Diff_Uravnenia_lektsii

где в постоянную объединены обе постоянные, возникающие при получении первообразных в правой и левой частях. Теперь, чтобы получить явную зависимость x от t, нужно найти обратную функцию для Q. Такая функция существует, т.к. Q′ = 1/p ≠ 0, т.е. функция Q строго монотонна. В явном виде это сделать не всегда возможно, да и выразить интеграл в виде элементарных функций не всегда удается, но теоретически мы можем сказать, что соотношение Q(x)−P (t) = C определяет решения дифференциального уравнения. Через каждую точку области D проходит, по теореме существования и единственности, единственная кривая, являющаяся графиком соответствующего решения.

2.1.1Динамические системы на прямой и окружности

В качестве примера уравнений с разделяющимися переменными рассмотрим теорию гладких динамических систем на прямой или на окружности. Это теория изучает свойства решений автономных (т.е. не зависящих от времени) дифференциальных уравнений на больших временах, т.е. при t → ±∞, не используя конкретный вид решений (который может и не существовать в виде элементарных функций). Рассмотрим такое уравнение x˙ = f(x), функция f(x) предполагается по крайней мере 1 раз дифференцируемой на некотором интервале (a, b), где она определена. Часто таким интервалом служит вся числовая прямая. В случае периодичности функции f по с периодом L естественной областью определения этой функции является окружность S длины L. Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Предположим, что функция f имеет конечное число нулей x1, . . . , xn на рассматриваемом интервале (a, b) (или окружности). Область определения D уравнения есть горизонтальная полоса R × (a, b), прямые x = xk делят основную полосу D на полосы между соседними постоянными решениями. В случае окружности естественной областью определения D является цилиндр R × S. Основным свойством автономных дифференциальных уравнений является следующее: если x(t) является решением уравнения, то x(t + c) также является решением при любом c R. Это свойство проверяется непосредственной подстановкой в уравнение. Отсюда следует, что зная одну интегральную кривую в полосе между соседними постоянными решениями, мы получим их все сдвигами вдоль оси t. Поведение решение вблизи постоянного x = xk (стремится ли x(t) к xk при t → ∞ или t → −∞) зависит от локальных свойств функции f вблизи точки xk.

Задача 2.2 Докажите, что если производная f′(xk) < 0, то решения с начальной точкой вблизи прямой xk стремятся при t → ∞ к этому решению, а если f′(xk) > 0, то решения с начальной точкой вблизи прямой xk стремятся при t → −∞ к этому решению.

Задача 2.3 Доказать что в полосе между двумя соседними постоянными решениями (xk−1, xk) любое решение переходит с прямой x = xk−1 + ε на прямую x = xk − ε за конечное время, одинаковое для всех таких решений.

20

С учетом результатов этой задачи, мы получаем следующее поведение решений рассматриваемого уравнения: любое решение с начальной точкой в полосе между соседними постоянными решениями стремится при t → ∞ или t → ∞ к граничному решению. Отметим следующий полезный факт, обобщение которого на многомерный случай приводит к понятию траектории автономной системы ДУ первого порядка: если нас интересует только куда идет решение при t → ∞ и t → −∞, то нам не нужно изображать интегральные кривые на плоскости (t, x), ведь в каждой из полос R × (xk−1, xk) эти кривые ведут себя одинаково и получаются все из одной сдвигом по оси t. Поэтому достаточно на оси x поставить точки xk, являющиеся нулями функции f и на интервалах между нулями поставить стрелки, указывающие направление движения по интервалу

– проекции интегральной кривой – при возрастании времени. Полученная картинка на прямой (или на окружности) называется фазовым портретом одномерного автономного ДУ.

Можно также рассмотреть аналогичную задачу для уравнения x˙ = f(x), не предполагая f гладкой (см. примеры выше).

Задача 2.4 Определить поведение решений уравнения вблизи нуля функции f в зависимости от свойств сходимости/расходимости интеграла

∫

dx . f(x)

(Ответ: если интеграл сходится, то решение с начальной точкой, достаточно близкой к нулю x = x0, за конечное время попадает на прямую x = x0, т.е. тогда нет единственности, как в примере выше, если интеграл расходится, то решение с начальной точкой, достаточно близкой к нулю x = x0 стремится к решению x = x0 при стремлении t → ∞ или t → −∞).

