последовательность значений искомой решетчатой функции на последователь-

ных тактах: y[0]=c0, y[1]=c1, y[2]=c2 ...

Лекция 10. Передаточные функции импульсных звеньев и систем

Рассмотрим сначала получение передаточной функции разомкнутой сис- темы (рис. 23а).

При получении пе-

редаточных функций импульсных систем и звеньев используются два варианта модели им- пульсного звена, рас- смотренные на лекции 8.

Для модели перво- го вида, в которой сиг-

нал на выходе ключа x[n] рассматривается в

форме решетчатой функции, вводится поня-

тие приведенной весовой функции непрерывной части системы. Приведенная весовая функция wп(t) - это реакция непрерывной

части на единичную импульсную функцию x[n]=δ0[n]. Отметим, что при этом в состав непрерывной части включается экстраполятор (рис. 23б).

Найдем дискретную передаточную функцию непрерывной части

W(z) = YX((zz)).

Сучетом Z {δ0 [n]} = 1(табл. 1) получим:

∞
W (z) = Y (z) = Z {wп (t)} = åwп[n]z −n -	(10.1)

n=0

результат, аналогичный линейным системам.

Для модели второго вида, в которой сигнал на выходе ключа рассматри- вается в форме последовательности δ-функций:

x[n] = x(t)δ(t-nT0),

может быть определена обычная непрерывная весовая функция w(t) непрерыв- ной части, включая экстраполятор, как реакция на единичный импульс x[n] = δ(t). Далее может быть определена непрерывная передаточная функция непре-

рывной части

36

W (p) = W э (p)W н (p) = L{w(t)} = ∞òw(t)e− pt dt	(10.2)
0
и дискретная передаточная функция непрерывной части
W (z) = Z {W (p)} ,	(10.3)

совпадающая с (10.1).

Большинство задач исследования и проектирования импульсных систем решается с помощью дискретных передаточных функций, так как при их полу- чении на основе (10.1) или (10.3) полностью учитываются характеристики им- пульсной части системы, включая шаг дискретизации по времени. Однако при использовании импульсных передаточных функций следует учитывать их неко- торые особенности по сравнению с непрерывными, определяемыми (10.2).

Так при нахождении эквивалентной передаточной функции параллельно соединенных звеньев (рис. 24) в обоих случаях могут использоваться соотно-

шения:

k

W (p) = åW i (p) и

i=1

k

W (z) = åW i (z).

i=1

В то же время для после-

довательного соединения при наличии общего ключа на вхо- де (рис.25а):

k

W (p) = ÕW i (p)

i=1

k
и W (z) ¹ ÕW i (z).	(10.4)

i=1

Таким образом, объединение непрерывных последовательно соединен- ных звеньев и получение общей передаточной функции должно быть выполне-

37

но в рамках преобразования Лапласа (10.2) и только потом может быть найдена дискретная передаточная функция всего непрерывного участка системы.

Равенство в (10.4) будет

иметь место только при наличии на входе каждого звена своего импульсного элемента (рис. 25б),

причем передаточные функции звеньев и здесь должны опреде- ляться совместно с экстраполято- рами.

Особенности дискретных передаточных функций проявля-

ются и при описании замкнутых систем.

При наличии единичной от- рицательной обратной связи (рис. 26а) передаточные функции замк- нутой системы определяются ана-

логично непрерывным системам.

Основная передаточная функция замкнутой системы:

	Ф(z) =	Y (z)	=	W (z)	.	(10.5)
		G(z)		1+W (z)

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке:

	Фx (z) =	X (z)	=	1	.	(10.6)
		G(z)		1+W (z)

В случае гибкой обратной связи (рис. 26б) без дополнительного импульс-

ного элемента указанные передаточные функции определяются следующим образом:

Ф(z)=		Y (z)			=		W (z)		,		(10.7)
		G(z)				1+W (z)
	X (z)					1
Фx (z) =					=		1			,	(10.8)
	G(z)						1+W 1(z)

где W 1(z) = Z {W (p)W ос(p)}.

Для определения передаточной функции замкнутой системы по возму- щению также могут потребоваться дополнительные преобразования. Рассмот- рим случай, когда возмущающее воздействие f(t) приложено к непрерывной части, как показано на рис. 27.

38

Перенесем возмущение на вход системы в виде воздействия f’(t), для ко- торого может быть найдено изображение по Лапласу F1(p) = W 2 (p)F(p).

Передаточная функция системы по возмущению определяется при g(t)=0 и с учетом (10.4) - (10.5) будет равна:

	Фf (z) =	Y (z)	= −	F' (z)	,	(10.9)
		F(z)		1+W (z)

где

F' (z) = Z {W 2 (p)F(p)} , W (z) = Z {W 1(p)W 2 (p)} .

