Истороия

1Определение предмета математики. Доисторические времена. Зарождение понятие числа.

1.1Определение предмета математики

Математика - слово произошедшее от греческого слова µαθηµατ iα, которое является производным от слова µαθηµα, и переводится на русский как значение, наука. Математику можно определить как науку о количественных отношениях и пространственных формах, окружающего нас мира.

По определению Энгельса

Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы

иколичественные отношения действительного мира, стало быть вполне реальный мир. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное.

Абстрактность математики не означает ее отрыва от материальной действительности. Математика неразрывно связана с запросами естествознания

итехники. В результате этой взаимосвязи запас количественных отношений

ипространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно пополняется все более богатым содержанием. Затем эти результаты используются в практической деятельности человека. Однако это применение часто оказывается косвенным, и время использования колеблется от очень малого до очень большого, соизмеримого, порой, со столетиями. По мере изучения истории математики и и истории развития математических идей мы будем видеть подтверждение сказанному.

Отмечу, что наш курс называется "История и методология математики". Это означает, что мы будем уделять внимание развитию методов изучения математики в ее историческом развитии.

1.2Доисторические времена. 1. Палеолит. 2. Неолит.

Палеолит это каменный век. Он длился сотни тысяч лет. Люди жили в пещерах и все силы отдавали на добычу пищи для выживания. При этом добыча пищи сводилась к собиранию ее везде, где только можно.

1

Затем люди стали изготавливать орудия для охоты и рыболовства. В эпоху позднего палеолита люди украшали свое жилище. Создавали произведения искусства, в частности, статуэтки и рисунки. Эти факты имеют подтверждение. Известны наскальные рисунки на территории Франции и Испании давностью порядка 15000 лет. В этих рисунках проявляется прекрасное чувство формы.

Неолит - это переход от пассивного отношения к природе к активному. В этот период началось земледелие, то есть освоение природы, а не только охота и рыболовство. Это великое событие произошло примерно 10000 лет назад, когда ледяной покров в Европе и Азии начал таять и уступать место лесам и пустыням. Постепено прекращалось кочевое странствование в поисках пищи. Появились земледельцы, которые довольно долго оставались на одном месте, пока почва сохраняла плодородие. Эти люди строили жилища, расчитанные на достаточно долгие сроки. Стали возникать деревни для защиты от непогоды и врагов хищников. Доказательство такого положения вещей являются раскопки поселений, относящихся к неолиту. Эти раскопки дают представление о том, как развивались простейшие ремесла такие как гончарное, плотницкое, ткацкое. Стали появляться житницы для запасов продуктов впрок. Выпекали хлеб, варили пиво. В период позднего палеолита стали плавить и обрабатывать медь и бронзу. Совершались открытия. Были изобретены гончарный круг, тележное колесо, совершенствовались лодки и жилища.

Нужно отметить, что эти открытия совершались в определенных местах и часто не распространялись далеко за пределы места, в котором были изобретены. Так известно, что даже в наше время (порядка 100 лет назад) обнаруживались места, в которых живущие там племена не знали колеса. Однако, темпы прогресса стали значительно ускоряться по сравннию с древним каменным веком. Началась торговля между деревнями. Есть доказательства, что торговля велась между деревнями, расположенными намного километров друг о друга (сотни километров).

Торговля стимулировалась открытием техники выплавки меди и бронзы, а также изготовлением сначала медных, а затем бронзовых орудий и оружия.

Все это стимулировало развитие языка. Языки были еще не очень развиты, но уже содержали слова для обозначения конкретных вещей и некоторых

числовых терминов и пространственных образов. На таком уровне находи-

2

лись многие племена в Австралии, Америке и Африке, когда их открыли белые люди. Сейчас еще есть такие племена.

1.3Зарождение понятие числа. 1. Воникновение понятия числа и геометрических фигур. 2. Появление абстрактных понятий. 3. От чувственного счета к понятию числа, обмен, как установление взаимно-однозначного соответсвия. 4. Воникновение естественных эталонов счета. 5. Зарождение систем исчисления. 6. Время воникновения понятия числа (гипотезакогда люди говорили на одном языке.) 7. Различные основания систем исчисления

