Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Учебное пособие С.Д. Шапорев ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА.pdf

Скачиваний:

502

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

2.25 Mб

Скачать

☆

1 / 331 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

С.Д. Шапорев

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2003

Министерство образования Российской Федерации Балтийский государственный технический университет «Военмех»

С.Д. Шапорев

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2003

УДК 519.23 (075.8) Ш 24

Шапорев С.Д.

Ш 24 Прикладная статистика: Учебное пособие / Балт.

гос. техн. ун-т. СПб., 2003. 254 с.

В пособии рассмотрены основные статистические методы, приемы вычислений и программы часто используемые в практике инженерных расчетов по специальностям выпускающих кафедр БГТУ. Содержит наиболее важные разделы математической статистики: методы описательной статистики, метод статистических испытаний, оценивание числовых характеристик и закона распределения случайной величины, проверка гипотез, дисперсионный и корреляци- онно-регрессионный анализ. Подробно рассмотрены вопросы статистического моделирования случайных величин на ЭВМ. Приведены примеры, их разбор и решения, графические иллюстрации. Использованы популярные пакеты STATGRAPHICS и MATHCAD.

Большое внимание уделяется практической работе с описанными алгоритмами, предлагаются лабораторные работы по всем изучаемым темам, написанные в статистическом пакете STATGRAPHICS и математическом пакете MATHCAD. Каждая лабораторная работа включает серию индивидуальных заданий.

Предназначено для студентов дневного и вечернего отделения. Его использование поможет активизировать самостоятельную работу студентов по курсу «Прикладная статистика» и даст возможность преподавателям контролировать индивидуальную работу студентов в течение всего семестра.

УДК 519.23 (075.8)

Р е ц е н з е н т ы: кафедра высшей математики ПГУПС (зав. каф. д-р техн. наук, проф. В.Г. Дегтярев), д-р техн. наук, проф. М.С. Попов

Утверждено редакционно-издательским советом университета

1.СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1.Законы распределения дискретных случайных величин

Случайной величиной X называется числовая функция X = X (ω) от

элементарного события, определенная на множестве элементарных исходов Ω , и такая, что при любом x множество тех ω, для которых

X (ω) < x , принадлежит алгебре событий.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина с конечным или счетным множеством возможных значений.

Законом распределения случайной величины называется любое правило, позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных с этой случайной величиной. Для дискретных случайных величин простейшей формой закона распределения является ряд распределения - это таблица, в одной строке которой перечислены все значения случайной величины, а во второй строке - соответствующие им вероятности. Например,

	X	x1	x2	x3		...	xn
	P	p1	p2	p3		...	pn
Итак, дискретная случайная величина X					в результате опыта примет


одно из своих возможных значений, то есть произойдет одно из полной
группы		событий	ω1 = (X = x1),	ω2 = (X = x2 ),..., ωn = (X = xn ),
Ω = {ω1, ω		2 ,..., ωn }.	Вероятности, соответствующие этим событиям, тако-
вы	p1	= P(X = x1), p2 = P(X = x2 ),..., pn = P(X = xn ).			Очевидно,

∑ pi =1 , так как xi , i = 1, n образуют полную группу событий.

i=1

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения дискретной случайной величины.

Наиболее общей формой закона распределения является функция распределения. Функцией распределения случайной величины X называ-

ется вероятность неравенства X < x , рассматриваемая как функция параметра x ,

F(x) = P(X < x).

(1.1.1)

Чаще всего определенную таким образом функцию распределения называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения - самая универсальная характеристика, она полностью определяет случайную величину. Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

1) 0 ≤ F(x) ≤ 1 для всех x ;

2) F(x1) ≤ F(x2 ), если x1 < x2 ; 3) F(− ∞) = 0, F(∞) = 1 ;

4) во всех точках области определения функция непрерывна слева,

т.е. F(x − 0) = F(x) или lim F(x) = F(x0 ).

x→x0 −0

Можно показать, что любая функция F(x), обладающая этими свой-

ствами, может быть функцией распределения некоторой случайной величины. График F(x) в общем случае представляет собой график неубы-

вающей функции, значения которой начинаются от нуля и достигают единицы, причем в отдельных точках функция может иметь разрывы первого рода. Если известен ряд распределения дискретной случайной величины, то можно легко построить функцию распределения

F(x) = P(X < x) = ∑P(X = xi ),	(1.1.2)
xi <x
где суммирование распространяется на все те значения	xi , которые мень-
ше x .

