси трубы), м/с; R – внутренний радиус трубы, м.

Объемный расход жидкости в прямой горизонтальной трубе круглого сечения

при ламинарном режиме может быть определен из уравнения Пуазейля:
					V =		π(P1	− P2 )dвн4	,	(4.50)
							128μl
где P1 и P2 – статические давления в предыдущем и последующем по ходу движе-
ния жидкости сечениях, Па; l				– расстояние между сечениями, м.
	Из уравнений (4.49) и (4.50) следует, что для ламинарного потока в круглой
трубе w			= 0,5w . Отношение		wср	> 0,5		при Re > 2300. В таких случаях значение
		ср	max		wmax
	wср
		рекомендуется определять по графику (см. приложение).

wmax

4.3.4. Уравнение Бернулли и его практическое применение

4.3.4.1.Уравнение Бернулли для установившегося потока идеальной жидкости

взаписи для его сечений 1 и 2, расположенных последовательно по ходу движения:

			P +ρgz +		ρw2	= P +ρgz		+	ρw2		,	(4.51)
					1		2			2
			1	1	2	2				2
где P1		и P2	– статические	давления		в сечениях				1	и 2 соответственно, Па;
ρgz1	и ρgz2		– гидростатические давления в сечениях 1 и 2 соответственно, Па;
ρw2	и	ρw2	– динамические давления в сечениях 1 и 2 соответственно, Па; ρ – плот-
1		2
2		2
ность жидкости, кг/м3; g – ускорение свободного падения, м/с2; z												и z – геометриче-
											1	2

ские высоты расположения сечений 1 и 2 над горизонтальной поверхностью сравне-

ния, м; w1	и w2 – средние скорости потока в сечениях 1 и 2 соответственно, м/с.
Сумму P + ρgz + ρw2		называют полным гидродинамическим давлением P ,
	2					гд
а сумму P +ρgz – полным статическим давлением Pп.
Динамический (скоростной) напор hск, м, связан с динамическим давлением
Pдин = ρw2	, Па, зависимостью
2				Pдин	= w2 .
		h	=			(4.52)
				ρg
		ск			2g

4.3.4.2. Трубка Пито (Пито– Прандтля). При помощи данной трубки измеряется ди- намическое давление в определенной точке сечения потока как разность полного гидро- динамическогодавления Pгд , Па, иполногостатического давления Pп, Па, в этой точке:

34

Pдин	= Pгд − Pп.	(4.53)
При использовании зависимости	(4.52) рассчитывают локальную	скорость

в указанной точке сечения. Используя данные о режиме движения жидкости и ло- кальную скорость на оси трубопровода, несложно рассчитать среднюю скорость

иобъемный расход (см. предыдущий пункт раздела).

4.3.4.3.Измерение расхода жидкости в трубопроводах дроссельными (сужаю- щими) устройствами (измерительная диафрагма, измерительная труба Венту- ри, измерительные сопла). При этом определяется разность статических дав- лений P, Па, в сечении трубы до сужения и в сечении сужения (для диа- фрагмы – после сужения). Объемный расход жидкости V, м3/с, связан с P зависимостью

V		πd2		2 P			,	(4.54)
	= α	0
			(			)
		4
			ρ 1 −m		2
где α – коэффициент расхода; d0	– диаметр узкого сечения трубы, сопла (для диа-
							3	d2
								0
фрагмы – ее отверстия), м; ρ – плотность жидкости в трубопроводе, кг/м ; m =								D2	– от-

ношение площади узкого сечения дроссельного устройства к площади сечения тру- бы; D – диаметр трубы, м.

	Для сужающих устройств, в т. ч. и диафрагмы, α = f (m, Re)			и определяется
	по справочным таблицам. В данном случае
	Re =	wDρ	,	(4.55)
		μ

где w – средняя скорость жидкости в трубе, м/с.