Основные математические понятия, к которым относятся число и простейшая геометрическая фигура возникли задолго до математических текстов. Они являются абстрактными понятиями и могли возникнуть только в результате длительной умственной работы. Ясно, что понятие сосны или дуба и медведя или кошки появилились значительно раньше, чем понятия дерева и животного. Аналогично понятия две руки и пять пальцев возникли намного раньше, чем общие понятия два и пять. Когда первобытный охотник хотел узнать все ли собаки в своре на месте, он не считал их, а просто убеждался, что такой-то собаки не хватает. Подобно этому кошка чувствует, когда у нее забирают котенка. То есть даже кошка обладает "чувственным счетом". Первым шагом в возникновении счета было установление, в современной терминологии, "взаимнооднозначного соответствия"между считаемыми объектами и некоторым другим множеством. Оба сравнимаемых множества предметов могли быть заранее не известны. Обмениваемые предметы просто раскладывалсь в два ряда, с помощью чего устанавливалось между ними взаимно однозначное соответствие. Примеры такого обмена были сравнительно недавно обнаружены у австралийских племен. Принципиальным шагом вперед явилось возникновение естественных эталонов счета таких, как пять пальцев на руке, а затем и искусственных, таких как набор специально присопособленных для целей сравнения палочек или камешек. Именно появление множества-эталона, символизирующего какое-нибудь конкретное число, привело к понятию числа. Этнографические1 и лигвинистические данные показывают, что первые множества-эталоны были естественными. Любой человек знал, что на небе

1Этнография (от греческого ǫθνoς ¾этнос¿ (народ) и γραϕω ¾пишу¿ область науки, изучающая народы-этносы

идругие этнические образования, их происхождение (этногенез), состав, расселение, культурно-бытовые особенности, а также их материальную и духовную культуру, особенности психологии и поведения; пользуется описательным методом исследования.

3

одна Луна, одно Солнце, у человека два глаза, а на руке пять пальцев. Говорили, что предметов столько, сколько лун, сколько глаз или сколько пальцев на руке. Числа 1, 2 и 5 называлиь по имени этих эталонов. Так в древней индийской словесной системе счисления единица называлось луной, Землей, Брахмой, два - близнецами, глазами, руками, пять - чувствами и т.д.

Этот этап счета сменился следующим, когда из разнообразия совокупностей была выбрана одна, наиболее пригодная для счета. Такой совокупностью естественно оказалась совокупность пальцев рук и ног. У индейцев число пять называлось "рука", число 10 называлось "две руки", 20 - "руки и ноги". У австралийцев и полинизийцев каждая часть тела имела свое название и соответствовала месту в своеобразной системе счисления. Вначале шел мизинец левой руки, затем пальцы, запястье, локоть плечо и т.д. кончая мизинцем правой руки и обратно. Так что всегда при себе имелась живая шкала чисел. Пример счета с помощью такой шкалы привел русский исследователь Новой Гвинеи Н.Н. Миклухо-Маклай. Он попросил папуасов подсчитать число дней до возвращения корвета "Витязь", и вначале нарезал полоски бумаги. Вот как Миклухо-Маклай описывает процесс счета.

Первый раскладывая кусочки бумаги при каждой обрезке повторял "наренаре"(один); другой повторял слово "наре"и загибал при этом палец прежде на одной, затем на другой руке. Насчитав до десяти и согнув пальцы обеих рук, опустил оба кулака на колени, проговорив: "две руки", причем третий папуас загнул один палец руки. Со вторым десятком было сделано то же, причем третий папуас загнул второй палец; то же самое было сделано для третьего десятка; оставшиеся бумажки не составляли четвертого десятка и были оставлены в стороне. Все остались довольными.

В этом описании мы видим действенный счет, который сопровождается перекладыванием полосок. Мы также видим живую шкалу, роль которой играют пальцы рук. Кроме того, мы наблюдаем групповой счет. Первый папуас занят инструментальным счетом, он перекладывает полоски, обозначающие дни. Второй фиксирует единицы, третий фиксирует десятки.

Вывод о том, когда появилось понятие числа у народов Азии и Европы можно сделать из следующего наблюдения. Мы видим большое сходство между русским числительным "один"немецким "eins"английским "one"и французским "un", латинским "unus". Аналогично есть сходство между числительными "два", zwie, two, deux, duo, а также между числительными "три",

4

drei, three. trois, tres. Это говорит о том, что зарождение общего понятия числа относится ко времени, когда предки этих народов говорили на одном языке. Проихождение названия числительных трудно проследить. Однако, можно предположить, что число семь означало "много". Скажем, арабское саб – 7 имеет один корень с глаголом саба, означающее растерзать на части, при этом имеется ввиду на много частей. Можно предположить, что и

врусском языке число семь означало когда-то "много". О чем могут свидетельствовать пословицы "семь раз отмерь - один раз отрежь", "У семи нянек - дитя без глаза", семеро одного не ждут". Число семь носило и мистический характер в религиях предков арабов.

