Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
metods / Управление в системах.pdf
Скачиваний:
112
Добавлен:
26.03.2015
Размер:
676.4 Кб
Скачать

устойчивости может наступить в случае отключения электропитания, исчерпа- ния энергоресурса и др. Остальные устойчивые системы называются абсолют- но устойчивыми.

На рис. 15а представлены логарифмические частотные характеристики, соответствующие рис. 12б. Нетрудно убедиться, что условие устойчивости при

анализе логарифмических частотных характеристик для абсолютно устойчивой системы принимает вид ω1>ω2 , где ω1 определяется по условию: ψ(ω1)=−1800, а ω2 определяется по условию: L2)=0.

На рис. 15б представлены лога- рифмические час- тотные характери- стики, соответст- вующие рис. 12в (условно устойчивая система). Для такой системы условие ус-

тойчивости имеет

противоположный вид: ω1>ω2 .

Лекция 6. Оценка точности систем управления. Понятия астатизма и инвариантности

Наиболее общую оценку точности системы можно получить, рассматри- вая сигнал ошибки x(t) = g(t) y(t), где g - задающее воздействие, y - вы-

ходной сигнал системы, характеризующий ее состояние. Однако использование сигнала ошибки в общем виде неудобно, так как при работе системы он, как правило, меняется во времени. Кроме того, закон его изменения определяется видом задающих воздействий и возмущений, которые могут быть произвольны. Поэтому принято оценивать точность линейных стационарных систем, рас- сматривая установившиеся процессы при типовых воздействиях на систему. В качестве типовых рассматриваются задающие и возмущающие воздействия, изменяющиеся по гармоническому закону, а также по законам, составляющим степенной ряд относительно времени:

g(t) = g01(t), g(t) = vt1(t), g(t) = εt22 1(t), ...

Аналогично задаются типовые возмущающие воздействия.

Оценка точности при гармонических воздействиях будет рассмотрена ниже. Здесь рассмотрим оценку точности при типовых степенных воздействи- ях.

22

- передаточная функция замкнутой системы по ошибке от возмущения,

Рассмотрим достаточно общий пример структуры системы (рис. 16). Для

линейных стационарных систем справедлив принцип суперпозиции, следовательно, сигнал ошибки при одновре-

менном воздействии на систему задающего воз- действия и возмущения f

можно рассматривать как сумму двух состав- ляющих:

x(t) = g(t) y(t) = xg (t) + x f (t),

где xg (t) - ошибка от задающего воздействия, x f (t) - ошибка от возмущения.

Аналогичная сумма может рассматриваться при большем количестве сигналов, воздействующих на систему.

Установившаяся ошибка определяется как предел по времени:

x

= lim x(t) = lim x

g

(t) + lim x

f

(t).

 

ус т t→∞

t→∞

t→∞

 

Для вычисления указанных пределов используется теорема о конечном значении, известная для преобразования Лапласа:

lim x(t) = lim pX(p).

t→∞

p→0

При известном изображении по Лапласу входного сигнала изображение по Лапласу соответствующей составляющей сигнала ошибки может быть полу- чено через передаточные функции замкнутой системы по ошибке:

Фx (p) =

 

 

 

1

=

Q(p)

=

 

Q(p)

,

1

+ W(p)

D(p)

R(p) + Q(p)

 

 

 

 

W(p) = W (p)W (p) =

 

R(p)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

Q(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фx (p)

=

 

Wf (p)

, W

(p) = W (p).

 

1 + W

(p)

 

f

 

 

 

f

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь:

Фx (p) - передаточная функция замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия,

W(p) - передаточная функция разомкнутой системы,

Фxf (p)

Wf (p) - передаточная функция разомкнутой системы по возмущению.

23

В более сложных случаях Фx (p) и Фxf (p) также могут быть определе-

ны на основе правил преобразования структурных схем.

В итоге получаются следующие расчетные соотношения:

x

g

= lim x

g

(t) = lim pФ

(p)G(p),

 

t→∞

p→0

x

 

x f

= lim x f

(t) = lim pФxf (p)F(p),

 

 

t→∞

 

p→0

 

 

x ус т= xg + x f ,

где G(p) и F(p) - изображения по Лапласу задающего воздействия и возму-

щения соответственно.

При расчете установившихся ошибок для каждого входного сигнала мо- гут быть получены следующие варианты.

1.Установившаяся ошибка имеет конечное ненулевое значение. Если это имеет место для ступенчатого сигнала (первый член степенного ряда), система называется статической по данному входному сигналу.

2.Установившаяся ошибка имеет нулевое значение для некоторого коли- чества первых членов степенного ряда. Система называется астатической по данному входному сигналу. Количество видов воздействия (членов степенного ряда), для которых ошибка тождественно равна нулю, называется порядком астатизма.

3.Установившаяся ошибка стремится к бесконечности - система не в со- стоянии отработать входной сигнал.

Инвариантностью системы к возмущающему воздействию называется ее свойство обеспечивать тождественное равенство нулю ошибки от данного воз- действия, независимо от его величины и закона изменения. На практике удает- ся обеспечить только частичную инвариантность (астатизм).