Лекция 11. Анализ устойчивости и качества импульсных систем

Если представить дискретную передаточную функцию замкнутой им-

пульсной системы в форме

	b	+ b z −1 +...+b z −l
0		1	l
Ф(z) =				,	(11.1)
	a	+ a z −1	+...+a z −m
0		1	m

можно перейти к разностному уравнению, связывающему входной и выходной сигналы системы. При этом, как видно из (10.5) - (10.9), знаменатель переда- точных функций, определяющие вид левой части разностного уравнения, для всех передаточных функций конкретной системы одинаков. Его называют ха- рактеристическим полиномом замкнутой системы:

D(z) = a z m + a z m−1		+...+a	или D(z) = a	+ a z −1	+...+a	m	z −m .
0	1	m	0	1

Как было показано в лекции 8, устойчивость системы определяется кор- нями характеристического полинома. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни zi , i=1,2,...m, характеристического полинома удовлетворяли условию: zi < 1. Область устойчивости на комплексной плос-

кости будет иметь вид круга единичного радиуса (рис. 28). Таким образом, проверка устойчивости может быть выполнена, если будет выполнена достаточно

39

трудоемкая процедура вычисления корней уравнения D(z)=0.

Известно, что для непрерывных систем существует удобный математи- ческий аппарат анализа устойчивости и качества замкнутой системы, не тре- бующий вычисления корней характеристического полинома. Возможность ис- пользования этого математического аппарата для импульсных систем обеспе- чивается на основе дополнительного w-преобразования дискретной передаточ- ной функции. Преобразование выполняется на основе подстановки

	z =		1 + w	,				(11.2)
где w -новая комплекная переменная.			1 − w
После подстановки (11.2) в (11.1) будет получена новая дискретная пере-
даточная функция замкнутой системы		+ d zl−1
	d zl				+...+d
0		1			l
Ф(w) =								(11.3)
	c z m + c z m−1 +...+c
0		1			m
с характеристическим полиномом
D(w) = c z m		+ c z m−1 +...+c				m	.	(11.4)
0		1

Определим требование к корням полинома (11.4) для обеспечения устой- чивости системы. Оно может быть получено на основе неравенства

z

=

1

+ w

< 1 или

1 + w

<

1 − w

.

1

− w

С учетом записи w=α+jβ получим (1 + α)2 + β2 < (1 − α)2 + β2 . Оче-

видно, это неравенство может быть выполнено только при α<0.

Таким образом, область устойчивости для корней характеристического полинома D(w) импульсной системы совпадает с областью устойчивости для корней характеристического полинома D(p) непрерывной системы (рис. 29). Поэтому после перехода к передаточной функции (11.3) на импульсную систе- му может быть распространен весь математический аппарат исследования ус- тойчивости непрерывных систем.

Необходимое условие устойчивости: все коэф-

фициенты характеристического полинома должны быть положительны. В случае отрицательных коэффи- циентов для применения данного условия использует- ся умножение полинома на -1. Для систем с характе-

ристическим полиномом первого или второго порядка это условие является необходимым и достаточным.

Для систем с характеристическим полиномом более высокого порядка при выполнении необходимо-

го условия для обеспечения устойчивости требуется выполнение какого-либо достаточного условия (критерия устойчивости). Ниже

40

рассмотрим два наиболее часто используемые критерия устойчивости: крите- рий Гурвица и критерий Найквиста.

В соответствии с алгебраическим критерием Гурвица для устойчивости системы достаточно, чтобы для матрицы, составленной из коэффициентов ее характеристического полинома:

a1 a3 a0 a2 0 a1

... ...

0 0

были положительны n определителей:

a5	...	0
a4	...	0
a3	...	0	,
... ... ...
0	...	an

D	1	=		a		= a > 0 , D	2	=	a1	a3	= a a		- a a > 0 , и так далее.
				1		1			a0	a2	1	2	0	3

Таким образом, при использовании w-преобразования порядок примене-

ния необходимого условия устойчивости и критерия Гурвица для импульсных систем полностью аналогичен случаю непрерывных систем. Это относится и ко всем другим алгебраическим критериям устойчивости.

Для использования частотных критериев устойчивости и методов анализа качества в случае импульсных систем необходимы дополнительные преобразо- вания.

После естественной замены в передаточных функциях p=jw, где ω - час- тота входного гармонического сигнала, получим:

z = e jωT0	, Ф(z) =	b		+ b e− jωT0 +...+b e− jlωT0
			0	1		l		.
		a	+ a e		− jωT	+...+a e	− jmωT
					0		0
		0		1		m

Такие передаточные функции неудобны для дальнейших аналитических преоб- разований. Поэтому для импульсных систем вместо реальной частоты исполь- зуется псевдочастота, переход к которой производится на основе w- преобразования.

Следствием (11.2) является соотношение:

w =

z − 1

.

z + 1

Выполнив подстановку z = e jωT0 , получим:

2

jωT0

æ

ωT

ωT

ö

jωT0

2

çcos

0

+ j sin

0

÷

- 1

- 1

e

2

- 1

w =

e

=

=

è

2

2

ø

=...

jωT

jωT

2

e

0

+ 1

2

0

æ

ωT

0

ωT

0

ö

e

2

+ 1

ç

+ j sin

÷

+ 1

ècos

2

2

ø

41

... = j tg

ωT0

2 = jJ ,

где величина J = tg

ωT0

называется относительной псевдочастотой. Удобнее

2

использовать абсолютную псевдочастоту

l =

2

tg

ωT0

=

2

J,

(11.5)

2

T0

T0

так как на малых частотах

tg

ωT0

»

ωT0

и λ ≈ ω , то есть совпадает с реаль-

2

2

ной частотой гармонического сигнала.