Вбольшинстве современных языков названия числительных основаны на десятичной системе, т.е. на представлении чисел в виде суммы числа единиц (до 10), числа десятков (до ста), числа сотен (до 1000) и т.д. Несомненно, что в основе этой системы лежит счет на пальцах. Так полагал Аристотель и очень остроумно заметил Лебег

Возможно, что если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята одинадцатиричная система исчисления.

Следует заметить, что в тех случаях, когда после счета на пальцах добавлялась еще рука, появлялись начатки одинадцатиричной системы. Так у новозеландцев имеются специальные названия для степеней 11 второй и третьей степени, и числа 12, 13, 22 представляются как 11 + 1, 11 + 2, 2 × 11. У большинства народов названия десятков образуются по схеме n × 10, где n - число десятков. Например, двадцать, тридцать, пятьдесят и т. д.

Имеются следы и двадцатиричной системы. Во французском языке восемьдесят называется quatre-vingt (4×20), девяносто - quatre-vingt-dix (4×20+10), то есть начиная с 80 французы используют двадцатки наряду с десятками. Еще более последовательно счет двадцатками наблюдается в грузинском языке, где 10 -ати, 20 - оци, 30 - оцдаати (20 + 10), 40 - ормоци (2 × 20), 50 - ормоцдаати (2 × 20 + 10), 60самоци (3 × 20) и т. д. Ясно, что двадцатиричные названия у французов и грузин представляют собой пережитки счета двадцатками, при которых считались не только пальцы рук, но и пальцы ног.

Внекоторых языках числительные сохраняют следы пятиричной системы,

вэтих языках пальцы второй руки называются также как и пальцы первой с прибавлением слова, обозначающего 5 пальцев или руку. Например, в

5

языке шумеров (первоначального населения междуречья, положившего начало культуры древнего Вавилона) число 7 называется имин и представляется в виде 7 = 5(иа) +2(мин), 9 называется илимму и представляется в виде 9 = 5(иа) +4(лимму).

На самых первоначальных ступенях развития человек пользовался и двоичной системой счисления.

Например, на языке одного из племен острова Торресова пролива существуют следующие наименования: 1 - урапун, 2 - окоза, 3 - окозаурапун, 4 - окоза-окоза, 5 - окоза-окоза-урапун, 6 - окоза-окоза-окоза и т.д.

Племя реки Муррей считает так: 1 - энза, 2 - петчевал, 3 - петчевал-энза, 4 - петчевалпетчевал.

1.4Возникновение числовых обозначений.1. Лучевая кость волка. 2. Бирки для записи долгов. 3. Квипу. 4. Нумерация и ее принципы.

Сведения о результатах счета первоначально хранили при помощи зарубок на дереве или на костях, а также с помощью узелков на веревках. Самой старой известной в настоящее время записью с помощью зарубок является запись на лучевой кости молодого волка длиной 18 см. На ней имеется 55 зарубок, расположенных по 5, причем после 25 зарубок идет длинная черта. Эта кость была найдена в 1937 году около деревни Вестонице в Моравии (Чехословакия). Она относится к XXX в. до н.э. Есть предположение, что кость служила для записи убитых животных древними охотниками.

Еще в XIX веке в западной Европе использовали бирки с зарубками для записи долгов. Такая бирка раскалывалась на две половины, одна из которых хранилась у должника, а другая - у кредитора. При сжигании таких бирок случился пожар в английском парламенте в 1834 году. Известная пословица "заруби себе на носу"свидетельствует о распространении записи чисел зарубками. Инки записывали свои долговые обязательства с помощью узелков на цветных веревках - квипу. Такие же квипу встречаются и по сей день в некоторых районах Китая и Японии.

Конечно, наиболее прогрессивным было обозначение чисел при помощи цифр. У разных народов они отличались друг от друга. Обозначение чисел при помощи цифр называется нумерацией и первоначально было основано на трех принципах: аддитивном (от латинского слова additio - сложение),

6

субстрактивном (от латинского слова substractio - вычитание) и мультипликативном (от латинского слова multiplicatio - умножение).