3. Уравнения в полных дифференциалах. Рассмотрим дифференциальное уравнение, в котором правая часть имеет вид f = N(t, x)/M(t, x). Понятно, что такое представление функции f не единственно: например, можно умножить числитель и знаменатель на одну и ту же функцию. Для удобства формулировки и решения уравнения представим его в форме, где переменные t, x равноправны:

M(t, x)dx − N(t, x)dt = 0.

Напомним, что такое представление мы назвали симметричной формой дифференциального уравнения. Областью определения этого уравнения является общая для обеих функций M, N область D, где они определены, непрерывны и дифференцируемы. Предположим, что левая часть полученного выражения является полным дифференциалом некоторой по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемой функции F (t, x). Тогда должны быть выполнены равенства:

M(t, x) = ∂F∂x , N(t, x) = −∂F∂t .

21

При этом вторые смешанные производные Ftx и Fxt функции совпадают и для коэффициентов уравнения получаем тождество:

∂M∂t ≡ −∂N∂x .

Примем эти необходимые условия того, что левая часть уравнения есть дифференциал некоторой неизвестной функции, за определение уравнения в полных дифференциалах:

дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется такое урав-

нение в симметричной форме
P (t, x)dx + Q(t, x)dt = 0,					(2.3)
у которого дифференцируемые функции P, Q удовлетворяют тождествам:
	∂P	≡	∂Q		(2.4)
				.
	∂t		∂x

Теперь возникает естественный вопрос: пусть в некоторой области D переменных (t, x) выполнены тождества (2.4); существует ли в области D дважды непрерывно дифференцируемая функция F , дифференциал которой совпадает с левой частью уравнения? Оказывается, вообще говоря, этого тождества недостаточно для существования такой функции, и ее существование зависит еще от топологических свойств области D!

Пример 2.3 Рассмотрим в проколотой плоскости R2 \ {(0, 0)} следующее дифферен-

циальное выражение:
				t				−	x
P (t, x)dx + Q(t, x)dt =						dx				dt.
				x2 + t2					x2 + t2
Для его коэффициентов тождество выполнено:
	∂P =		x2 − t2				∂Q.
	∂t		(x2 + t2)2		≡		∂x

Перейдем в дифференциальном выражении к полярным координатам: t = r cos φ, x = r sin φ. Тогда дифференциальное выражение примет вид dφ, т.е. это дифференциал функции φ, которая в проколотой плоскости не является однозначной, она возрастает на 2π при каждом обходе по замкнутой кривой, охватывающей точку (0, 0). Упомянутое топологическое свойство здесь – неодносвязность рассматриваемой области: не любую замкнутую кривую в этой области можно непрерывно продеформировать в точку, оставаясь внутри рассматриваемой области.

Замечание 2.1 В связи с тем, что дифференциал с условием (2.4), заданный в некоторой области, не всегда определяет функцию F , для которой он является дифференциалом, то дифференциал, для которого выполнено условие (2.4) называют замкнутым, а дифференциал, у которого в данной области существует функция F , для которой он является дифференциалом, называют точным. Более глубокий смысл этих понятий, включая многомерные обобщения, становится ясным в теории дифференциальных форм [8].

22

В дальнейшем мы рассматриваем только области типа плоскости, полосы, полуплоскости, круга, прямоугольника, являющимися односвязными2. В такой области при выполнении тождества (2.4) функция F находится однозначно, если задать ее значение в некоторой точке. Первый этап решения уравнения в полных дифференциалах – нахождение этой функции. Для этого используем одно из равенств

P (t, x) = ∂F∂x , или Q(t, x) = ∂F∂t .

Рассмотрим например первое из них и решаем это уравнение как дифференциальное по переменной x, считая t параметром:

∫ x

F (t, x) = P (t, s)ds + p(t).

x0

Теперь нужно найти p, для этого используем второе равенство и определяющее соотношение (2.4):

	∂F	x ∂P (t, s)		x ∂Q(t, s)
Q(t, x) =		= ∫x0		ds + p′(t) = ∫x0		ds + p′(t) = Q(t, x) − Q(t, x0) + p′(t),
	∂t		∂t		∂s

т.е.

p′(t) = Q(t, x0),

откуда находим p(t) = ∫ t Q(τ, x0)dτ + C.

t0

Итак, функция F имеет вид

x	t
F (t, x) = ∫x0	P (t, s)ds + ∫t0	Q(τ, x0)dτ.

