Zadachi (1) / Расчётная работа №3,4

Расчётная работа №3

Дано: на составную конструкцию (система двух тел: балка АEB и балка BCD) действуют (рис.1): сосредоточенная сила , момент пары сил , неравномерно распределенная по закону треугольника нагрузка интенсивности q на участке ВС, F =10 кН; M =30 кН∙м; q=1,0 кН/м; AE =1,2 м; AB =7,0 м; BC =2,0 м; CD =4,0 м; α =30°; β =45°. В точке А балка АEB имеет жесткую заделку, балка BCD опирается в точке D на стержень.

Заменим неравномерно распределенную по за­кону треугольника нагрузку сосредоточенной силой Q=qBC= ∙ 1 ∙ 2=1 кН, приложенной на расстоянии BC =∙2 =м от точки С.

Определить: реакции в жесткой заделке A ,момент М_Аz и реакцию в стержне D и давление в промежу­точном шарнире B.

Рисунок 1

Решение. При рассмотрении равновесия составной конструк­ции в целом (AЕBCD) к системе приложены активные силы , , и активная пара сил с моментом . Кроме того, на балку нало­жены связи: жесткая заделка А и опора стержня D. Отбрасывая мысленно связи, заменяем их действие реакциями (рис.2). Реакция жесткой заделки А заменяется неизвест­ной силой с двумя составляющими R_Ax, R_Ay, а также моментом заделки М_Аz и реакция опоры D заменяется неизвест­ной силой с двумя составляющими R_Dx, R_Dy. Оси координат выберем с началом в точке С, напра­вив абсциссу по горизонтали вправо, ось ординат по вертикали вверх. В результате получаем силовую схему конструкции, при­веденную на рис.2.

Рисунок 2

Коротко поставленную задачу можно записать следующим образом:

AЕBCD  xCy {, , , ( R_Ax, R_Ay, М_Аz), }.

Число неизвестных ( R_Ax, R_Ay, М_Аz, R_D) четыре, т. е. больше числа уравнений равновесия - трех, которые можно составить для этой системы сил. Поэтому для решения данной задачи со­ставную конструкцию необходимо разделить на две части (т.е. на две подсистемы АЕB и BCD) по промежуточному шарниру В (рис.3). В месте разделения конструкции необходимо пока­зать соответствующие реакции по взаимно противоположным направлениям для каждой из частей. Причем, соответствующие составляющие реакций равны по величине.

Каждая из частей находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил. Для каждой части конструкции можно составить по три уравнения равновесия, приняв ту же систему координат х у (х - по горизонтали вправо; y – по вертикали вверх).

Рисунок 3

Рассмотрим равновесие правой части (AEВ) системы:

AЕB  xCy {, R_Ax, R_Ay, М_Аz, R_Bx, R_By}.

К правой части системы AЕB приложены неизвестные R_Ax, R_Ay, М_Аz, R_Bx, R_By.

Можно составить три уравнения равновесия в подсистеме AЕB.

1. , R_Ax - F∙cos α + R_Bx =0;  R_Ax;

2. , -R_By - F∙sin α - R_Ay=0;  R_Ay;

3. , R_By ∙AB +F∙sin α ∙AE - М_Аz =0;  М_Аz.

Рассмотрим равновесие левой части (ВCD) системы:

BCD  xCy {, , R_Bx, R_By, R_Dx, R_Dy}.

К левой части BCD балки приложены неизвестные силы R_Bx, R_By, R_D. Силы в точке B равны по ве­личине и противоположны по направлению силам R_Bx, R_By. Все­го в рассматриваемой задаче к конструкции приложено шесть не­известных сил. Для каждой подсистемы AЕB и BCD имеем по три уравнения равновесия, т.е. для системы в целом всего шесть уравнений. Задача статически определима, т.е. число неизвестных равно числу уравнений.

4. , -R_Bx + R_D cos β=0;  R_Bx;

5. , R_By - Q+ R_D sin β =0;  R_By;

6. , -R_D ∙BC∙sin β +R_D ∙CD∙cos β + Q ∙BC – M=0;  R_D.

