Лекция 2. Передаточные функции и частотные характеристики динамических звеньев

Для линейных стационарных моделей, помимо дифференциальных урав- нений, применяется математический аппарат передаточных функций (ПФ) и частотных характеристик, дающий более широкие возможности анализа каче- ства системы. Кроме того, этот математический аппарат служит основой де- тально разработанных и удобных для использования “классических” методов проектирования систем управления.

Аппарат передаточных функций основан на использовании преобразова- ния Лапласа для временных функций, описывающих процессы в моделируемой системе:

∞

Y(p) = L[y(t)] = ò y(t)e− pt dt ,

0

где Y(p) = L[y(t)] - изображение по Лапласу функции времени (оригинала)

y(t).

Передаточной функцией системы или ее части (звена) называется отно- шение изображений выходного и входного сигнала при нулевых начальных ус- ловиях и при отсутствии других входных сигналов. Если имеется несколько входных или выходных сигналов, то должен быть определен набор передаточ- ных функций от каждого входа к каждому выходу.

Например, для модели в форме уравнения n-го порядка

a		d n x(t)	+ a	d n−1x(t)	+K+a		x(t) = b	d m g(t)	+K+b g(t),
	0 dt n
			1 dt n−1			n	0 dt m		m

с учетом теоремы дифференцирования, известной для преобразования Лапласа, получается передаточная функция:

W(p) =	X(p)		b pm + b pm−1		+K+b	p + b
		=	0	1	m−1	m	.
	G(p)
			a0 pn + a1 pn−1+K+an−1 p + an

Для модели в форме системы уравнений 1-го порядка или в соответст- вующей векторной форме передаточные функции определяются путем перехо- да от функций времени к изображениям и решения получаемой системы алгеб- раических уравнений. Например, модель ЛА как объекта управления задается уравнениями:

dθ	= Kϑ − Kθ,	dϑ	= ωz ,	dωz	= Lθ − Lϑ − Mω z − Nδв .
dt		dt
				dt

Входным сигналом здесь является δв , а в качестве выходных могут рас- сматриваться θ, ϑ , ω z или α. Перейдем к изображениям:

8

pθ(p) = Kϑ(p) − Kθ(p),

pϑ(p) = ωz (p),

pω z (p) = Lθ(p) − Lϑ(p) − Mωz (p) − Nδв (p).

Передаточные функции находят решением полученной системы алгеб- раических уравнений относительно отдельных переменных:

pθ(p)+ Kθ(p)− Kϑ(p) = 0,

pϑ(p) − ωz (p) = 0 ,

−Lθ(p) + Lϑ(p) + pωz (p) + Mωz (p) = −Nδв (p),

W θ (p) =

θ(p)

=

1 , W ϑ

(p) =

ϑ(p)

=

2 , W

ω (p) =

ωz (p)

= 3

,

δ

δв(p)

δ

δв (p)

δ

δв (p)

p + K

−K

0

= p3+(K + M)p2 + (KM + L)p,

=

0

p

−1

−L

L

p + M

0

−K

0

1 =

0

p

−1

= −KN ,

−N L

p + M

p + K

0

0

= −N(p + K),

2 =

0

0

−1

−L

−N

p + M

3 =

p + K

−K

0

= −Np(p + K),

0

p

0

−L

L

−N

W θ (p) =

−KN

,

p[p2 + (K + M )p + KM + L]

δ

W ϑ (p) =

−N(p + K)

,

p[p2 + (K + M )p + KM + L]

δ

W ω (p) =

−N(p + K)

.

δ

p2 + (K + M)p + KM + L

Одно из важнейших достоинств передаточных функций состоит в том, что переход к другим сигналам, различная компоновка и преобразование структуры системы на языке передаточных функций сводятся к несложным ал-

9

- логарифмическая фазо-частотная характеристика

гебраическим операциям. Так для получения ПФ для сигнала a достаточно ис- пользовать его связь с сигналами υ и θ:

W α (p) =	ϑ(p) − θ(p)	= W ϑ (p) −W θ (p) =		−N	.
δ	δв (p)	δ	δ	p2 + (K + M)p + KM + L

С аппаратом передаточных функций непосредственно связан аппарат частотных характеристик. В частности, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики звена или системы, имеющие четкий физический смысл и ши- роко применяемые при проектировании реальных устройств, определяются не- посредственно по передаточной функции.

Сначала определяется частотная передаточная функция (ЧПФ), связанная с преобразованием Фурье:

W( jω) = W(p) p = jω .

Затем амплитудно-частотная характеристика определяется как модуль ЧПФ, а фазо-частотная характеристика - как ее аргумент:

A(ω) = W( jω) , ψ(ω) = argW( jω).

Кроме того при решении задач анализа и синтеза систем используются:

-вещественная частотная характеристика (ВЧХ) U(ω)= Re W(jω),

-мнимая частотная характеристика (МЧХ) V(ω)= Im W(jω),

- логарифмическая амплитудная характеристика L(ω) = 20 lg A(ω),

ψ(ω).