Пример. На пути движения автомобиля шесть светофоров, каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение автомобиля с вероятностью 0.5. Составить ряд распределения и построить функцию распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

Движение автомобиля либо заканчивается на k -м светофоре, если до этого он проходит k −1 светофор без задержки, а на k -м будет остановлен, либо автомобиль пройдет все светофоры и остановлен не будет.

Пусть случайная величина X - число светофоров, пройденных автомобилем. Очевидно, что X может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. X подчинена геометрическому закону распределения с дополнительным условием, что опыт будет закончен, если X примет значение шесть. Следовательно,

		P(X = k ) = qpk ,						k = 0,1, 2, 3, 4, 5,
			P(X = 6)					5						(1.1.3)
			P(X = 6)			=1 − ∑P(X = i),
								i =0
причем, очевидно,			что p =1 2, q =1 − p =1 2.								Тогда ряд распределения
случайной величины X имеет следующий вид.
	X	0		1		2			3		4	5			6
	P	1			1		1			1	1		1			1
	P	2		4		8			16		32	64			64
		2		4		8			16		32	64			64
								4

Действительно,	например,	p = P(X = 0) = qp0	= q =1 2,
p2 = P(X =1) = qp =1 4		1
p2 = P(X =1) = qp =1 4	и так далее.	Зная ряд распределения, легко по-

строить многоугольник распределения и функцию распределения, пользуясь формулой F(x) = P(X < x) = ∑P(X = xi ) (рис. 1.1).

									xi <x
									1.0	F(x)
	P								1.0
	P
0.5									0.75
									0.5
0.2
									0.25


0	1	2	3	4			5	6	0	1	2	3	4	5	6	x
		Рис. 1.1. Многоугольник распределения и функция распределения
							дискретной случайной величины
	Действительно,				F(0) = P(X < 0) = 0, F(1) = P(X <1) =
= ∑ P(X = xi ) = p1				=		1	и так далее. Тогда функция распределения мо-
= ∑ P(X = xi ) = p1				=			и так далее. Тогда функция распределения мо-
	xi <1			2
	xi <1

жет быть выражена в следующем виде:

			0, x ≤ 0,
	1		= 0.5, 0 < x ≤1,
	2		= 0.5, 0 < x ≤1,
	1		= 0.75, 1 < x ≤ 2,
	4		= 0.75, 1 < x ≤ 2,
	4
	7	= 0.875, 2		< x ≤ 3,
	8	= 0.875, 2		< x ≤ 3,	(1.1.4)
F(x) =	8				(1.1.4)
	15
	16 = 0.938, 3 < x ≤ 4,
	31		= 0.967, 4	< x ≤ 5,
	32		= 0.967, 4	< x ≤ 5,
	63		= 0.984, 5	< x ≤ 6,
	64		= 0.984, 5	< x ≤ 6,
	64
			1, x > 6.
			1, x > 6.
			5

1.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин, их свойства

Ряд распределения или функция распределения дискретной случайной величины являются ее исчерпывающими характеристиками, однако они достаточно громоздки, поэтому возникает необходимость в менее «объемных» характеристиках. Таковыми являются характеристики положения и рассеивания. Характеристики положения дают некоторое среднее положение случайной величины, вокруг которого она группируется, а характеристики рассеивания указывают степень рассеивания случайной величины вокруг ее среднего положения.

Наиболее употребительная характеристика положения - математическое ожидание - среднее взвешенное из значений xi , причем каждое xi

при осреднении должно учитываться с весом pi . Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины равно

mX = M (X ) = x1 p1 ++x2 p2++ ...++ xn pn p1 p2 ... pn

∑xi pi

=i =1n

∑pi

i =1

n
= ∑xi pi .	(1.2.1)

i =1

Если в правой части формулы (1.2.1) стоит ряд, то

∞

M (X ) = ∑xi pi = i =1

lim ∑xi pi , причем ряд должен сходиться абсолютно.

n→∞ i =1

Математическое ожидание у данного конкретного распределения может и не существовать.

Математическое ожидание случайной величины X связано своеобразной зависимостью со средним арифметическим наблюденных значений случайной величины X при большом числе опытов. Эта зависимость того же типа, что между частотой и вероятностью, а именно, при большом числе опытов среднее арифметическое значений X сходится по вероятности к своему математическому ожиданию.

