n+r-

F1	æ	.	ö	æ	.	ö	m
	çX ,X ,t÷			= FçX ,X ,t÷			+ å
	è		ø	è		ø	j=1

æ	.	ö	(22.15)
y j (t)g j çX ,X ,t÷ ,
è		ø

где ψj(t) - произвольные функции времени.

3.Если в задаче одновременно присутствуют уравнения связи вида (17.12)

и(17.14), функция F1 вводится в форме:

F1

æ

.

ö

æ

.

ö

m

æ

.

ö

k

æ

.

ö

çX ,X ,t÷

= FçX ,X ,t÷

+ åy j (t)g j çX ,X ,t÷

+ ål jG j çX ,X ,t÷ .

è

ø

è

ø

j=1

è

ø

j=1

è

ø

Для нахождения экстремума функционала (22.1) при наличии ограниче- ний вида (22.12) или (22.14) к функции F1 применяются условия (22.2) - (22.10) в зависимости от других условий задачи.

Лекция 23. Синтез линейного регулятора, оптимального по квадратичному критерию

Рассматривается линейная модель объекта управления:

	dX (t)	= AX + BU ,	(23.1)
	dt

где X(t)=(x1,x2,...xn) - n-мерный вектор состояния, U(t)={u1, u2,... ur} - r-

мерный вектор управления, A - матрица размерностью n × n, B - матрица раз- мерностью n × r .

Требуется построить линейный регулятор, решающий задачу стабилиза- ции объекта управления, причем должна обеспечиваться оптимальность по

квадратичному критерию качества:
∞ æ	n	r	ö
ç	2	2	÷	(23.2)
J(X ,U ) = òç	å pi xi	+ åq ju j	÷ dt ,
0 è i=1		j=1	ø

где qi ³ 0 , rj>0 - весовые коэффициенты.	xi(0)=xi0, i=1,2,...,n;
Граничные условия фиксированные:
x1(¥) = x 2 (¥) =...= x n (¥) = 0 .

Оптимальное управление будем искать в виде функции переменных со- стояния системы: U=RX, где R - матрица размерностью r × n. Задача сводит- ся к определению элементов матрицы R, которые и являются коэффициентами регулятора.

Сформулированная задача соответствует задаче Лагранжа, рассмотрен- ной в предыдущей лекции, если считать все xi и uj составляющими мерной векторной функции - экстремали, причем для xi концы закреплены, для

85

uj - подвижны, а уравнения (23.1) дают n дифференциальных связей в форме

(22.14).

Составим функцию Лагранжа:

F1	æ	.	ö	n	r	n	æ .	n	r	ö
	çX ,X ,t÷			= å pi x i2	+ åqj u2j + åyi (t)ç x i - åaik x k - åbilul ÷ .
	è		ø	i=1	j=1	i=1	è	k =1	l=1	ø

Система уравнений Эйлера-Лагранжа:

¶F1 ¶x i

¶F1 ¶uj

	d	æ			¶F	ö
-		ç		1		÷		= 0
	dt	ç		.		÷
		è			¶ x i	ø
		æ			¶F	ö
	d ç					÷
-			ç		1		÷	= 0
				.
	dt ç					÷
		è			¶u j ø

,

,

i=1,2,...n ;

j=1,2,...r .

(23.3)

(18.4)

В результате уравнения объекта (23.1) и получаемые после подстановки F1 в (23.3), (23.4) уравнения образуют систему уравнений:

.	n	r
x i	= åaik x k + åbilul ,		i=1,2,...n ;
	k =1	l=1
	n	.
2 pi x i - åaik y k		- yi = 0 , i=1,2,...n ;
	k =1
	n
2qjuj - åbkj y k = 0 ,			j=1,2,...r.
	k =1
Получена система 2n+r дифференциальных и алгебраических уравнений

для определения 2n+r неизвестных функций xi, yi, uj, соответствующих оп- тимальному процессу. Порядок этой системы уравнений можно сразу понизить, выразив из последней группы уравнений составляющие управления и подста- вив их в уравнения объекта:

n

b

uj = å

kj

y k

, j=1,2,...r ;

.

k =12qj

n

r

æ

n

b

ö

n

n

x i = åaik x k + å

ççbilul

+ å

kj

y k ÷÷

=åaik x k + ådik x k ,

2qj

k =1

l=1

è

k =1

ø

k =1

k =1

n

b b

dik = å

il kl

,

i=1,2,...n ;

