1-Пределы

Задача 1. Доказать, что

lim an = a (указать N (ε ) ).

n→ ∞

an

=

1 −

2n2

, a =

−

1

,

2 +

4n2

2

ε >

0 .

an − a

=

1 − 2n 2

+

1

< ε ,

2 + 4n 2

2

n >

1

−

1

,

2ε

2

N (ε ) =

é

1

-

1

ù

ê

ú

2ε

2

ë

û

при n > N (ε ) выполняется неравенство

an − a

< ε , следовательно lim

1 −

2n2

=

1 .

n→ ∞

2 +

4n2

2

lim

(6 - n)2 - (6 + n)2

=

lim

(36 - 12n + n2 ) - (36 + 12n + n2 )

= lim

- 24n

=

(6 +

n)2 - (1

- n)2

(36 + 12n + n2 ) - (1 - 2n +

n2 )

14n +

35

n→ ∞

n→ ∞

n→ ∞

= lim

- 24

= - 24

=

- 12 .

+ 35 / n

n→ ∞ 14

14

7

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

3

1

−

1

+ 7

3

n2 − 1 + 7n3

= lim

n7

n9

= 7.

lim

n→ ∞ 4

n12 + n + 1

− n

n→ ∞

4 1 +

1

+

1

−

1

n11

n12

n2

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

n( n2

+ 1 −

n2 − 1)( n

2 + 1 +

n2 − 1

lim n(

n

2

+ 1 −

n

2

− 1) =

lim

=

n→ ∞

n→ ∞

n2 + 1 +

n2

− 1

= lim

n(n2 + 1 − n2 + 1)

=

lim

2n

=

lim

2

= 1.

n→ ∞

n2 + 1 +

n2

− 1

n→ ∞

n2 + 1 +

n2

−

1

n→ ∞

1 + 1/ n2

+

1 − 1/ n2

lim

(2n + 1)!+ (2n +

2)!

=

lim

1 + (2n +

2)

=

(2n +

2)(2n + 3) − (2n +

2)

n

→ ∞

(2n + 3)!− (2n + 2)!

n→ ∞

=

lim

2n + 3

= lim

2

n

+

3

n

2

=

0.

8

4

n→ ∞ 4n2 + 8n + 4

n→ ∞

4 +

n +

n2

Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.

æ 2n + 3 ö n+ 1

2 ö n+ 1

2

2n+ 1

×

2

×( n+ 1)

æ

æ

ö 2

2n+ 1

limç

÷

= limç 1

+

÷

= limç 1 +

÷

=

2n + 1

2n +

n

® ¥ è 2n + 1

ø

n® ¥ è

ø

n® ¥ è

1ø

lim

2n+ 2

lim

2+ 2 / n

= en® ¥

2n+ 1 = en® ¥

2+ 1 / n = e.

Задача 7 . Доказать (найти δ (ε ) ), что

lim

7x 2

+ 8x + 1

=

- 6.

x +

1

x→ −

1

7 x 2

+ 8x + 1

+ 6

< ε ,

x +

1

7 x 2

+ 8x + 1

+ 6

=

7 x + 1 + 6

= 7

x + 1

< ε ,

x +

1

x + 1

< ε / 7.

При ε > 0 δ (ε ) = ε

/ 7. Это значит, что при x →

− 1 функция имеет пределом число − 6 .

Задача 8 . Доказать, что функция

f ( x) непрерывна в точке x0 (найти δ (ε ) ).

f (x) = 2x2 - 4, x0 = 3.

f (x) -

f ( x0

< ε при

x - x0

< δ (ε ) ,

lim

(x 2 + 2x - 3)2

=

æ

0 ö

=

lim

(x - 1)2 (x + 3)2

= lim

(x - 1)2

(x + 3)

= 0.

ç

÷

x3 + 4x 2 + 3x

0

x(x + 1)(x + 3)

x(x

+ 1)

x→ − 3

è

ø

x→ − 3

x→ − 3

lim

4

x

- 2

=

æ

0 ö

=

lim

(4

x

- 2)(4

x

+ 2)

=

lim

x

- 4

=

ç

÷

x→ 16

x -

4

è

0 ø

x→ 16

(

x -

4)(4 x +

2)

x→ 16

(

x - 4)(4 x +

2)

=

lim

1

=

1 .

x→ 16

4 x +

2

4

Задача 11 . Вычислить пределы функций.

ln(1 - 3x)

æ 0

ö

1

ln(1 - 3x)

1

− 3

lim

=

=

lim

=

lim

1 - 3x

=

ç

÷

x

→ 0

8x + 4

- 2

è

0

ø

2 x→ 0

2x + 1 - 1

2 x→ 0

1

2x + 1

1 lim

3

1

× 3

3 .

=

-

2x + 1

=

-

= -

2 x→ 0

1 - 3x

2 1

2

Задача 12 . Вычислить пределы функций.

x2-

1

æ

0ö

x-

1=y

(y+1)2

-

1

y2

+2y

lim(y+2)=

lim

=ç

÷

=

y®

=lim

=lim

=

2.

lnx

0

ln(y+

1)

y

x→1

è

0ø

y→0

y→

0

y→

0

Задача 13 . Вычислить пределы функций.

lim

tgx-

tg2

=

æ

0

ö

=

2-

x=

y

=

lim

tg(2-

y)-

tg2

=

lim

tg(2- y)- tg2

=

ç

÷

y®

sinln(x-

1)

0

0

sinln(1-

y)

ln(1- y)

x→

2

è

ø

y→

0

y→

0

=

lim

-

1cos2(2-

y)

=

lim

1- y

=

1

=

1+ tg2

2.

-

1(1-

y)

cos2

(2-

y)

cos2

2

y→

0

y→

0

lim

73 x - 32 x

=

æ

0 ö

=

lim

(73 x - 1) - (32 x - 1)

= lim

3x ln 7 - 2x ln 3

= 0.

tgx + x3

ç

0

÷

x + x3

x2

+ 1

x® 0

è

ø

x® 0

x® 0

lim

1 - x2

=

æ

0 ö

=

lim

- 2x

=

- 2

=

- 2

=

2

.

ç

÷

sin π x

0

π

cosπ x

π

cosπ

- π

π

x® 1

è

ø

x® 1

- 2 sin 2

x

1

2

×

2 sin 2

x

x

1

2

x

2

1¥

= lim(1 − 2sin 2

x

) - 2 sin

-

lim

lim(cos

x ) x

=

2

= e

x® 0

x

=

x® 0

x® 0

2

= e

-

x

= e

-

1

=

1 .

x® 0 2 x

2

lim

( x- 1)(3

+ 3

+ 1)

x2

( x- 1)(3

+ 3

3

+ 3

+ 1

x

x- 1

x2

+ 1)

x2

lim

lim

lim

x

lim

x

= e3 .