sopromat

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время для изучения курса «Сопротивление материалов» широко используются учебные пособия, которые можно разделить в основном на два типа: учебники, содержащие главным образом, теоретические сведения, и сборники задач. Они имеют значительный объем информации, но фактически оторваны друг от друга. В «Сборнике индивидуальных задач по сопротивлению материалов» раздел“растяжение–сжатие“, авторы Додин Ю.С., Лысюк А.Я.и др. представлено большое количество задач, однако отсутствуют основные теоретические положения и примеры решения задач по данному разделу. Для разбора задач с объяснением теоретических зависимостей требуется большое количество часов аудиторных занятий.

Уменьшение количества часов аудиторных занятий и увеличение объема самостоятельной подготовки потребовало значительной индивидуальной работы студентов. В связи с этим в последнее время наметилась тенденция к разработке и применению в учебном процессе пособий, где достаточно подробно изложены основные теоретические сведения и значительное число примеров решения задач различной сложности по разделу курса.

Целью данного пособия, составленного на основе всестороннего анализа ранее разработанных и используемых в настоящее время работ, является попытка расширить курс вопросов, рассматриваемых на практических занятиях в условиях дефицита учебного времени, привить студентам навыки самостоятельной подготовки и помочь усвоить методы решения задач, предлагаемых на зачетах и экзаменах.

ВВЕДЕНИЕ

В учебном пособии представлены основные теоретические сведения, расчетные формулы и достаточно большое количество типовых примеров решения задач различной степени сложности, относящихся к одному из основных разделов курса «Сопротивление материалов» “растяжение – сжатие”.

Использующиеся в настоящее время учебные пособия по курсу «Сопротивление материалов» для студентов специальности 170500 подходят не в полной мере, так как одни из них содержат недостаточное количество примеров решения задач или не имеют кратких

3

теоретических сведений по разделам, в других – приводимые примеры морально устарели или обладают повышенной трудностью.

Отличием данного учебного пособия является то, что оно рассматривает в полном объеме примеры одного раздела “растяжениесжатие”, которые достаточно просты, не требуют объемных расчетов, охватывают основные проблемы раздела. В настоящее время подготавливаются учебные пособия схожего типа по другим разделам курса «Сопротивление материалов» (кручение, изгиб).

Работа с данным пособием предполагает, что только после усвоения теоретической части изучаемого курса следует переходить к разбору решенных задач, а затем приступать к решению задач, предложенных для самостоятельной работы.

Авторы понимают, что польза от пособия, содержащего решение задач, далеко не бесспорна. Однако, учитывая ограниченное число часов аудиторных занятий, внимательное изучение примеров, приведенных в пособии, принесет по нашему мнению, читателю определенную пользу.

1.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ИРАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ РАЗДЕЛА РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) ПРЯМОГО БРУСА

Растяжение (сжатие) - это такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы, параллельные его оси, все остальные внутренние усилия равны нулю.

Продольная или нормальная сила N считается положительной при растяжении и отрицательной при сжатии.

Ее величина может быть найдена с помощью метода сечений: она численно равна алгебраической сумме проекций на ось бруса всех внешних сил, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Действующая в поперечном сечении продольная сила N равномерно распределяется по всему сечению. Нормальные напряженияσ, действующие в поперечном сечении, определяются по формуле:

F

4

где N - продольная сила в поперечном сечении; F - его поперечная площадь.

Примечание: в некоторых учебниках и учебных пособиях площадь обозначается латинской буквой А.

В системе СИ сила выражается в ньютонах, площадь поперечного сечения - в квадратных метрах, нормальное напряжение - в Паскалях.

Сила может быть выражена в кг, а напряжение в кг/см2. Абсолютное удлинение бруса при растяжении определяется из

выражения:

зывается коэффициентом Пуассона. Она является постоянной для каждого материала и характеризует его упругие свойства:

Между нормальным напряжением и относительным удлинением существует прямая пропорциональная зависимость, называемая

где: E - коэффициент пропорциональности ( модуль упругости первого рода или модуль Юнга).

Модуль упругости - это физическая характеристика материала, измеряемая в тех же единицах, что и нормальное напряжение.

ние для вычисления абсолютного удлинения бруса:

Для ступенчатого стержня и (или) стержня с несколькими продольными нагрузками удлинение подсчитывается как алгебраическая сумма удлинений участков бруса, в пределах которых N, E, F постоянны:

Если же величины N и F изменяются по длине бруса, его абсолютное удлинение вычисляется по формуле:

Используя соотношение σmax ≤ [σ], называемое условием прочности, можно решить три основных задачи сопротивления материалов:

1. Подобрать сечение растянутого (сжатого) бруса, при котором его прочность будет обеспечена. Расчетная формула в этом случае имеет вид:

где: N - продольная сила в опасном сечении бруса (сечении, в котором действует максимальное нормальное напряжение);

F - площадь его поперечного сечения;

[σ] - допускаемое напряжение материала бруса. Отсюда определяется необходимая площадь его сечения:

6

Зная форму сечения и его площадь , можно определить линейные размеры сечения или по сортаменту подобрать требуемый стандартный профиль: уголок, швеллер, двутавр и т. д.

Что касается допускаемого напряжения [σ], то оно либо задается заранее, либо находится из формулы:

где: σопасн. = σт - пределу текучести для пластичных материалов; σопасн.=σв- временному сопротивлению для хрупких материа-

лов;

n - запас прочности материала .

позволяет вычислить наибольшее значение продольной силы N, действующей в опасном сечении и, следовательно, величину внешних нагрузок, приложенных к брусу.

3. Провести поверочный расчет прочности бруса.