2q

k =1

l

86

. n

ψi = 2 pi x i − åaik ψ k , i=1,2,...n . k =1

Полученной системе 2n линейных дифференциальных уравнений перво- го порядка соответствует характеристическое уравнение порядка 2n. Каждая функция x или ψ, являющаяся решением такой системы уравнений, имеет вид

суммы 2n экспонент вида Ck eμkt , где μk - корни характеристического уравне- ния. Известно, что у получаемого в рассматриваемй задаче характеристическо- го уравнения n корней лежат в левой полуплоскости, остальные n корней - в правой. С учетом заданных граничных условий для t → ∞ нетрудно показать, что для правых корней коэффициенты Ci в выражениях для функций x должны быть равны нулю. В результате выражения для переменных состояния системы в оптимальном процессе могут рассматриваться в виде:

n

xi (t) = åCik eμkt , i=1,2,...n,

k =1

где μk - левые корни характеристического уравнения. n

Оптимальное управление в форме uj = årij xi может быть теперь оп-

i=1

ределено путем алгебраических преобразований. Рассмотрим один из возмож- ных способов, ограничившись случаем одномерного управления (r=1). Пред- положим, что переменные состояния системы для модели (23.1) выбраны так, что:

.	.	.
x 2 = x 1,	x3 = x 2 , ..., xn = x n−1,

а управляющий сигнал входит только в последнее уравнение:

.	n
x n	= åank xk + bu.	(23.5)
Тогда приняв	k =1
	n
x1(t) = åCk eμkt ,
можно получить:	k =1
n
x i (t) = åμ ki−1Ck eμk t , i=1,2,...n.		(23.6)

k =1

Введем новые переменные zk = C k eμk t . На основе (23.6) для них полу-

чим систему уравнений:

z1 + z2 +...+zn = x1,

87

μ1z1 + μ2 z2 +...+μnzn = x2,	(23.7)
...
m1n−1z1 + m2n−1z2 +...+mnn−1zn = xn.
Решение (18.7) может быть получено в виде:
n
zk = åeki xi , k=1,2,...n,	(23.8)

i=1

где значения коэффициентов eki полностью определяются значениями mk, то есть соответствуют оптимальному процессу.

На основе (18.5), (18.8) получим:

1

æ .

n

ö

1

æ

n

n

ö

u =

çx n - åank xk ÷

=

ç

åmknC k eμk t - åank xk ÷

=

b

b

è

k =1

ø

èk =1

k =1

ø

1

æ

n

n

ö

1

æ

n n

n

ö

=

ç

åmkn zk

- åank xk ÷

=

ç

ååmkn eki xi - åank xk ÷

. (23.9)

b

b

è k =1

k =1

ø

èk =1i=1

k =1

ø

Впервой сумме все коэффициенты зависят только от корней характери- стического уравнения, соответствующего оптимальному процессу в системе. Во второй - от параметров объекта управления. После подстановки в (23.9) численных значений будут определены коэффициенты оптимального линейно- го регулятора.

Взаключение отметим, что по виду критерия качества (23.2) с учетом знака весовых коэффициентов ясно, что достигаемый для него экстремум мо- жет быть только минимумом.

Лекция 24. Каноническая форма уравнений Эйлера. Принцип максимума

Для задач оптимизации динамических систем, в частности, систем управ- ления, применяется особая форма записи уравнений для определения допусти- мых экстремалей - с использованием функции Гамильтона. Эта форма получи- ла наиболее широкое распространение для задач с дифференциальными связя- ми. Она принята за основу в методах оптимизации систем при наличии ограни- чений в форме неравенств.

Рассмотрим задачу синтеза оптимального управления для объекта, мо- дель которого задана в виде (21.1). Такая задача может рассматриваться как

задача Лагранжа, причем модель объекта дает n дифференциальных связей:

. .

æ	ö	= x i - fi (X ,U) = 0 ,	i=1,2,...n ,
gi ç X ,X ,U÷				(24.1)
è	ø

а критерий качества приводится к виду функционала:

88

	t1
J(X ,U ) = ò F(X ,U)dt ® min.			(24.2)
	t0
При решении задачи Лагранжа составляется функция Лагранжа:
n	n	æ .	ö
F1(X ,U) = F(X ,U) + åy i (t)gi (X ,U) = F(X ,U) + åy i (t)ç x i - fi (X ,U)÷ ,
i=1	i=1	è	ø

для которой далее составляется система уравнений Эйлера-Лагранжа и приме- няются другие условия достижения экстремума.