Частотный критерий устойчивости Найквиста и связанные с ним методы анализа качества и синтеза систем применяются для импульсных систем с ис- пользованием псевдочастотных характеристик, получаемых из передаточной функции разомкнутой системы W(z) путем подстановок (11.2) и вытекающей из (11.5)

		w = j		T0	l .	(11.6)
			2
При этом нужно иметь в виду, что изменению абсолютной псевдочастоты
в пределах −∞ < λ < ∞		согласно (11.5) соответствует изменение реальной
частоты в пределах - π	T0	< w < π	. При дальнейшем увеличении ω будет
			T0

проявляться периодичность зависимости (11.5). Поэтому результаты, получае- мые на основе псевдочастотных характеристик, следует считать достаточно

точными для w £ 2T0 , или l £ π 2T0 , а анализ более высоких псевдочастот

позволяет делать только качественные выводы.

Рассмотрим порядок применения критерия Найквиста и оценки запаса устойчивости импульсной системы на примере.

Требуется проанализировать устойчивость замкнутой системы, с переда-

	точной функцией непрерывной части Wн (p) =	k		. Заданы параметры
		p(Tp	+1)

непрерывной части: k=100c-1, T=0,2c. Импульсный элемент с тактом величи- ной T0=0,05с формирует прямоугольные импульсы. Относительная продол-

жительность импульсов (скважность) g=0,1.

Сигнал на выходе экстраполятора при единичном входном импульсе

d0	ì1	п ри	n = 0
	[n] = í	п ри	n ¹ 0
	î0

42

может быть представлен в виде: x *(t) = 1(t) - 1(t - gT0 ). С учетом его изо-

бражения по Лапласу (табл. 1) найдем передаточную функцию экстраполятора:

W э(p) = 1- e− pγT0 . p

С учетом gT0<<1 воспользуемся разложением экспоненты в ряд и приближе-

нием:

e− pγT0 » 1- pgT0 .

В результате передаточная функция экстраполятора может быть записана в ви- де:

W э(p) » 1− 1+ppγT0 = gT0 .

Передаточная функция непрерывной части с учетом экстраполятора бу- дет иметь вид:

			W н (p) =		kγT0	.
				p(Tp + 1)
	Дискретная передаточная функция разомкнутой системы (по табл. 1):
	W (z) =	kgT0 (1 - d)z			−		T0
							T = 0,78 ,
					, d = e
		(z - 1)(z - d)
	и замкнутой системы:		kgT0		(1 - d)z
	Ф(z) =								=
			(z - 1)(z - d) + kgT0 (1 - d)z
			0,11z					0,11z

= (z - 1)(z - 0,78) + 0,11z = z2 - 1,67z + 0,78 .

После подстановки (5.2) получим характеристический полином

D(w) = 3,45w2 + 0,44w + 0,11.

В соответствии с необходимым условием устойчивости данная система второго порядка устойчива.

Для оценки запаса устойчивости воспользуемся частотным методом. С помощью подстановки (11.2) получим передаточную функцию разомкнутой

системы

W (w) = kgT0 (1( - d)(1 + w)(1 -) w) = 2w 1 - d + w + dw

kgT0 (1 + w)(1 - w)				.
æ		1 + d	ö
2wç1	+		w÷
		1 - d
è			ø

Подстановкой (11.6) перейдем к псевдочастоте:

43

kgT

0

æ

T

0

öæ

T

0

ö

ç

1 + j

l֍1 - j

l÷

kg(1 + jT1l)(1

- jT1l)

2

2

2

W ( jl) =

è

øè

ø

=

,

T0

æ

T

0

(1 + d)

ö

jl(1 + jT

э

l)

j

lç1 + j

l÷

2(1 - d)

2

è

ø

где kγ=10; T1 =

T

0

= 0,025 ;

Tэ =

T0 (1 + d)

» 0,201.

2

2(1 - d)

Получим выражения для логарифмических псевдочастотных характери-

стик:

L(l) = 20lg kg + 40lg1 + T12l2 - 20lg l + 20lg1 + Tэ2l2 ,

ψ(λ) = −90o − arctgTэ λ .

Характеристики показаны на рис. 30.

Вывод об устойчивости системы подтверждается. Запас устойчивости по фазе составляет mψ = 33o.

Точность системы в установившемся режиме может быть оценена на ос- нове теоремы о конечном значении (9.9).

Установившаяся ошибка от задающего воздействия:

	x	ус т	= lim		x[n] = lim		z − 1	Ф (z)G(z).			(11.7)
			n→∞			z→1	z	x
Установившаяся ошибка от возмущающего воздействия:
xус т = lim	x[n] = lim			z − 1		Фxf (z)F(z) = - lim			z − 1	Фf (z)F(z).	(11.8)
n→∞		z→1		z				z→1	z

44