4.3.4.4. При истечении жидкости через малые отверстия (насадки) из сосудов, емкостей, аппаратов объемный расход жидкости через отверстие V, м3/с, при по- стоянном уровне жидкости H, м, над отверстием определяется

V = ϕS0		P − P		,	(4.56)
	2g H +	1 2
		ρg

где ϕ – коэффициент расхода отверстия (насадка); S0 – площадь поперечного сечения отверстия (насадка), м2; P1 и P2 – статические давления над поверхностью жидкости

в сосуде и в месте истечения, соответственно, Па; ρ – плотность жидкости, кг/м3.

Время истечения жидкости из сосуда постоянного по высоте поперечного сече- ния S, м2, через отверстие (насадок) τ, с, при условии уменьшения уровня в нем от H1 , м, до H2 , м:

		H1 +	P	− P	− H2 +	P	− P
	2S		1	2		1	2
				ρg			ρg
τ =									.	(4.57)
				ϕS0	2g

При условии P1 = P2 зависимости (4.56) и (4.57) принимают вид

35

V = ϕS0

2gH ;

(4.58)

τ =

2S (

H1

−

H2 )

.

(4.59)

ϕS0 2g

Время полного опорожнения сосуда τп , с, из (4.57) при H2

= 0 :

H1

+

P − P

−

P

− P

2S

1

2

1

2

ρg

ρg

τп =

;

(4.60)

ϕS0

2g

из (4.59) при P1 = P2 :

τ

п

=

2S H1

.

(4.61)

ϕS0

2g

Значение ϕ является справочной величиной и в наибольшей мере зависит от формы и исполнения отверстия (насадка).

4.3.4.5. Уравнение Бернулли для стационарного потока реальной жидкости

P +ρgz +		ρw2	= P +ρgz		+	ρw2	+ P,	(4.62)
		1		2		2
1	1	2	2			2
где P – потери давления (необратимые потери)							на участке потока от сече-

ния 1 (предшествующего по ходу движения) до сечения 2 (последующего по хо- ду движения), обусловленные преодолением сил трения и местных сопротив- лений, Па.

Обозначения в уравнении (4.62) соответствуют обозначениям в уравне- нии (4.51). Из уравнения (4.62) могут быть определены: распределение статического и динамического давления в различных сечениях потока, а при установлении зависимости P от скорости потока и характеристик трубопровода (см. последую- щий пункт настоящего раздела) – расход жидкости при движении ее самотеком

(или величины P1 , z1 (P2 , z2 ), при которых будет обеспечен заданный расход).

В случае принудительного движения жидкости по трубопроводу при заданном ее расходе из уравнения (4.62) определяют полное гидравлическое сопротивле- ние Pтруб, Па,

	Pтруб = Pгд2 − Pгд1 +	P;	(4.63)
Pтруб	= (P2 − P1 ) +ρg (z2 − z1 ) + ρ	(w22 −w12 )+ P,	(4.64)
	2
где Pгд2 и Pгд1 – полные гидродинамические давления в сечениях 2			(конечном)
и 1 (исходном) трубопровода соответственно, Па.
По величине P ,	Па, и объемному расходу жидкости V, м3/с, рассчитывают
труб
полезную мощность Nпол, Вт, на перемещение жидкости:
	Nпол = PтрубV.		(4.65)
36

4.4. ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТРУБОПРОВОДОВ

4.4.1. Потери давления на трение

Потери давления на трение в трубопроводе постоянного сечения					Pтр, Па, рас-
считывают по уравнению Дарси:
P	= ξ		ρw2	,	(4.66)
			2
тр		тр

где ξтр – коэффициент сопротивления трения; ρ – плотность жидкости в трубопро- воде, кг/м3; w – средняя скорость жидкости, м/с.

	ξтр = λ	l	,	(4.67)
		d
	где λ – коэффициент трения; l – длина трубопровода, м; d			– эквивалентный диа-

метр трубопровода, м.