Теперь осталось доказать следующую лемму

Лемма 2.1 Рассмотрим кривую, заданную неявно уравнением F (t, x) = C. Предположим, что Fx ≠ 0 в рассматриваемой области. Если x(t) решение этого уравнения F (t, x(t)) ≡ C, то функция x(t) является решением дифференциального уравнения

P (t, x)dx + Q(t, x)dt = 0, т.е. выполнено тождество P (t, x(t))x′(t) + Q(t, x(t)) ≡ 0

Доказательство. Если x(t) – решение уравнения F (t, x(t)) ≡ C, то производная этой функции имеет вид x′(t) = −Ft(t, x(t))/Fx(t, x(t)). Подставляя x(t) в уравнение, получаем: P (t, x(t))dx+ Q(t, x(t))dt = Fx(t, x(t))x′(t)dt + Ft(t, x(t))dt ≡ 0.

Аналогично, если из уравнения F (t, x) = C можно выразить t = t(x), то это тоже дает решение этого уравнения. Иногда мы будем считать решением саму неявно заданную кривую F (t, x) = C.

2Это означает, что в такой области любую замкнутую кривую можно непрерывно стянуть в точку, оставаясь внутри области.

23

F (x, y) =

+ arcsin(x/y).

Укажем на связь введенного здесь класса уравнений в полных дифференциалах с одним важным классом систем двух автономных уравнений первого порядка, называемых гамильтоновыми. Так называют системы следующего вида:

x˙ = ∂H∂y , y˙ = −∂H∂x ,

с C2-гладкой функцией H(x, y), которая называется гамильтонианом системы. Решение этой системы есть пара гладких функций (x(t), y(t)), удовлетворяющая системе, для которой соответствующая параметрически заданная кривая на плоскости (x, y) лежит в области определения функции H. В окрестности точки, где dH ≠ 0 (т.е. одна из частных производных отлична от нуля), эту кривую можно записать в виде y = y(x) (если Hy ≠ 0) или x = x(y) (если Hx ≠ 0). Тогда соответствующая кривая удовлетворяет дифференциальному уравнению

	∂H	/	∂H	или	∂H		∂H
y′(x) = −						y′(x)dx +		dx = 0,
	∂x		∂y		∂y		∂x

которое является уравнением в полных дифференциалах, а H та функция, которую мы ищем при решении этого уравнения. В случае, когда Hx ≠ 0, то x(y) является решением

уравнения	∂H	/	∂H		∂H		∂H
				или
x′(y) = −						dy +		x′(y)dy = 0.
	∂y		∂x		∂y		∂x

В симметричной форме оба этих уравнения записываются одинаково. Рассмотрим пример решения уравнения в полных дифференциалах.

Пример 2.4 Пусть дано уравнение
(x +	1			)dx + (y −		x			)dy = 0,
					y
		y2 x2				y2	−	x2
		−
областью определения которого√			является односвязная√					область, точки которой удо-

влетворяют неравенству |y| > |x|. Полезно заметить, что уравнение инвариантно (переходит в себя) относительно замены (x, y) → (x, −y). Поэтому если y(x) – решение уравнения, то y1(x) = −y(x) также его решение, т.е. достаточно решить уравнение в верхней полуплоскости y > 0, y > |x|.

Имеем тождество

∂

1

∂

x

(x +

) ≡

(y −

) = −y(y2 − x2)−3=2,

∂y

∂x

y

y2

x2

y2

−

x2

−

поэтому получаем уравнение√

в полных дифференциалах.√

Найдем функцию F (x, y). Ре-

@F

(x +

1

).

шаем уравнение @x =

√

Решение имеет вид F (x, y) = x2/2 + arcsin(x/y) +

y2−x2

f(y). Подставляя во второе равенство для F , получаем f′ = y, т.е. x2 + y2

2

24

Иногда уравнение в симметричной форме (2.3) само не является уравнением в полных дифференциалах, тогда можно попытаться привести его к такому, умножая левую часть уравнения (2.3) на некоторую функцию µ(t, x). Если после умножения на µ(t, x) уравнение становится уравнением в полных дифференциалах, то функцию µ(t, x) называют интегрирующим множителем. Уравнением для интегрирующего множителя тогда будет такое:

∂ µP

)

∂ µQ

)

∂µ

∂µ

= [

∂Q

∂P

]µ.

(

=

(

или P

− Q

−

∂t

∂x

∂t

∂x

∂x

∂t

Как будет доказано ниже в главе об уравнениях с частными производными первого порядка, локально около заданной точки, в которой функции P, Q одновременно не обращаются в нуль (точка неособая), интегрирующий множитель всегда существует, но в этом случае его ценность невелика: представляют интерес интегрирующие множители существующие глобально, во всей области существования уравнения. Такие множители существуют не всегда. Некоторые методы отыскания интегрирующего множителя будут рассмотрены на практических занятиях.