Аддитивный принцип состоит в том, что вводится несколько основных знаков (цифр), например, для 1, 10, 100, а остальные числа вида n, 10n, 100n изображаются сответственно знаком повторенным n раз. Аддитивная запись отражает инструменальный счет с палочками ракушками или другими предметами. Мы встречались с аддитвным принципом в названии чисел племен Торресова пролива.

Субстрактивный принцип состоит в том, что сочетание цифр mn, где m < n, означает разность n − m.

Мультипликативный принцип состоит в том, что сочетание цифр mn, где m < n, означает произведение чисел m и n. Субстрактивный и мультипликативный принципы проявляются и в названии чисел. На мультипликативном принципе основаны названия десятков и сотен в индоевропейских странах. Например, в русском языке названия 20, 30, 50-80, 200-900 основаны на мультипликативном принципе. На "скрещивании"мультипликативного принципа и субстрактивного основано название числа девяносто. Первоначально 90 называлось "девятьдесят"(оно сохранилось в таком виде в современном чешском языке -"devatdes´at"), а затем преобразовалось в девяносто, обзначая "10 до 100".

Классическим примером применения аддитивного и субстрактивного принципов является римская нумерация. Вводятся цифры I, V, X, L. Тогда числа II, III, VI, VII, XX, XXX - основаны на аддивном принципе, а числа IV, IX, XL - на субстрактивном.

1.5Возникновение понятий об измерении и о геометрических фигурах. 1. Первые единицы измерения. 2. Первые геометрические понятия. 3. Магические числа и фигуры. 4. Зачатки астрономии.

В эпоху неолита возникла необходимость в измерении длины и емкости предметов. Единицы измерений были грубы и часто исходили из размеров человеческого тела. Об этом напоминают такие единицы, как палец, фут (то есть ступня) локоть. Когда начали строить дома, такие как у земледельцев Индии или обитателей свайных построек в Цетральной Европе, стали вырабатываться правила, как строить по прямым линиям и под прямым углом. Английское слово "stright"(прямой) родственно глаголу "stretch"(натягивать), что ука-

7

зывает на использование веревки. Английское слово "line"(линия) родственно слову "linen"(полотно), что указывает на связь между ткацким ремеслом и зарождением геометрии. Человек неолита обладал прекрасным чувством геометричсекой формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин и тканей, а позже и обработка металлов вырабатывали представления о плоскостных и пространственных соотношениях. Неолитические орнаменты были достаточно сложны и красивы. Они встречаются на неолитической керамике, на вазах, циновках и позднее коврах.

Появляются магические числа такие как 3, 4, 7, и магические фигуры такие как, пятиконечная звезда и свастика.

Даже у самых отсталых племен имеются сведения о движении Луны и солнца, необходимые для отсчетв времени. Сведения такого типа приобрели научный характер, когда стали развиваться земледелие и торговля. Пользование лунным календарем относится к очень давней эпохе в истории человечества. Изменения в ходе произрастания растений связывали с фазами луны.

Созвездия использовались в качестве ориентиров и эта примитивная астрономия дала первые сведения о свойствах сферы, окружностей и об углах.

2Древнейшие цивилизации. Древний Египет.

2.1 Первые математические тексты. 1. Время первых известных математических текстов. Два папируса древнего Египта. 2. Список древнейших цивилизаций, являющихся ровесниками первых папирусов. 3. Земледелие - поставщих математических задач. 4. Папирусы и глиняные таблички носители информации, дошедшей до наших времен.

Наиболее древние письменные математические тексты, известны в настоящее время, сохранились примерно от начала второго тысячелетия до н.э. Большинство математических текстов, сохранившихся в памятниках древнего Египта, написаны на папирусе - бумаге, выделанной из стебля растения с названием папирус. От слова "папирус"произошли названия бумаги "Papier", "papierpaper"на немецком, французском, английском языках. Самым большим из сохранившихся до наших дней является так называемый папирус Райнда. Его размер 5, 25m × 33sm и он содержит 84 задачи. А. Райнд купил этот папирус в г. Луксоре в 1858 году и затем передал его Британскому музею. Этот папирус был написан около 1800 года до н.э., но его писец Ахмес

8

уверяет, что его оригинал был написан ранее возможно на 200 лет.