При поверочном расчете нагрузки, размеры и материал, из которого изготовлен брус, считаются известными. Вычисляется наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении и сравнивается с допускаемым

Если σmax ≤ [σ], прочность бруса обеспечена.

7

2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ, НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ЗАДАЧ

2.1Расчет ступенчатого бруса

ипостроение эпюр силовых факторов

Пример. Вдоль оси ступенчатого алюминиевого бруса приложены силы P1 = 30 кН, P2=80кН, Р3 =110кН (рис.1,а). Длины участков равны: l1=25см, l2=35см, l3=40 см. Соответствующие площади поперечных сечений: F1 = 2см2, F2 = 3 см2, F3=3,5 см2. Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для алюминия принять

Ea = 0,7 105 МПа . Построить эпюры продольных сил, нормальных

напряжений и перемещений.

Решение. Для построения эпюры продольных сил разбиваем брус на три участка, границами которых являются сечения, в которых приложены внешние силы. Расчет начинаем со свободного конца, что позволяет не вычислять предварительно опорную реакцию в заделке. Используя метод сечений, мысленно рассекаем брус по сечению 1-1 и отбрасываем его верхнюю часть, заменяя ее действие на оставшуюся нижнюю часть неизвестной продольной растягивающей силой N1 (рис.1.б). Направляя ось Z вдоль оси бруса вверх, записываем уравнение равновесия нижней части:

∑Z = 0 ; − P1 + N1 = 0 , N1 = P1 =30кН

а) б) Рис. 1. Расчетная схема ступенчатого бруса

8

Продольная сила получилась положительной, следовательно, ее первоначальное направление выбрано правильно и весь первый участок бруса растянут.

Для нахождения продольной силы, действующей на втором участке, рассекаем брус в сечении 2 –2. Рассуждая аналогично, получаем:

∑Z = 0 ; − P1 + P2 + N2 = 0 ;

N2 = P1 − P2 =30 −80 = −50кН .

Отрицательное значение силы N2 говорит о том, что в сечении 2 – 2 брус не растянут, а сжат. Рассмотрев сечение 3 –3, находим величину продольной силы N3:

∑Z = 0 ; − P1 + P2 − P3 + N3 = 0;

N3 = P1 − P2 + P3 =30 −80 +110 = 60кН

Сила N3 положительна, следовательно, верхняя часть бруса растянута.

Вычислив значения продольной силы на каждом участке, можно исследовать закон изменения силы N по длине бруса, представив результаты исследования в виде графика, называемого эпюрой продольной силы (эпюрой N). Для этого проводим параллельно оси бруса базисную линию (ось эпюры) и откладываем перпендикулярно ей в выбранном масштабе найденные значения силы N. Положительные - вправо, отрицательные - влево (или вверх и вниз, если брус располагается горизонтально). Соединяем полученные точки прямыми, параллельными оси эпюры, и указываем алгебраические знаки N. Наносим на эпюру N редкую штриховку, перпендикулярную ее оси

(рис.2).

Из рассмотрения построенной эпюры видно, что в сечениях, где приложены внешние силы, продольная сила меняется скачкообразно и величина скачка равна величине внешней силы, приложенной в этом сечении.

Для построения эпюры нормальных напряжений вычисляем их величину по формуле (1) и, так как необходимо учитывать изменения его поперечных размеров, разбиваем брус на пять участков.

Используя эпюру продольных сил, находим:

Эпюра нормальных напряжений строится по такому же принципу, как и эпюра продольных сил. Каждая ордината эпюры σ характеризует в принятом масштабе значение напряжений в соответствующем поперечном сечении бруса (рис.2).

Для построения эпюры перемещений δ вычисление перемещений необходимо начинать от неподвижного сечения (заделки). Перемещение произвольного сечения с абсциссой z верхнего участка бруса (рис.2) равно абсолютному удлинению той его части, которая заключена между этим сечением и заделкой:

Перемещение сечения D относительно заделки складывается из перемещения этого сечения относительно сечения G (абсолютного укорочения участка DG) и перемещения сечения G относительно заделки:

10

Рис.2. Эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений

Аналогично определяются перемещения сечений B и O. Эпюра перемещений δ показана на рис.2. Знак “плюс” соответствует перемещению вниз, знак “минус” – вверх.

2.2Определение максимальной растягивающей силы

внаиболее опасном сечении

Пример. Деревянный брус сечением 20x10 см имеет ослабления, показанные на рис.3. Определить величину максимальной растягивающей силы P, если допускаемые напряжения на растяжение равны [σ] =11 МПа.

Решение. Наиболее опасным является сечение 2–2, площадь которого равна:

F = 20 10 −12 10 = 80см2 .

11

Рис. 3. Схема определения величины растягивающей силы

Из условия прочности бруса в опасном сечении находим величину максимальной растягивающей силы:

P= [σ] F =11 106 80 10−4 = 88 103 н = 88кН

2.3Определение усилий в стержнях и максимально безопасной величины подвешенного груза

Пример. Определить величину груза Q, который может быть безопасно подвешен к двум медным стержням одинакового поперечного сечения F=5см2, наклоненным к горизонту под углом 30° (рис.4,а) .Допускаемоенапряжениематериаластержней [σ]=50МПа.

Решение. Для определения усилий в стержнях AB и BC мысленно вырежем узел B и запишем два условия равновесия (рис.4, б):

∑X = 0 :− NAB cos 30o +N BC cos 30o = 0;

∑Y = 0 :NAB cos 60o +N BC cos 60o −Q = 0.

а) б)

Рис. 4. Расчетная схема определения прочностных характеристик стержней

12