где Ci -произвольные постоянные. Из (7.7) следует, что для асимптотической устойчивости системы, описываемой разностным уравнением (7.4) или (7.5), необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения (7.6) удовлетворяли условию:

zi		< 1, i=1,2,...,m.	(7.8)

Так же, как и для линейных систем, при исследования устойчивости им-

пульсных систем желательно избежать трудоемкой процедуры вычисления корней характеристического уравнения. Это обеспечивается на основе специ- альных преобразований решетчатых функций, позволяющих и для импульсных систем применить аппарат передаточных функций, частотных характеристик и так далее.

Второй вариант математического описания импульсного звена (рис. 21)

предполагает, что на выходе ключа формируется последовательность δ- функций (функций Дирака), площадь каждой из которых совпадает со значени- ем входного сигнала звена x(t) в моменты времени t=nT0: x*[n] =x(t)δ(t-

-nT0), n=0,1,2 ...

Лекция 9. Дискретные преобразования и их свойства

Здесь и ниже ограничимся рассмотрением несмещенных решетчатых функций.

Дискретное преобразование Лапласа решетчатой функции f[n] определя-

ется формулой:						∞
F *(p) = D	{	f [n]			=		f	[n]e− pnT0 .	(9.1)
			}			å
						n=0
Как видно из (9.1), изображение					F*(p)		является функцией величины
e− pT0 .
На основе подстановки e pT0		= z		может быть получено более удобное
для решения практических задач z-преобразование:
F(z) = Z		{	f [n]			= ∞		f [n]z−n .	(9.2)
					}	å

n=0

Таким образом, изображения F *(p) и F(z) взаимно-однозначно связаны. Переход от одного из них к другому или обратно осуществляется путем ука- занной подстановки.

Z-преобразование может быть выполнено и для непрерывной функции времени:

∞

F(z) = Z { f (t)} = å f (nT0 )z −n .

n=0

31

В таблице 1 приведены некоторые часто встречающиеся при математиче- ском описании процессов управления функции времени, а также соответст- вующие им решетчатые функции и изображения.

Отметим, что при исследовании импульсных систем роль δ-функции вы- полняет единичная импульсная функция:

d0	ì1	п ри	n = 0
	[n] = í	п ри	n ¹ 0	.
	î0

Свойства дискретного преобразования Лапласа и z- преобразования оди- наковы. Рассмотрим их на основе z-преобразования.

Таблица 1.

Непрерывная	Непрерывное	Решетчатая	Z-изображение
функция	изображение	функция
	по Лапласу		F(z)
f(t)	F(p)	f[n]

f (t) = íì1 t = 0

-

d0 [n]

1

î0 t ¹ 0

1

z

1(t)

1[n]

p

z - 1

1(t) - 1(t-T0)

1- e− pT0

Ñ1[n] = D1[n - 1]

1

p

t

1

nT0

T0 z

p2

(z - 1)2

t 2

1

(nT0 )

2

2

(

+

)

T0

z

z

1

p3

2

2

2(z - 1)3

e

−αt

1

e

−αnT0

z

, d = e

−αT0

p+ a

z - d

1- e−αt

α

1- e−αnT0

(1- d)z

p(p+ a)

(z - 1)(z - d)

te

−αt

1

nT0 e

−αnT0

zd

(p+ a)2

(z - d)2

Таблица 1 (продолжение)

32

Непрерывная

Непрерывное

Решетчатая

Z-изображение

функция

изображение

функция

по Лапласу

F(z)

f(t)

F(p)

f[n]

t 2

e

−αt

1

(nT0 )

2

−αnT

(p+ a)3

e

2

2

0

β

sinβt

sin βnT0

z sin βT0

2

− 2z cosβnT0

+ 1

p2 + b2

z

cosβt

p

cos

β

nT0

z 2 − z cos βT0

p2 + b2

z 2 − 2z cos βnT0

+ 1

e-αt sinbt

β

e-αnT0 sin bnT0

zd sin βT0

(p+ a)2 + b2

z 2 − 2zd cos βnT0

+ d2

Свойство линейности:

ì

N

ü

N

{ f

[n]}.

Z ï

c f

[n]ï =

c Z

í

å k

k

ý

å k

k

ï

ï

îk=1

þ

k=1

Теорема смещения:

}

è dø

{

λnT0

λT0

[n]

æ z ö

Z e

f

= Fç

÷ , d = e

.

Изображение первой прямой разности:

Z {

f [n]} = (z − 1)F(z) − zf [0].

Изображения прямых разностей второго и более высоких порядков име- ют сложный вид и неудобны для практического использования.