Лекция 7. Назначение, принципы построения и основные особенности компьютерных систем управления

Современная тенденция развития систем управления основана на исполь- зовании в качестве устройств управления специализированных или универ- сальных компьютеров. Компьютерные системы управления имеют ряд важных преимуществ:

-минимальное потребление энергии;

-малые габариты и масса устройств управления;

-возможность реализации любых сложных законов управления, в том чис- ле многоканальных, оптимальных и адаптивных;

-универсальная программная реализация произвольных законов управле-

ния.

Вкачестве примера рассмотрим компьютерную систему управления дви- жением летательного аппарата (рис. 17).

24

Здесь:

ОУ - объект управления (летательный аппарат), положение которого в пространстве характеризуется угловыми υ, θ, γ и другими координатами.

ИП - информационная подсистема, регистрирующая сигнал от внешнего источника, в соответствии с которым должна выбираться дальнейшая траекто-

рия движения. Сигнал поступает в смеси с помехами. Выходной сигнал ИП ε* нуждается в обработке (выделении полезной составляющей).

Д - система датчиков (измерительных устройств) параметров движения летательного аппарата.

РП - рулевые приводы, обеспечивающие необходимое перемещение ру- левых органов (рули высоты, рули направления, элероны и др.).

БКС - бортовая компьютерная система управления, решающая задачи выделения полезных сигналов из шумов, выбора и формирования закона управления, выработки сигналов управления рулевыми приводами σ1 ,σ2 ,....

Перечисленные задачи являются достаточно трудоемкими и решаются на осно- ве некоторых алгоритмов.

Отметим особо наличие в системе устройств, состояние и поведение ко- торых характеризуется сигналами с принципиально разным характером изме- нения:

-объект управления, измерительные и исполнительные устройства явля- ются устройствами непрерывного действия;

-устройство управления (БКС) дискретного действия.

Для учета особенностей процессов в таких системах при решении задач

их анализа и синтеза приходится использовать специальный математический аппарат.

Рассмотрим основные виды систем управления с устройствами дискрет- ного действия.

25

Импульсными называются системы, включающие в себя

хотя бы один импульсный элемент. Пример структурной

схемы импульсной системы показан на рис. 18. Здесь: g(t) - задающее воздействие, y(t) - выходной сигнал системы, x(t) - сигнал рассогласования. Сигнал x*(t), поступающий на непрерывную часть (НЧ)

системы с импульсного элемента (ИЭ), изменяет значение только

в фиксированные моменты времени, разделенные постоянным шагом (тактом) T0 . Значение x*(t) в момент начала

такта совпадает со значением непрерывного сигнала x(t) на

входе ИЭ в этот момент времени. Других ограничений на значение x*(t) нет. Такое преобразование сигнала, выполняемое импульсным

элементом, называется квантованием по времени.

Релейными называются системы, включающие в себя хотя бы один ре- лейный элемент (рис. 19). Здесь сигнал x*(t), поступающий на непрерывную часть (НЧ) системы с релейного элемента (РЭ), может принимать только фик- сированные значения (уровни), определяемые характеристикой релейного эле- мента. Значение x*(t) изменяется в момент достижения фиксированного уровня входным сигналом РЭ x(t). Других ограничений на значение момента измене- ния сигнала нет. Такое преобразование сигнала, выполняемое релейным эле- ментом, называется квантованием по уровню.

26

В системах компьютерного управления (цифровых автоматических сис- темах) устройство управления строится на основе микропроцессоров (ЦВМ), характерными особенностями которых являются:

-работа в дискретном времени;

-представление сигналов в цифровой (дискретной) форме - в виде двоич- ных кодов.

Следовательно, в таких системах управления присутствуют оба вида квантования сигнала: по времени и по уровню.

Пример структурной схемы компьютерной системы управления показан на рис. 20.

Для преобразования сигналов g(t) и y(t) из непрерывной (аналоговой) формы в цифровую служат аналого-цифровые преобразователи (АЦП). АЦП может рассматриваться как релейный элемент, количество уровней выходного

сигнала которого определяется разрядностью формируемого преобразователем двоичного кода. Импульсный элемент обеспечивает считывание двоичных ко-

дов g*(t) и y*(t) в ЦВМ, с определенным тактом T0 : g[n] и y[n], где t=nT0 .В ЦВМ реализуется закон управления в форме некоторого алгоритма (програм-

мы) и формируется сигнал управления u[n]. Преобразование сигнала управле- ния из двоичного кода в непрерывную форму u*(t) выполняется цифро- аналоговым преобразователем (ЦАП). Обычно входные сигналы АЦП и выход- ные сигналы ЦАП физически представляют собой электрические напряжения.

27

Приведенные примеры показывают, что компьютерная система управле- ния должна рассматриваться как нелинейная дискретная система, что приводит к усложнению математического аппарата, применяемого для ее анализа или синтеза. Однако совершенствование элементной базы, применяемой для по- строения БКС - увеличение разрядности и повышение быстродействия, в том числе за счет организации параллельных вычислений - позволяют во многих случаях пренебрегать эффектом квантования по уровню и применять упрощен- ные процедуры синтеза цифровых законов управления, считая такт дискретиза- ции по времени T0 достаточно малым.