Уравнение (4.66) с учетом зависимости (4.67) преобразуется в уравнение Дар- си – Вейсбаха для трубопровода постоянного сечения:

P	= λ		l	ρw2 .		(4.68)
тр			d 2
4.4.1.1. Коэффициент λ дляламинарногорежиматечениявычисляетсяпоформуле
λ =		A			,	(4.69)

Re

где A – коэффициент, величина которого зависит от формы поперечного сечения трубопровода.

Число Рейнольдса Re определяется по формуле (4.47). Для труб круглого по- перечного сечения A = 64, для квадратного – A = 96. Для других форм поперечно- го сечения значение A определяют по справочной литературе.

4.4.1.2. Для переходной области ( 4000 < Re < 10 000 ), а также для круглых гладких (с незначительной шероховатостью поверхности) труб при Re < 1 105 ве- личину λ рекомендуется рассчитывать по формуле Блазиуса:

λ =	0,316 .	(4.70)
	Re0,25

Для диапазона 2300 < Re ≤ 4000 надежные расчетные зависимости для опре- деления λ отсутствуют.

4.4.1.3. При турбулентном движении жидкости ( Re > 10 000 ) в шероховатых трубопроводах для расчета λ можно использовать формулу Кольбрука – Уайта, ко- торая в трансформированном виде записывается

			ε		6,81		0,9		−2
λ = 0,25	lg			+						,	(4.71)
			3,7		Re

где ε – относительная шероховатость поверхности стенок трубопровода.

ε = d ,	(4.72)
	37

где – абсолютная шероховатость (средняя высота неровностей) поверхности сте- нок трубопровода, м.

Приближенное значение величины может быть определено по справочным дан- нымвзависимости от материала труб, метода их изготовления, степени изношенности.

4.4.1.4. При больших значениях числа Re (как правило Re > 2 105 ) в шерохо- ватых трубах возникает автомодельное движение потока жидкости, при котором λ зависит только от ε. Одна из расчетных зависимостей для указанного случая:

			ε	−2	(4.73)
	λ = 0,25 lg			.
			3,7
	4.4.1.5. Для гладких труб при Re >1 105 из формулы (4.71)
	λ = (1,8lg Re −1,5)−2 .				(4.74)
	Значения λ = f (Re, ε) при Re > 2300	могут быть определены из справочных

графиков, в т. ч. из графика в приложении настоящего пособия.

4.4.2. Потери давления на местных сопротивлениях

Местное сопротивление – участок трубопровода, на котором поток изменяет свою скорость (вектор скорости) вследствие изменения сечения или направления движения (изменения сечения и направления одновременно). Потери давления на местном сопротивлении Pмс, Па, рассчитывают по формуле Дарси:

P = ξ	ρw2	,	(4.75)
мс	мс 2

где ξмс – коэффициент местного сопротивления.

Значение ξмс зависит от рода местного сопротивления (сужение, расширение, по-

ворот, вентиль, кран, решетка, диафрагма и т. д.), его характерных размеров и соот- ношений этих размеров, а также числа Re. При Re >10 000 в большинстве случаев

ξмс от Re зависит незначительно. Величины ξмс определяют по справочной литера-

туре. При использовании справочных данных для местных сопротивлений, на кото- рых изменяется сечение потока, следует обращать внимание, к какому сечению, меньшему или большему, отнесено значение ξмс. Если указание отсутствует, ξмс дано

для меньшего сечения трубопровода.

4.4.3. Общие потери давления на трение и местных сопротивлениях

Общие (суммарные) потери давления в трубопроводе постоянного сечения на

	трение и местных сопротивлениях		P, Па, рассчитывают по формуле
					l	n	ρw2
	P =	1		+ λ		+ ∑ξi		2	,	(4.76)
					d
						i=1

n

где ∑ξi – сумма коэффициентов местных сопротивлений на трубопроводе;

i=1

n – число местных сопротивлений.