Второй папирус примерно такой же длины, но более узкий 5, 44m × 8sm, был приобретен в конце девятнадцатого века русским востоковедом В.С. Голенищевым и ныне принадлежит московскому музею изобразительных искусств им. А.С. Пушкина. Этот свиток содержит 25 задач. К обсуждению этих папирусов мы еще вернемся, а пока скажем несколько слов о древнейших цивилизациях, существовавших во времена написания эти папирусов.

Это две великие цивилизации Египет и Вавилон. Египет возник в долине Нила в Африке, а Вавилон в долине двуречья Тигра и Ефрата. Одновременно с древним Египтом и Вавилоном появились цивилизации в Индии - в долине рек Инда и Ганга, в Китае в долинах рек Хуанхе и Янцзы. Затем в Средней Азии и Закавказье, на островах в европейском и азиатском побережье Средиземного моря, в Индокитае и Индонезии. Математические документы сохранились только в Египте, Месопотамии, Индии, и Китае. В нашем курсе мы достаточно подробно коснемся математических достижений Египта и Вавилона, и немного коснемся математики древнего Китая и Индии. Следует отметить, что история пока практически не располагает сведениями о развитии математики европейского средиземноморья до появления греков

ио математике Средней Азии до арабского завоевания. Мы также не имеем сведений о математике древнего закавказья. Но по остаткам этих древних цивилизаций можно судить, что они возможно мало отличались от цивилизаций Египта и Вавилона. То же самое можно сказать и о древнем Индокитае

иИндонезии. Что же касается древних государств Африки и Америки, то сведений об их культуре пока крайне мало.

Все древние государства, о которых мы упомянули, были земледельческими. Площадь пригодная для земледелия была невелика. Чтобы ее увеличить надо было строить оросительные каналы и осушать болота. В этих государствах появляются математические задачи, к которым приводит необходимость расчетов при проведении каналов, строительстве плотин, складов для зерна, дворцов храмов и военных укреплений, при межевании земель, распределении материалов и продуктов среди участников работ и военных походов, при торговых сделках, вождении торговых и военных караванов и мореплавании. Именно решению таких задач посвящены дошедшие до нас математические документы. Количество же дошедших до нас документов не связано непосредственно с уровнем развития математики в тех или иных

9

странах. Скорее это связано с качеством материала, который использовался для записи математических текстов. Так в Египте математические тексты писались на хрупком папирусе и иногда на коже. Такие источники сохранились только в пирамидах - усыпальницах высокопоставленных египтян. Напротив, вавилонские тексты писались на сырой глине специальными палочками из бамбука или кости. Затем глиняная плитка, с написанным текстом, подвергалась обсушиванию или обжиганию. Палочки имели обычно форму треугольной призмы. При надавливании такая палочка оставляла на глине клинообразный след. Каждая буква представляла собой конфигурацию таких клиньев. Такой способ письма можно назвать клинописью. До нас дошли 500 000 (зарегистрированных) клинописных табличек разных времен от начала третьего тысячелетия до н.э. до первого века н. э. При этом известно 150 табличек с математическими текстами (задачами) и 200 табличек с математическими таблицами.

2.2Краткая история Египта 1. Объединение Египта при Менесе (3000 г. до н.э.). 2. Победа Нижнего Египта (2700 г. до н.э.). Образование древнего государство. Пирамиды. 3. Среднее царство (2000 г. до н.э.). 4. Новое царство (1300 г. до н.э.). 5. Последнее самостоятельное государство (655 г. до н.э.). 6. Захват Египта (525 г. до н.э.).

Объединение Египта приписывается фараону Менесу (Мине), основавшему около 3000 г. до н.э. так называемое Раннее государство со столицей в верхнеегипетском городе Тисе. Однако в это же время непрерывно шла война между Верхним и Нижним Египтом, которая закончилась около 2700 г до н.э. победой Нижнего Египта. В результате возникло Древнее царство со столицей в нижнеегипетском городе Мемфисе (Меннефер). Этот город находился вблизи нынешнего Каира. Наиболее известными фараонами этого времени были Хеопс (Хуфу) и Хефрен (Хафра). Именно при них были построены наиболее большие пирамиды.

Около 2000 г. до н.э. начинается новая эпоха истории Египта, называемая Cредним царством. Столицей Египта становится снова верхнеегипетский город Фивы (Уасет), который находился вблизи нынешнего города Луксора (ал-уксур - "дворцы"). Эпоха среднего царства продолжается около двухсот лет. В конце этой эпохи север Египта подвергается нашествию Варваров - гиксосов, пришедших из степей Аравии.

10