Лекция 19. Синтез непрерывных корректирующих средств

В цифровых системах управления возможно использование всех рас- смотренных выше непрерывных корректирующих средств. Если для запретной области, соответствующей заданному показателю колебательности, выполняет- ся условие (14.1), расчет корректирующего звена может выполняться как на основе ЛАХ, так и на основе логарифмической псевдочастотной характеристи- ки непрерывной части системы. Результаты оказываются практически одинако- выми. Более удобно использование ЛАХ.

Если исходная система с ЛАХ непрерывной части L(w) не обладает не-

обходимым запасом устойчивости и для заданного показателя колебательности

M построена желаемая ЛАХ Lж(w), то ЛАХ последовательного корректирую- щего звена может быть получена вычитанием:

. (19.1)

После этого на основе Lпс(w) может быть получена передаточная функ- ция и выбрана схема и конструкция корректирующего устройства.

Рассмотрим пример синтеза цифровой системы управления со следую- щими исходными данными.

Исходная передаточная функция непрерывной части совместно с АЦП и

ЦАП:

W (p) = p(1 + t1 p)(1 +kt2 p)(1 + t3 p) ,

где t1 =0,05 с, t2 =0,003 с, t3 =0,001 с. Период дискретизации сигнала в

цифровой части T0 =0,02 с. Используется экстраполятор нулевого порядка.

. ..

Характеристики входного сигнала: gmax = 30 c−1, gmax = 15 c−2 . Требуется

обеспечить ошибку воспроизведения входного сигнала emax не выше 0,1 при допустимом показателе колебательности M=1,5.

На рис. 53а показана ЛАХ исходной системы учетом запретной области на низких частотах, рассчитанной из условия обеспечения требуемой точности:

..					æ .		ö 2
						ç g	÷
wэ =	gmax	=	15	= 0,5 c	−1, L(wэ ) = 20 lg	è	max ø	=
			30				..
.
	gmax					emax gmax
				= 20 lg600 = 55,6дБ ,
				w0	= 12 c−1.

73

Соответственно требуемое значение коэффициента передачи разомкнутой сис- темы k=300 c-1.

Поскольку условие (16.1) для по-

стоянной времени τ1 не выполняется, синтез системы cледует выполнять на основе желаемой ЛАХ (рис. 45).

Постоянные времени, формирую- щие изломы желаемой ЛАХ:

T

=

1

= 2 c,

1

ωэ

T2 =

1

M

= 0,14 c,

ω0

M − 1

T3 =

T2τ1

= 0,0035 c.

T1

Частота

среза

желаемой ЛАХ:

ωc = k

T2

= 21c

−1

.

T1

Полученная желаемая ЛАХ пока-

зана на рис. 53а пунктиром. Соотношение (16.6) с учетом величины T0 2 вы-

полняется.

ЛАХ корректирующего устройства, полученная в соответствии с (19.1), показана на рис. 53б. Таким образом, для обеспечения требуемой точности в

систему должно быть добавлено последовательное корректирующее устройство интегро-дифференцирующего типа с передаточной функцией:

W (p) = (1+ T2 p)(1+ τ1 p) . (1+ T1 p)(1+ T3 p)

На основе формул перехода (18.1) также могут быть синтезированы па- раллельное корректирующее устройство или обратная связь.

Лекция 20. Синтез компьютерного управления

Закон управления или корректирующее звено, обеспечивающие решение системой ее задач и необходимое качество процесса управления, могут быть реализованы в виде алгоритма в цифровой части системы (управляющем ком- пьютере).

Требуемый алгоритм управления определяется дискретной передаточной функцией цифровой части D(z), как это показано в лекции 9.

74

Если для системы, структура которой соответствует рис. 34, известна дискретная передаточная функция непрерывной части Wн(z) и найдена желае- мая дискретная передаточная функция разомкнутой системы Wж(z), то переда-

точная функция цифровой части может быть определена как отношение

D(z) =	W	(z)
		ж	.	(20.1)
	W	н (z)

Вместо (20.1) на практике чаще применяется метод синтеза цифровой части на основе частотных характеристик. При этом управляющий компьютер рассматривается как последовательное корректирующее устройство, переда- точная функция которого D(z)=Wпс(z), может быть найдена через дискретные частотные передаточные функции:

	W п с( jl) =	W ж ( jl)	,	(20.2)
		W н ( jl)

или соответствующие им логарифмические псевдочастотные характеристики:

	Lп с(l) = Lж (l) - Lн (l).	2w		(20.3)
Если найдена W	( jl), далее подстановками jl =			и w =	z − 1
	п с	T0			z + 1

можно перейти к D(z) и алгоритму компьютерного управления.