38

Эквивалентная длина трубопровода lэкв, м, определяется по зависимости

	1 +λ l		+ ∑ξi
			n
lэкв =		d	i=1	.	(4.77)
		λ

d

При учете местного сопротивления выхода из трубы в суммирующем парамет-

n

ре ∑ξi в правой части уравнения (4.76) выражение в скобках принимает следую-

i=1

щий вид: λ l + ∑n ξi . d i=1

4.4.4. Гидравлическое сопротивление аппаратов

Гидравлическое сопротивление аппаратов, которые зачастую являются со- ставной частью трубопроводов, обычно определяют по специальным методикам. Данные методики изложены, как правило, в специальной литературе, справочни- ках. При этом аппарат обычно рассматривается как трубопровод, состоящий из прямых участков и местных сопротивлений. В результате экспериментальных

исследований для расчета сопротивления аппаратов					Pа, Па, также получают упро-
щенные зависимости вида
P	= ξ		ρw2	,	(4.78)
			а
а		а	2

где ξа – обобщенный коэффициент сопротивления аппарата; wа – расчетная сред- няя скорость жидкости в аппарате, м/с.

4.4.5. Общее гидравлическое сопротивление трубопровода

С учетом изложенного в пунктах 4.4.1–4.4.4 для линейного трубопровода уравнение (4.76) приобретает вид

				ρw2			l	n		k
	Pтруб =	Pдоп +	Pпод +	2	1	+ λ		+ ∑ξi		+ ∑ Pаj ,	(4.79)
							d
								i=1		j=1

где Pдоп = P2 − P1 – потери давления, обусловленные преодолением разности ста- тических давлений (дополнительные потери давления), Па; Pпод = ρg (z2 − z1 ) – по- тери давления на подъем жидкости, Па; Pаj – потери давления в j-том аппарате,

установленном на трубопроводе, Па; k – число аппаратов.

Если трубопровод по длине меняет сечение либо параметры движения в нем меняются за счет изменения температуры (меняется плотность, вязкость), то ве-

		ρw2			l	n
	личину	2	1	+ λ		+ ∑ξi		рассчитывают для каждого участка трубопровода
					d
						i=1

с постоянными параметрами течения. Затем в выражение (4.79) подставляют сумму этих величин. Уравнение (4.79) может быть использовано не только для потоков собственно жидкостей, но и газов, при условии, что величины P1 и P2 от-

личаются незначительно.

39

4.5.ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

4.5.1.Основные определения

Производительность насоса Vн, м3/с, – объемный расход жидкости через его

нагнетательный патрубок.

Напор насоса Hн, м, – высота, на которую может быть поднята жидкость

за счет энергии, сообщенной ей насосом.

Полное давление, развиваемое насосом Pн, Па, – разность полных давле- ний жидкости в нагнетательном Pнаг , Па, и всасывающем Pвс, Па, патруб-

ках насоса:
Pн = ρgHн,									(4.80)
где ρ – плотность перекачиваемой насосом жидкости, кг/м3.
Полезная мощность насоса Nпол, Вт,
Nпол			=VнρgHн.						(4.81)
Объемный КПД насоса ηV
	η			= Vн ,					(4.82)
	V					Vт
где Vт – теоретическая объемная производительность насоса, м3/с.
Гидравлический КПД насосаηг
	η		= Hн				,		(4.83)
	г				Hт
где Hт – теоретический напор насоса, м.
КПД насоса (общий) ηн
ηн = ηV ηгηмех,									(4.84)
или
η			= Nпол ,						(4.85)
	н				Nн
где ηмех – механический КПД насоса;			Nн			– мощность, потребляемая насосом, Вт.
Мощность, потребляемая приводом								(двигателем) насосной	установ-
киNну, Вт,
N	ну	=				Nн		,	(4.86)
					η	η
						дв пер

где ηдв и ηпер – КПД двигателя и передачи, соединяющей валы двигателя и насоса,

соответственно.

Установленная мощность (расчетная) двигателя насосной установ- ки Nуст, Вт,

40