Лекция 8. Математическая модель импульсного элемента. Решетчатые функции и разностные уравнения

Математическая модель импульсного элемента обычно рассматривается в форме последовательного соединения ключа, замыкающегося и размыкаю- щегося с периодом T0, и непрерывной части (рис. 21а). Принимается, что ключ замыкается на время, значительно меньшее по сравнению с T0. Поэтому сигнал на выходе ключа может рассматриваться как решетчатая функция (рис. 21б), значения которой совпадают со значениями входного сигнала x(t) в моменты времени t=nT0 , где n=0,1,2... Непрерывная часть импульсного элемента (экс- траполятор) обеспечивает формирование импульсов определенной формы и длительности.

Несмещенная решетчатая функция f[nT0], в сокращенной записи f[n], - это функция, значения которой определены в дискретные моменты времени t = nT0, где n - номер такта, T0=const - период дискретности. Несмещенная ре- шетчатая функция может быть получена из непрерывной функции, как видно

из рис. 21б, на основе соотношения: f [n] = f (t)

t = nT0

. Смещенная решет-

 

 

28

чатая функция определяется в смещенные относительно начала такта моменты

времени: f [n, e] = f (t)t = (n + e)T0 , где ε - смещение, 0<e<1.

Для решетчатых функций могут выполняться все операции,

аналогичные операциям с непрерывными функциями: дифференцирование, интегрирование и др.

Роль первой производной непрерывной функции для решетчатой функции может выполнять первая прямая разность (рис. 22)

Df [n] = f [n + 1]- f [n]

или первая обратная разность

Ñf [n] = f [n]- f [n - 1].

Прямая разность определяется для момента времени t = nT0 с учетом

будущего значения решетчатой функции при t = (n+1)T0 . Это можно сделать, когда будущее значение известно. Обратную разность можно определить всегда, так как она

определяется с учетом прошлого значения решетчатой функции при t=(n-1)T0 .

Роль второй производной для решетчатой функции выполняют вторая прямая разность

D2 f [n] = Df [n + 1]- Df [n] = f [n + 2] - 2 f [n + 1]+ f [n]

или вторая обратная разность

Ñ2 f [n] = Ñf [n]- Ñf [n - 1] = f [n]- 2 f [n - 1]+ f [n - 2].

Высшие прямая и обратная разности определяются с помощью рекур-

рентных соотношений:

 

Dk f [n] = Dk1 f [n + 1]- Dk1 f [n],

(7.1)

Ñk f [n] = Ñk1 f [n]- Ñk1 f [n - 1].

(7.2)

При вычислении обратных разностей значения f[m] для m<0 следует брать равными нулю.

Роль определенного интеграла для решетчатой функции могут выполнять неполная сумма

29

 

n1

n

 

 

s[n] = å f [m] = å f [n - l]

 

 

m=0

l=0

 

 

или полная сумма

n

 

 

 

 

s0 [n] = s[n] + f [n] = s[n + 1] = å f [m].

 

 

 

m=0

 

Для смещенных решетчатых функций все

 

перечисленные соотношения аналогичны.

 

В качестве аналогов дифференциальных

 

уравнений для решетчатых функций используют-

 

ся разностные уравнения (уравнения в конечных

 

разностях). Для прямых разностей может быть

 

составлено

неоднородное линейное

разностное

 

уравнение

 

 

b Dm y[n]+ b Dm1y[n]+...+b y[n] = f [n],

(7.3)

0

1

m

 

где y[n] - искомая, f[n] - заданная решетчатые функции. На основе (7.1) уравне- ние (7.3) может быть преобразовано к виду:

a0 y[n + m]+ a1y[n + m - 1]+...+am y[n] = f [n].

(7.4)

Для обратных разностей уравнения будут иметь вид:

 

b Ñm y[n]+ b Ñm1y[n]+...+b y[n] = f [n],

 

0

1

m

 

a0 y[n] + a1y[n - 1]+...+am y[n - m] = f [n].

(7.5)

Наиболее удобны уравнения вида (7.4) и (7.5), так как они легко преобра-

зуются в рекуррентные формулы для пошагового вычисления решетчатой функции y[n], удобные для реализации на компьютере:

y[n + m] =

1

f [n]-

a1

y[n + m - 1]-...-

am

y[n],

a

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

0

 

y[n] =

1

 

f

[n]-

a1

 

y[n - 1]-...-

am

y[n - m].

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

 

При f[n]=0 получим однородные разностные уравнения. Их решение

может быть получено аналогично решению однородных дифференциальных уравнений. Составляется характеристическое уравнение:

a z m + a z m1

+...+a = 0

(7.6)

0

1

m

 

и определяются его корни zi , i=1,2,...,m.

Общее решение однородного разностного уравнения при отсутствии кратных корней характеристического уравнения имеет вид:

y[n] = C1z1n + C 2z2n +...+C m zmn ,

(7.7)

30