При использовании соотношений (20.1) - (20.3) следует иметь в виду сле- дующие ограничения:

-в число нулей и полюсов желаемых передаточных функций системы должны входить все нули и полюсы передаточных функций непрерывной час- ти, лежащие за пределами области устойчивости (рис. 28 или 29 соответствен- но);

-степень числителя получаемой передаточной функции цифровой части не должна быть выше степени ее знаменателя.

Рассмотрим синтез управляющего алгоритма на примере.

Пусть в системе компьютерного управления с экстраполятором нулевого порядка передаточная функция непрерывной части совместно с ЦАП и АЦП имеет вид:

W н (p) = pk2 .

Дискретные передаточные функции и частотные характеристики непре- рывной части будут иметь вид:

W н (z) =	z - 1		ì k		ü		kT02 (z + 1)
			Z í		ý	=		,
	z						2(z - 1)2
			î p3		þ

75

	æ			T		ö
	kç	1	- j		0		l÷
				2
W н ( jl) =	è					ø		,
			( jl)2
Lн (l) = 20lg k + 20lg 1 +				T 2			l2 - 40lg l,
				0
				4						T0
			yн (l) = -180o - arctg								l .
										2

Логарифмические псевдочастот-

ные характеристики непрерывной части показаны на рис. 54а. Ясно, что при простейшем законе управления на осно- ве отрицательной обратной связи замк- нутая система будет неустойчива. Син- тез закона управления может быть вы- полнен аналогично синтезу корректи- рующего устройства. Выберем желае- мую ЛАХ в виде, показанном на рис. 54а пунктиром. Желаемая дискретная частотная передаточная функция ра- зомкнутой системы имеет вид:

æ

T

0

ö

k(1 + jT l)ç

1

- j

l÷

2

W ж ( jl) =

1

è

ø

,

( jl)

2 æ

T

ö

ç

1

+ j

0

l÷

2

è

ø

а для последовательного корректирующего устройства получим:

	W п с( jl) =	1 + jT1λ			.
		1 + j	T0	l
		2

ЛАХ последовательного корректирующего устройства показана на рис. 54б. Требуемое значение T1 рассчитывается по формуле (15.4).

Указанными выше подстановками перейдем к дискретной передаточной функции цифровой части:

W п с(w) = T0 +( 2wT)1 , T0 1 + w

76

T0

+ 2

z − 1

T1

(T

+ 2T

)z + (T

- 2T

)

0

0

−1

D(z) = W п с(z) =

z + 1

=

1

2T z

1

= b0 + b1z

,

æ

z - 1ö

T

0

ç1

+

÷

0

è

ø

z + 1

где b = 0,5 +

T1

,

b

= 0

,5 -

T1

.

0

T0

1

T0

В результате получен следующий алгоритм компьютерного управления:

u[n] = b0 x[n]+ b1x[n - 1].

В общем случае дискретная передаточная функция цифровой части мо- жет быть получена в виде:

	b0	+	b1z	−1 + +	−l	U(z)
D(z) =				... blz		=		,
	a0 + a1z−1 +...+amz −m						X (z)

Соответствующий алгоритм управления, который должен быть реализо- ван в управляющем компьютере, получается в виде рекуррентного соотноше- ния:

u[n] =

b0

x[n] +

b1

x[n − 1]+...+

bl

x[n − l]

−

a1

u[n − 1]−...−

am

u[n − m].

a

a

a

a

a

0

0

0

0

0

В таблице 3 приведены некоторые алгоритмы управления и коррекции

систем с соответствующими передаточными функциями.

Таблица 3

Непрерывный

Дискретная

Частотная

Тип звена

аналог

передаточная

передаточная

Алгоритм

функция

функция

Дифференци-

z − a

1+ jτλ

,

u[n] = b0 x[n] +

1+ Tp

,

1+ j

T0

l

+b x[n - 1],

рующее

(1 - a)z

1

2

b = (1 − a)−1 ,

0 < a ≤ 1

(1+ a)T0

0

a

t =

2(1- a)

b1 = −

1− a

Пассивное

1+ T1 p

(1- b)(z - a)

1+ jτ1λ

,

u[n] = b0 x[n] +

дифференци-

,

,

1+ jt2l

+b1x[n - 1]-

(1- a)(z - b)

рующее

1+ T2 p

(1+ a)T0

-a u[n - 1],

T1 > T2

0 < b < a < 1

t1 =

1

2(1- a)

b0 =

1− b

,

τ2

=

(1+ b)T0

1

− a

b1 = ab0 ,

2(1

− b)

a1 = −b

77