4. Остальные уравнения, изучаемые на практических занятиях, приводятся заменами к этим изученным типам. К ним относятся однородные уравнения x′ = f(x/t) (замена x = ty) и приводимые к ним.

2.1.2Интегрирование уравнения математического маятника

В качестве примера применения вышеизложенных результатов рассмотрим интегриро-

¨

вание уравнения математического маятника θ + sin θ = 0 (см. главу 1). Стандартная замена переменной θ˙ = x приводит это уравнение к системе двух автономных дифференциальных уравнений первого порядка:

θ˙ = x, x˙ = − sin θ.

(2.5)

Эту систему, ввиду 2π-периодичности правых частей по θ, естественно рассматривать не на плоскости переменных (θ, x), а на цилиндре (θ (mod 2π), x). Тогда в качестве области интегрирования системы будем рассматривать полосу −π ≤ θ ≤ π, в которой граничные точки склеиваются в соответствии с периодичностью по правилу (−π, x) = (π, x). Отметим, что эта система имеет два простых решения с постоянными (не зависящими от времени) координатами: (0, 0), (π, 0) = (−π, 0). Они называются состояниями равновесия этой автономной системы.

Перепишем систему в виде одного уравнения в симметричной форме, исключая время: xdx + sin θdθ = 0. Оно очевидно является уравнением в полных дифференциалах и соответствующая функция, дифференциалом которой является левая часть уравнения, равна H(θ, x) = x2/2+1−cos θ ≥ 0. Эту функцию (гамильтониан системы) можно попы-

таться использовать для получения явного вида решений (θ(t), x(t)) системы. Для этого,

√

задавая значение c > 0, выразим x через θ из уравнения H = c: x = ± 2(c − 1 + cos θ). Выбор знака определяется той полуплоскостью x > 0 или x < 0, где ищется решение системы дифференциальных уравнений. При этом следует отметить одну важную

25

особенность рассматриваемой системы: она переходит в себя (не меняется) при замене переменных x → −x, t → −t (проверьте). Такие системы называют обратимыми или реверсивными. Это свойство означает, что если (θ(t), x(t)) есть решение системы, то ее решением будет и (θ1(t), x1(t)) = (θ(−t), −x(−t)). Поэтому будем искать решение с x(t) > 0. Оно находится из интегрирования первого уравнения системы, в которое вме-

сто x поставлено его выражение из гамильтониана: θ˙ =

2(c − 1 + cos θ)

. Получаем

уравнение с разделяющимися переменными, которое,

согласно процедуре разделения

√

переменных, запишем в виде равенства двух дифференциалов

dθ

dθ

dt =

=

.

√

√

√

2(c − 1 + cos θ)

c − 2 sin2(θ/2)

2

Замена переменной u = θ/2 приводит уравнение к виду:

du

2

= √c/2dt,

где k2 =

, k ≥ 0.

(2.6)

√

c

1 − k2 sin2 u

Рассмотрим сначала самый простой случай c = 2, т.е. k = 1. Тогда интегрирование уравнения с начальным условием u(t0) = 0 дает u(t; t0) = arcsin[th(t − t0)]. Отметим свойство этого решения: при t → ∞ решение стремится к значению π, а при t → −∞

оно стремится к значению −	π	. При этом значение второй							координаты может быть по-
									2	(θ(t)/2) = 2/ ch(t − t0). Эта
лучено из выражения для гамильтониана: x(t) = 2								1 − sin
функция стремится к нулю при			t	→ ±∞	.	Таким	образом, на цилиндре точка кривой,
								√

описывающей полученное решение, движется слева направо по верхней половине кривой H = 2 : x = 2 cos(θ/2) и стремится при t → −∞ к точке (−π, 0), а при t → ∞

– к точке (π, 0), которые на цилиндре являются одной и той же точкой. Второе решение системы с теми же свойствами при t → ±∞ получается по симметрии, меняя знак времени и координаты x. Точки этого решения движутся по нижней половине кривой H = 2 : x = −2 cos(θ/2) и стремятся при t → ∞ к точке (−π, 0), а при t → −∞ – к точке (π, 0). Эти два решения называются сепаратрисами состояния равновесия (π, 0).