Для обратных разностей, благодаря f[m]=0 для m<0, изображения име- ют простой вид:

	Z {Ñf [n]} =			z − 1		F	(z),	(9.3)
				z
{	}	æ z - 1ö k
		è		z ø
Z Ñk f [n]		= ç			÷		F(z).	(9.4)

Отметим, что соотношения (9.3), (9.4) аналогичны теоремам дифферен- цирования для непрерывного преобразования Лапласа в случае нулевых на- чальных условий.

Изображение неполной суммы:

33

	Z {s[n]} =			F(z)	,
	а для k-кратной суммы			z - 1
				F(z)
	Z sk [n] =					.
			(z - 1)k
	{	}

Для полной суммы соответственно:

(9.5)

(9.6)

	Z {s0 [n]} =				z			F(z),
					z - 1
	{ 0	}	æ		z	ö k
			= ç			÷ F(z).
	Z sk	[n]
			è z - 1ø

(9.7)

(9.8)

Соотношения (9.5) - (9.8) аналогичны теоремам интегрирования для не- прерывного преобразования Лапласа в случае нулевых начальных условий.

На основе соотношений (9.3) - (9.8) можно увидеть, что величина

для дискретного преобразования Лапласа является аналогом оператора непрерывного преобразования Лапласа.

Теорема о конечном значении решетчатой функции:

lim	f [n] = lim	z − 1	F(z).
n→∞	z→1	z

Теорема о начальном значении решетчатой функции:

lim

f [n] = lim

z − 1

F(z).

n→0

z→∞

z

Свертка решетчатых функций:

ì n

ü

ì n

ü

F

(z)F

ï

f

[k ] f

ï

ï

f

[n - k ] f

ï

(z) = Z í

1

2

[n - k ]ý

= Z í

1

2

[n]ý.

1

2

ïå

ï

ïå

ï

îk=0

þ

îk=0

þ

z

z - 1

p для

(9.9)

(9.10)

Для решетчатой функции, сдвинутой вправо на целое число тактов m изображение может быть найдено на основе теоремы запаздывания:

Z	{	f [n - m] =	∞	f [k]z−(m+k) = z −m	∞	f [k]z −k
		}	å		å
			k =−m		k=−m

и далее с учетом f[k]=0 для k<0:

Z	{	f [n - m]	= z −m	∞	f [k]z −k = z −mF(z).	(9.11)
		}		å

k=0

На основе теоремы запаздывания можно построить процедуру перехода от разностных уравнений к алгебраическим уравнениям для z-изображений ре-

34

шетчатых функций и далее к передаточным функциям, аналогичную известной для дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейное разностное уравнение, полученное на основе об- ратных разностей, в наиболее общем виде:

a0 y[n]+ a1 y[n − 1]+...+am y[n − m] = b0 f [n]+ b1 f [n − 1]+...+bl f [n − l].

Принимая f[k]=0 и y[k]=0 для k<0 и используя (9.10), получим:

(a0 + a1z −1 +...+amz −m )Y (z) = (b0 + b1z −1 +...+blz −l )F(z).

Теперь изображение искомой решетчатой функции можно выразить через изображение заданной для правой части уравнения решетчатой функции F(z):

	b0	+	b1z	−1 + +	blz	−l		B(z)
Y (z) =				...			F(z) =		F(z) = W (z)F(z). (9.12)
	a0 + a1z −1 +...+amz −m							A(z)

Таким образом введена дискретная передаточная функция W(z) как от-

ношение изображений выходной и входной переменных

	W (z) =	Y (z)	(9.13)
		F(z)

при нулевых начальных условиях. Для импульсных и цифровых систем она иг- рает такую же роль, как и обычная передаточная функция для непрерывных систем. Как и для обычной передаточной функции, знаменатель

A(z) = a0 + a1z −1 +...+amz −m взаимно-однозначно соответствует левой части

разностного уравнения, а числитель B(z) = b0 + b1z −1 +...+blz −l - правой час-

ти.

Рассмотрим некоторые из возможных способы решения разностных уравнений, вытекающие из изученного материала.

1. Использование рекуррентных формул:

	y[n] =	b0	f [n] +	b1	f [n − 1]+...+	bl	f [n − l] −	a1	y[n − 1]−...−	am	y[n − m].
		a		a		a		a		a
	0		0		0		0		0

2.Переход от изображения известной (заданной) функции F(z) к изобра- жению искомой функции Y(z) на основе (9.12) и использование таблиц z- изображений для получения оригинала y[n].

3.Если изображение Y(z) получается сложным и не содержится в табли-

цах, переход к оригиналу y[n] может быть выполнен, например, непосредст- венно на основе определения z-изображения (9.2), которое математически со- ответствует стандартной формуле разложения в ряд Лорана:

F(z) = c0 + c1z −1 +...+ck z −k +...

Следовательно, получая каким-либо способом коэффициенты разложе- ния Y(z) в ряд (например, делением полинома B(z) на A(z)), можно получать

35