for students / дучп_лр
.docКафедра космических летательных аппаратов
«Моделирование»
«Анализ распределения скоростей течения вязкой жидкости в канале сложной формы»
Цель работы: Получение навыка решения на ЭВМ дифференциальных уравнений в частных производных разностным итерационным методом и методом Монте-Карло на примере задачи определения скоростей течения вязкой жидкости в канале сложной формы.
Содержание работы
Необходимо определить распределение скоростей течения вязкой жидкости по поперечному сечению канала сложной формы.
-
Определение основных этапов решения на ЭВМ дифференциальных уравнений в частных производных.
-
Ознакомление с методами.
-
Составление расчетной схемы программы расчета, подготовка исходных данных.
-
Проведение расчётов.
-
Построение полученных зависимостей.
Введение
Установившееся течение жидкости в канале сложной формы описывается уравнением Пуассона:
с граничными условиями WГ=0,
где W— скорость течения жидкости;
х,у - координаты точки;
g(x,y) - функция, учитывающая параметры вязкой жидкости.
Уравнение Пуассона (1) описывает также явления другой физической природы, например, стационарную теплопередачу в пластине с внутренними источниками тепловыделения.
Существуют несколько методов решения уравнения Пуассона.
-
Метод конечных элементов.
-
Метод конечных разностей.
-
Метод Монте-Карло,
В данной лабораторной работе необходимо получить решение вторым и третьим методами.
В основе решения уравнения Пуассона методом конечных разностей лежит конечно-разностная аппроксимация производных. Решение включает три этапа:
-
Построение в области решения сетки, содержащей N узловых точек. Как правило, используются регулярные сетки с постоянным шагом, позволяющие наиболее точно описать границы сложной формы.
-
Получение разностного выражения дифференциального уравнения, описывающего функциональные связи между соседними узлами.
Р азностный аналог уравнения Пуассона для точки x=Δx*i и у=Δу*j:
Где к - номер итерации;
Δх - расстояние между узлами сетки по оси х;
Δу - расстояние между узлами сетки по оси у.
приводит к системе линейных алгебраических уравнений, отличающихся разреженной матрицей коэффициентов при неизвестных. Разностное уравнение записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему N уравнений с N неизвестными.
3 . Решение полученной системы N уравнений. Поскольку система линейных алгебраических уравнений отличается разреженной матрицей коэффициентов при неизвестных, для ее решения часто используют итерационный метод, сущность которого заключается в постепенном приближении к решению за счет многократного повторения одного и того же простого алгоритма. Точность решения определяется заранее. Итерации начинаются с задания начального приближенного решения. Затем начальные значения переменных в узлах сетки последовательно изменяются, пока не достигается заданная точность решения. Быстрота сходимости зависит от степени сложности начальной аппроксимации и используемого алгоритма. Наибольшей скоростью сходимости обладает метод последовательной верхней релаксации, в котором проводится линейная экстраполяция по результатам двух последовательных смещений.
Если текущее значение переменной в узле Wki,j, а метод последовательных смещений дает Ŵki,j, то в действительности будет использовано значение:
где ω - параметр релаксации (1≤ω≤2).
Скорость сходимости определяется величиной ω. При ω =1 получается метод последовательных смещений, а при ω =1.2 скорость сходимости может возрасти в 2 раза по сравнению с методом последовательных смещений.
У словия прекращения итераций:
где ε - требуемая точность вычислений.
Другим методом решения эллиптических уравнений является метод Монте-Карло, который позволяет найти значения W лишь в одном узле сетки. Для этого необходимо организовать «блуждания» из узла, где ищется решение. Расчетная область разбивается сеткой с одинаковым шагом по всем осям: h=Δх=Δу.
Затем многократно повторяется простой алгоритм:
1 . Точку помещают в тот узел, где необходимо найти решение, положив начальное значение счетчика равным
2. С равными вероятностями точку перемещаем в один из соседних узлов, прибавив к счетчику соответствующее значение
Для выбора направления перемещения используют датчик случайных чисел;
-
Если новая точка не попала на границу, то снова выполняют пункт 2;
-
Если новая точка попала на границу, то к счетчику прибавляется значение функции на границе WГ и траекторию обрывают.
Для уравнения Пуассона WГ =0, и если шаг сетки h выбрать таким, чтобы
з начение функции в исходном узле (х=x0; у=y0) W будет равно математическому ожиданию числа шагов до границы.
Порядок подготовки программы
Необходимо составить программу решения уравнения Пуассона, описывающего течение вязкой жидкости в канале сложной формы разностным итерационным методом и методом Монте-Карло.
Содержание отчета
Отчёт должен содержать:
-
краткие пояснения по применяемым методам решения задачи,
-
текст программы, составленной студентом,
-
результаты расчётов,
-
рисунок поперечного сечения канала с нанесёнными изолиниями скорости течения.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Общие условия: g(х,у)=104; Требуемая точность 10-6 Методом конечных разностей Необходимо определить значение скоростей течение во всех узлах сетки ( расчётная область разбивается сеткой, содержатся не менее 10 точек по каждой координате), а методам Монте-Карло лишь в одном узле по выбору по выбору. Размеры в метрах.