Из 6 R_D= (- Q ∙BC+M)/(-BC∙sin β +CD∙cos β) =

=(– 1 ∙ ∙2 +30)/(-2∙sin 45+4∙cos 45)= 20,7 кН;

Из 5 R_By = Q - R_D sin β = 1 – 20,7∙sin 45= -13,6 кН;

Из 4 R_Bx = R_D cos β =20,7∙cos 45= 14,6 кН;

Из 3 -М_Аz =R_By ∙AB +F∙sin α ∙AE=

-13,6∙7+10∙sin 30 ∙1,2=-89,2 кН∙м;

Из 2 R_Ay=R_By + F∙sin α= - 13,6 + 10∙sin 30 = -8,6 кН;

Из 1 R_Ax = F∙cos α - R_Bx =10∙cos 30 – 14,6 =-5,9 кН.

Проверка.

, R_Dcos β +R_Ax - F∙cos α=0;

20,7∙cos 45 - 5,9 - 10∙cos 30=0; 14,6 – 5,9 – 8,7=0; 0=0.

Проверка выполняется. Знак минус у сил означает, что направление у этих сил противоположно ранее выбранному.

Расчётная работа №4

Дано: прямоугольная фрамуга ABCD веса G удерживается под углом γ к горизонтальной плоскости посредством веревки перекинутой через блок М, и натягивается грузом Q и силами реакций в точках А и В, если к фрамуге приложена сила .

H₁=0,2 м, Н₂=0,5 м, силы F=30 Н, G=25 Н, параллельна плоскости Axz, АВ=DC= H₁; AD=BC=Н₂; AD=AM; DE=(1/2)DC=(1/2)H₁, α=30°, γ=60°.

Определить реакции шарниров и натяжение троса.

Рисунок 4

Решение. Освобождаем фрамугу от связей и рассматриваем ее равновесие под действием заданной силы веса G, сосредоточен­ной силы , реакций в шарнирах ( R_Ax, R_Ay, R_Az), ( R_Bx, R_Bz), натяжение веревки от груза Q.

Рисунок 5

Поставленную задачу можно записать коротко следующим образом:

ABCD  xAyx {, , ( R_Ax, R_Ay,R_Az), ( R_Bx, R_Bz), }.

Задача статически определима, так как число неизвестных (R_Ax, R_Ay, R_Az, R_Bx, R_Bz, ) соответствует числу уравнений рав­новесия для пространсгвенной системы сил, приложенных к плите.

1. , R_Ax + R_Bx - Q ∙cos ((90-γ)/2) + F∙cos α =0; 

R_Ax = - R_Bx + Q ∙cos ((90-γ)/2) - F∙cos α=

=- 69 + 36,25∙cos 15 – 30 ∙cos 30= -59,96 Н;

2. , R_Ay=0;

3. , R_Az + R_Bz – G - F∙sin α - Q ∙sin ((90-γ)/2) =0; 

R_Az = -R_Bz + G + F∙sin α + Q ∙sin ((90-γ)/2) =

=-20 + 25 + 30 ∙sin 30 – 36,25 ∙sin 15= 10,62 Н;

4., - G ∙H₁/2 + R_Bz ∙H₁ - F∙sin α∙H₁/2=0; 

R_Bz =(G ∙H₁/2 + F∙sin α∙H₁/2)/ H₁=

=G/2 + F/2∙sin α=25/2+ 30/2∙sin 30=20 Н;

5., G ∙H₂/2∙cos γ - Q ∙H₂ + F∙H₂=0; 

Q=(G ∙H₂/2∙cos γ + F∙H₂)/H₂ = G/2∙cos γ + F=

=25/2 ∙cos 60 + 30 =36,25 Н;

6., - R_Bx ∙ H₁ - F∙cos α∙H₁/2 =0; 

R_Bx = -F/2∙cos α= -30/2 ∙ cos 30 = - 12,99 Н.

Уравнения равновесия для пространственной системы сил, приложенных к телу, удобно представлять в виде таблицы:

№ п/п
1		0	0	-G	-G ∙H1/2	G ∙H2/2∙cosγ	0
2		F∙cos α	0	-F∙sin α	-F∙sin α∙H1/2	F∙ H2	-F∙cos α∙H1/2
3		RAx	RAy	RAz	0	0	0
4		RBx	0	RBz	RBz ∙ H1	0	-RBx ∙H1
5		-Q∙cos((90-γ)/2)	0	-Q sin((90-γ)/2)	0	-Q∙H2	0
							
		RAx	RAy	RAz	RBz	Q	RBx

Решая полученную систему уравнений, находим искомые ре­акции. По заданным компонентам определяются реакции , и натяжение веревки от груза . Направления реакций, имеющих по результатам расчета знак "минус", противоположны тем, которые указаны на схеме сил.

7