Для значений c > 2 величина k удовлетворяет неравенству k2 < 1 и интеграл

√			∫	u
					√
t c/2 =						ds		2
				0		1 − k	2
								sin s

не выражается в элементарных функциях: для этой функции от u имеется специальное обозначение F (u, k) и она называется неполным эллиптическим интегралом первого рода. Название отражает тот факт, что такие интегралы впервые встретились при попытке найти длину эллипса. Полученная функция является монотонно возрастающей

и поэтому имеет обратную функцию, которую обычно обозначают u = am(t

c/2; k).

Используя это обозначение, записываем решение уравнения

(

) = 2

(

t

√

Это

θ t

am

c/2; k).

монотонно возрастающая функция от времени. Теперь запишем

выражение для ко-

√

ординаты x(t) = √

1 − k2 sin2(am(t

2c

c/2; k)). Функция sin(am(s; k)) = sn(s; k) как

функция от

s

носит

специальное название эллиптический синус, поскольку часто встре-

√

√

чается в различных задачах, хорошо изучена [3] и имеется во всех справочникам по

26

специальным функциям (см. например [20]). Она является периодической функцией от

s с периодом, равным

4 ∫ =2 √ ds = 4K,

01 − k2 sin2 s

где K называется полным эллиптическим интегралом первого рода. Отметим, что на плоскости (θ, x) кривая, заданная параметрически как (θ(t), x(t)) с найденными функциями, является периодической функцией от x = g(θ). Если эту кривую изобразить на цилиндре, то получим замкнутую кривую на цилиндре, которая обходит цилиндр.

Последний случай 0 < c < 2, тогда k2 > 1 и выражение под корнем в (2.6) неотрицательно при изменении θ на отрезке |θ| ≤ 2 arcsin(1/k) < π. На концах этого отрезка подкоренное выражение обращается в нуль и θ˙ = 0, при этом x˙ < 0 на правом конце этого отрезка и x˙ > 0 – на его левом конце. Найдем решение уравнения (2.6)

для |u| ≤ arcsin(1/k). Для этого обозначим κ =

c/2 = 1/k < 1 и сделаем замену

θ = 2 arcsin[κ sin φ]

. Здесь при изменении

φ

от −

π до π функция справа монотонно воз-

√

дифференциал

растает от −

2 arcsin(κ)

до

2 arcsin(κ)

. Тогда

cos(θ/2)dθ/2 = κ cos φdφ,

а

2

неравенство

преобразуется к виду (в вычислении мы используем равенство c = 2κ

cos φ ≥ 0 на рассматриваемом отрезке изменения φ [−π, π]):

dθ

=

2κ cos φdφ

= √

dφ

,

2

√

√

√

c − 2 sin2 u

(1 − κ2 sin2 φ)(c − 2κ2 sin2 φ)

1 − κ2 sin2 φ

√

интегралом которого от 0 до φ является

2F (φ, κ). Поэтому φ(t) имеет вид φ(t) =

am(t; κ), а θ(t) = 2 arcsin[κ sn(t; κ)]. Выражение для x(t), используя гамильтониан, приводится к виду: x(t) = 2κ cos(am(t; k)) = 2κ cn(t; κ), где функция cos(am(t; k)) = cn(t; k)

носит название эллиптический косинус. Она определена на всей прямой и также является периодической с тем же периодом 4K, что и эллиптический синус. Однако, ввиду ограничений |θ| ≤ 2 arcsin(κ) < π, x ≥ 0, мы пока нашли только часть соответствующего решения, для которой x ≥ 0. Вторая часть решения получается продолжением, используя симметричное решение θ(−t), −x(−t). Действительно, функция θ(t) является нечетной на рассматриваемом отрезке, ввиду свойства am(−t; κ) = −am(t; κ), соответственно x(t) = θ˙(t) – четной. Поэтому их можно считать определенными на отрезке

[−K, K]. При t = 0 имеем θ(0) = 2 arcsin[κ sin(am(0, κ))] = 0, т.к. am(0, κ) = 0. Вто-

√

рая координата при этом равна x(0) = 2κ = 2c = max x(t). При возрастании t нуля до значения K(κ) координата θ достигает максимального значения θ = 2 arcsin(κ), а x(K) = θ˙(K) = 0. Рассмотрим теперь пару функций θ1(t), x1(t) = (θ(2K−t), −x(2K−t)). Тот факт, что эта пара является решением системы, проверяется подстановкой (это следствие обратимости системы). При t = K через ту же точку (2 arcsin(κ), 0) проходит также и это решение системы, поэтому это последнее решение, ввиду единственности решения системы с одинаковыми данными при t = K, является продолжением найденного решения с отрезка t [−K, K] на отрезок [K, 3K], при этом величина 2K − t

убывает от K до −K. Следовательно, изображающая точка движется по нижней вет-

√

ви кривой H = c: x = − 2(c − 2 sin2(θ/2)), c = 2κ2, при t = 3K мы получаем точку (θ(−K), −x(−K)) = (−θ(K), −x(K)) = (2 arcsin(κ), 0), т.е. полученная кривая на цилиндре замкнута и лежит внутри области, ограниченной парой сепаратрис (см. рис. 1.3).