Последние две характеристики строятся в полулогарифмическом мас- штабе по специальным правилам. Это обеспечивает простоту их построения

даже для сложных передаточных функций и получение простых процедур для решения многих задач анализа и синтеза систем управления.

Лекция 3. Структурно-динамическая схема системы. Типовые соединения динамических звеньев. Передаточные функции замкнутых систем

Структурно-динамическая

схема системы отображает динамические свойства звеньев (как правило, с помощью их передаточных функций) и взаи- мосвязь между ними.

Для отображения сложения и вычитания сигналов используют специальные обозначения – сумма- торы (рис. 7).

10

В системах управления встречаются три вида соединений звеньев: Последовательное соединение – выходной сигнал предыдущего звена

подается на вход последующего (рис. 8).

Выходной сигнал последовательно соединенных звеньев определяется

как Y(p)=Wn(p)Yn-1(p)=…=W1(p)W2(p)…Wn(p)X(p), следовательно, резуль-

тирующая передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций составляющих звеньев:

n

W ( p) = ÕWi .

i=1

Параллельное соединение (рис. 9) – на входы всех звеньев подается од- но и то же входное воздействие, а выходной сигнал определяется как алгеб-

раическая сумма выходных сигналов отдельных звеньев (с учетом знаков на входах сумматора):

Y(p)=Y1(p)+Y2(p)+…+Yn(p)= =W1(p)X(p)+W2(p)X(p)+…+Wn(p)X(p).

Результирующая передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций составляющих звеньев:

n

W ( p) = åWi

i=1

Отрицательная обратная связь (рис. 10а).

Составим уравнения, связывающие входные и выходные сигналы звеньев цепи через передаточные функции:

X2(p)=W(p)X(p), Xос(p)=Wос(p)X2(p)

и дополним их уравнением сумматора: X(p)=X1(p)-Xос(p). Исключив из со- ставленных уравнений внутренние сигналы цепи, придем к передаточной

функции:

11

W ( p) =	W1( p)
		.	(3.1)
	1+W ( p)W ( p)
	ос 1

Положительная обратная связь (рис. 10б). Аналогично предыдущему случаю можно получить:

W ( p) =	W1( p)
		.
	1−W ( p)W ( p)
	ос 1

В замкнутой системе управление обеспечивается, прежде всего, на осно- ве главной обратной связи (ОС). Помимо главной обратной связи в системе управления могут присутствовать местные обратные связи, охватывающие от- дельные фрагменты структуры схемы. Необходимость их выделения может быть обусловлена принципом действия реального элемента системы. Кроме того местные ОС, а также различные виды главной ОС могут искусственно вводится для повышения качества процесса управления.

Обратная связь может быть положительной, если сигнал xос, снимаемый с выхода ОС, суммируется с сигналом x1 на входе, и отрицательной (ООС), ес-

ли xос вычитается.

Главная обратная связь, как правило, отрицательная.

Кроме того, обратные связи могут быть жесткими и гибкими.

ОС называется гибкой, если она обладает собственными динамическими свойствами. Передаточная функция Wос(p) является функцией оператора Лап- ласа p.

Для жесткой обратной связи передаточная функция – константа:

Wос(p)=kос. В частном случае kос=1 – единичная ОС.

В системе управления могут присутствовать несколько входных сигна- лов: одно или несколько задающих воздействий g, одно или несколько возму- щающих воздействий f, причем разные входные сигналы могут поступать в различные точки системы. В таких случаях необходимо находить передаточ- ную функцию для каждого входного сигнала.

При анализе точности системы рассматривается сигнал ошибки:

12

x(t) = g(t) − y(t) ).

(3.2)

Для него также требуется определение передаточных функций, соответствую- щих каждому входному сигналу.

Таким образом, при описании замкнутой системы всегда приходится рас- сматривать набор различных передаточных функций.

Сформулированное выше для динамических звеньев определение переда- точной функции распространяется и на систему управления в целом, но для замкнутой системы рассматриваются определённые виды передаточных функ- ций и используются соответствующие правила их получения.

Рассмотрим их на достаточно простом, но общем примере (рис. 11).

Для задающего воздействия рассматриваются следующие передаточные функции.

Передаточная функция разомкнутой системы: W ( p) = GY((pp)) (без учета

главной обратной связи). Для примера на рис. 11 получим:

W ( p) = W1(p)W2 (p).

Основная передаточная функция замкнутой системы: Φ( p) = GY ((pp)) (для

	системы	в целом). Для рис. 11 с учетом		(3.1) получим:
	Φ( p) =	W ( p)
			.
		1+W (p)W ( p)
		ос			X ( p)
	Передаточная функция замкнутой системы по ошибке:			Φx ( p) =		.
					G( p)

С учетом (3.2) получим: Φx ( p) = G( p) −Y ( p) =1− Y ( p) =1− Φ( p) .

G( p) G( p)

Отметим важный результат: для передаточных функций замкнутой сис- темы Φ( p) + Φx ( p) =1. Это соотношение получено исключительно на основе определений, следовательно, справедливо при любой структуре системы.

13