Если дифференциальные связи могут быть записаны в форме (21.1) или (19.1), может быть введена функция Гамильтона:

n	.	n
H (X ,U) = -F(X ,U) + åy i (t)x i = -F(X ,U) + åy i (t) fi (X ,U), (24.3)
i=1		i=1

связанная с функцией Лагранжа следующими соотношениями:

n	.		n	.
F1 = -H + åy i x i		или F1 = -H + åy i x i .			(24.4)
i=1			i=1
Функции ψi(t) называются сопряженными переменными. Они могут быть
определены по функции Гамильтона на основе (24.3):
yi =	∂H		, i=1,2,...n .		(24.5)
	.
	¶ x i

Запишем уравнения Эйлера-Лагранжа, учитывая (24.4):

¶ æç-H ¶x i è

¶ æç-H ¶uj è

n	. ö			d	é			¶
					ê
+ åy i x i ÷		-			ê
			dt				.
i=1	ø					ê¶ x			i
					ë
n	. ö				é
				d ê				¶
+ åy i x i ÷		-
				dt ê .
i=1	ø
					ê			¶ uj
					ë

æ	n	. ö	ù
ç-H + åy i x i ÷			ú	= 0 ,	i=1,2,...n ;
			ú
è	i=1	ø	ú
			û
æ			ù
	n	. öú
ç	-H + åy i x i ÷ú = 0 ,				j=1,2,...r.
è	i=1	øú
			û

Раскрыв скобки и продифференцировав, получим:

	.	¶H
	y i = -		,	i=1,2,...n ;	(24.6)
		¶x i
	∂H = 0 ,			j=1,2,...r .	(24.7)
	¶uj

Полученная система уравнений (24.5) - (24.7) называется системой урав- нений Эйлера-Лагранжа в канонической форме.

Рассмотрим условия трансверсальности.

89

Для подвижных концов на основе (22.8) с учетом (24.4) получим:

¶F1			= y i (t0 ) = 0 или	¶F1			= y i (t1 ) = 0 . (24.8)
.				.
¶ x i		t = t0		¶ x i		t = t1

Для свободных концов на основе (22.9) с учетом (24.4), (24.8):

é	n ¶F
ê		1
êF1	- å .
ë	i=1¶ x i

. ù x i úú

ût=t0

	é	n	.	n	¶	æ	n
	= ê-H + åy i		x i -	å		ç-H	+ å
					.
	ê	i=1				è	i=1
	ë			i=1¶ x i
	= -H (t0 ) = 0		или	-H (t1 ) = 0 .

. ö .	ù
yi x i ÷ x i ú		=
ø	ú
	ût=t
		0
		(24.9)

При работе с функцией Гамильтона вместо (24.8), (24.9) обычно приме- няется следующее общее выражение для условий трансверсальности:

é

ê- êë

Hdt +	n	y	dx	ù
	å			ú
		i	i	ú
	i=1			û

t=t1

= 0 .

(24.10)

t=t0

Рассмотренная система необходимых и достаточных условий достижения экстремума функционала, полученная в рамках вариационного исчисления, обеспечивает получение локальных экстремумов. Этого вполне достаточно в

задачах без ограничений на переменные состояния объекта управления или на управляющие сигналы. Если область допустимых управлений не ограничена, абсолютный экстремум совпадает с локальным. Если в задаче рассматривается некоторая ограниченная область допустимых состояний или управлений, зада- чу оптимизации нельзя свести к определению локального экстремума. Абсо- лютный экстремум в ряде случаев может совпадать с границей допустимой об- ласти.

Для задач с ограничениями используются специальные методы оптими- зации, наиболее известными из которых являются принцип максимума Понтря- гина и динамическое программирование Беллмана. Наиболее удобен для реше- ния практических задач в силу своей простоты принцип максимума. Рассмот- рим этот метод для задач с ограничением на управление.

Основная формулировка принципа максимума соответствует задаче обеспечения минимума функционала путем выбора оптимального управления в

пределах некоторой области допустимых управлений: U(t) ÎC .

Для достижения минимума функционала (24.2) при заданных уравнениях объекта управления (24.1) необходимо достижение максимума функции Га-

мильтона по управлению

æ	^ ^	^ ö		æ	^	^ ö	(24.11)
H ç X ,U ,Y÷			= max H çX ,U ,Y÷
è		ø	U C	è		ø

90