Балтийский Государственный Технический Университет

«ВОЕНМЕХ», Имени Д.Ф.Устинова

Лабораторная работа № 1 «Определение орбиты по двум фиксированным положения методом Ламберта-Эйлера»

Работу выполнил:

студент группы А-591

Проверил:

Санников В. А.

Санкт-Петербург,

2012

Определение орбиты по двум фиксированным положениям методом Ламберта-Эйлера

1.Описание метода

Метод Ламберта-Эйлера предназначен для определения параметров орбиты перелета за время между начальным и конечным положениями КА, заданными радиусами-векторами и угловой дальностью Φ (рис.1.1)

Итак, пусть задан начальный радиус-вектор = , конечный радиус-вектор = , угловая дальность полета Φ (угол АСВ) и время полета из точки А в точку В. Требуется определить параметры орбиты перелета: р – фокальный параметр; е – эксцентриситет орбиты;

d – большая полуось.

Для расчета параметров орбиты методом Ламберта-Эйлера используется следующий алгоритм [1 -3].

1. Определяется расстояние между начальной и конечной точками полета:

S = = .

2. Вычисляется время перелета между заданными векторами в предположении, что орбита является параболической: где μ – гравитационная постоянная.

3. Определяется тип орбиты. Если > , то перелет может быть реализован только по эллиптической орбите. Если < , то перелет между заданными радиусами-векторами возможен только по гиперболической орбите. Если же = , то перелет между заданными векторами должен производиться по параболической траектории.

4. Если перелет происходит по эллиптической орбите, то большая полуось эллипса α определяется из решения следующего трансцендентного уравнения (формула Ламберта):

, (1.1)

где ;

Sign

, ;

, ;

, .

Если перелет проходит по гиперболической орбите, то большую полуось орбиты находят из решения следующего трансцендентного уравнения:

(1.2)

Где

причем

Трансцендентные уравнения (1.1) и (1.2) решаются численно на ЭВМ с использование итерационного метода.

5. После нахождения большой полуоси перелетной орбиты вычисляется фокальный параметр и эксцентриситет орбиты

Из уравнения орбиты, записанного для начальной и конечной точки траектории, можно получить соотношения

Добавив к ним уравнение орбиты , получим выражения для искомых параметров:

для эллиптической орбиты:

(1.3)

для гиперболической орбиты:

(1.4)

для параболической орбиты:

(1.5)

При выполнении лабораторной работы трансцендентные уравнения решаются методом последовательных приближений.

А. Задают минимальное и максимальное значения полуоси

Для эллиптической орбиты принимают:

(1.6)

Для гиперболической орбиты выбирают

(1.7)

Б. Вычисляют значения функции невязки

= - (α) (1.8)

для двух значении α, т.е. = и = , причем для эллиптической траектории вычисляют по формуле (1.1), а для гиперболической по формуле (1.2).

В. Новое значение полуоси определяют методом хорд [4]:

= - ∙ () (1.9)

При использовании (1.9) предполагается, что ∙ < 0.

Г. Вычисляют .

Д. Если = 0, то = . В противном случае определяют новый диапазон изменения : принимают = , если ∙ < 0;

или = , если ∙ ≥ 0 ; и переход к новой итерации.

Итерации продолжают до тех пор, пока не станет меньше некоторой допустимой величины β.