27

Такими являются все кривые внутри этой области, кроме состояния равновесия (0, 0). Вид кривых, являющихся параметрическим представлением решений на цилиндре для различных c показан на рис. 1.3.

Все вышеизложенное в этом параграфе позволяет сделать следующий вывод о структуре системы (2.5). Кривые на цилиндре, определяемые уравнением H = c, делятся на 3 класса: 1) лежащие внутри односвязной области, границей которой является (замкнутая, негладкая) кривая H = 2, все кривые в этой области замкнуты и при c → +0 стягиваются к точке (0, 0), а при c → 2 −0 стремятся к контуру, образованному объединением двух сепаратрис точки (π, 0); 2) кривые, лежащие вне кривой H = 2, эти кривые лежат целиком либо в области x > 0, либо в области x < 0, каждая из этих кривых замкнута, охватывает цилиндр и на уровне H = c > 2 лежат по две такие кривые, переставляемые отображением (θ, x) → (θ, −x). Все замкнутые кривые являются параметрическими кривыми для периодических решений системы; 3) кривая H = 2 состоит из трех параметризованных кривых: верхней сепаратрисы (x > 0), нижней сепаратрисы (x < 0) и состояния равновесия (π, 0), замыкание каждой из сепаратрис образует замкнутую кривую на цилиндре (замыкание содержит точку (π, 0)), вместе они образуют кривую, гомеоморфную "восьмерке". Решения на сепаратрисах стремятся к состоянию равновесия (π, 0), как при t → ∞, так и при t → −∞.

2.2Уравнения, допускающие понижение порядка

Теперь рассмотрим некоторые типы уравнений порядка n ≥ 2, которые можно свести тем или иным способом к уравнению порядка n − 1. Если понижение порядка удается сделать несколько раз, то уравнения можно свести иногда к одному из типов уравнений первого порядка, рассмотренным выше, интегрируемых в квадратурах. Тогда исходное уравнение полностью решается в квадратурах.

1. В уравнение F (x, y(k), y(k+1), . . . , y(n)) = 0 не входит неизвестная функция и ее производные до порядка k − 1. Порядок уравнения понижается на k единиц заменой y(k) = z.

2. В уравнение F (y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0 не входит независимая переменная x, уравнение понижает порядок на единицу при замене y′ = z(y), y′′ = z′z, и т.д., здесь y – новая независимая переменная.

Пример 2.5

y′2 = (3y − 2y′)y′′

3. Пусть функция F в уравнении F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 является однородной относительно переменной y и ее производных y′, . . . , y(n):

F (x, ky, ky1, . . . , kyn) = kmF (x, y, y1, . . . , yn).

Уравнение понижает порядок при замене y′ = yz : y′′ = y′z + yz′ = y(z2 + z′), и т.д. После замены все производные приобретают множитель y, который выносится из F и сокращается, после чего порядок уравнения относительно переменной z равен n − 1.

28

Пример 2.6

xyy′′ − xy′2 = yy′.

4. Функция F в уравнении F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 является обобщенно однородной относительно переменных x, y и ее производных, т.е. при замене x → kx, y → kmy, y′ → km−1y′, и т.д...., имеем F (x, kmy, km−1y1, . . . , km−nyn) = ksF (x, y, y1, . . . , yn). Обычно число m нужно определить из уравнения, приравнивая показатели степеней всех входящих членов. Если это удается, то далее делается замена переменных x = et (для x > 0), y = z(t)emt, с новой неизвестной функцией z(t). После замены в уравнение не входит t, поэтому работает п.2.

Пример 2.7

4x2y3y′′ = x2 − y4, m = 1/2, x = et, y = zet=2.

5. Порядок уравнения понижается, если уравнение можно представить как равенство двух производных.

Пример 2.8

y′y′′′ = y′′2, yy′′ + y′2 = 1.

29