Свойства математического ожидания:

1. M (C) = C, C = const. Постоянную величину можно рассматривать как случайную, принимающую только одно значение с вероятностью рав-

ной единице, т.е. M (C) = ∑C 1 = C.

i=1

2.Константу можно выносить за знак математического ожидания,

	M (C X ) =		C M (X ).					n
т.е.	M (C X ) =		C M (X ).	Действительно,		M (CX ) = ∑Cxi pi =
								i =1
n
= C ∑xi pi = CM (X ) .
i =1			аддитивности: M (X +Y ) = M (X )+ M (Y ),
3.	Свойство		аддитивности: M (X +Y ) = M (X )+ M (Y ),					так	как
	n		n	n			(Y ).
M (X +Y ) = ∑		(xi + yi )pi = ∑xi pi + ∑yi pi = M (X )+ M					(Y ).
	i=1		i=1	i=1
Совокупность второго и третьего свойств называется свойством
линейности		и	выражается		следующим		равенством
M (C1X1 + C2 X 2 +... + Cn X n ) = C1M (X1)+ C2M (X 2 )+ ... + Cn M								(X n ).	В
частности, если Y = kX + b , то M (Y ) = M (kX + b) = kM (X )+ b.

4.Свойство монотонности: если X ≥ Y , то M (X ) ≥ M (Y ).

5.Мультипликативное свойство: для независимых случайных величин X и Y справедливо M (X Y ) = M (X ) M (Y ).

Кроме математического ожидания в качестве характеристик положения случайной величины часто используются мода и медиана.

Модой дискретной случайной величины X называется такое значе-

ние xk , k =	1, n	, для которого
		P(X = d X ) = max P(X = xk ),	(1.2.2)
		k

т.е. мода есть наиболее вероятное значение дискретной случайной величины, если это значение единственно. Мода может быть и не единственной, т.е. распределение может иметь несколько мод (мультимодальное распределение).

Медианой дискретной случайной величины X называется число hX ,

удовлетворяющее условию
P(X < hX ) = P(X ≥ hX ) =1 2.	(1.2.3)

Так как данное уравнение в общем случае может иметь несколько корней, то значение медианы может быть не единственным.

Перейдем теперь к определению характеристик рассеивания случайной величины около своего математического ожидания.

Начальным моментом k -го порядка дискретной случайной величины X называется математическое ожидание k -й степени случайной величины

n
α k = M (X k )= ∑xik pi .	(1.2.4)

i =1

Это определение совпадает с определением начального момента в ме-

ханике, если вероятности pi интерпретировать как массы точек xi . В ча-

стности из формулы (1.2.4) следует, что первый начальный момент есть математическое ожидание, т.е. α1 = mX .

Центральным моментом k -го порядка дискретной случайной величины X называется математическое ожидание k -й степени соответствующей центрированной случайной величины

	n	(xi − mX )k pi .
μk	= M [(X − mX )k ]= ∑	(xi − mX )k pi .	(1.2.5)
	i =1
Дисперсией	случайной величины X называется		математическое

ожидания квадрата соответствующей центрированной величины, т.е. ее второй центральный момент,

n
D(X ) = DX = μ2 = M [(X − mX )2 ]= ∑(xi − mX )2 pi .	(1.2.6)

i =1

Средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением (стандартом) случайной величины X называется величина

σX = DX .	(1.2.7)
Для дисперсии из формулы (1.2.6) легко выводится следующая часто
употребляемая формула:
n
DX = ∑xi2 pi − mX2 .	(1.2.8)
i =1

Свойства дисперсии:
1.	Дисперсия любой случайной величины X неотрицательна, причем
DX = 0 тогда		и	только тогда,				когда		X -	постоянная,	т.е.
D(X ) ≥ 0, D(C) = 0.
2.	Если Y = X + C , где C = const , то D(Y ) = D(X + C) = D(X ).
3.	Если C = const , то D(C X ) = C2D(X ).
4.	Если	случайные			величины		X		и Y	независимы,	то
D(X +Y ) = D(X )+ D(Y ).
Коэффициентом			асимметрии называется						число	A , определяемое
формулой						n
						n
				μ3		∑(xi − mX )3 pi
			A =	μ3	=	i =1		.		(1.2.9)
			A =	σ3X	=	σ3X		.		(1.2.9)
				σ3X		σ3X

Коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии многоугольника распределения. В случае отрицательного коэффициента

1 / 331 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика