itmo352

Полученные выражения представляют собой обычные уравнения волнового движения. Они означают, что существуют электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью

V =	c	.	(1.22)
	εμ

Зависимость напряженности электрического поля плоской монохроматической волны от координат и времени может быть

записана в виде:
		(	r	, t)=	E0 expi(	kr	−ωt).	(1.23)
	E
Действие электрического поля электромагнитной								волны на

электрон в атоме вызывает его смещение из положения равновесия. Относительное смещение отрицательного и положительного зарядов проявляются в том, что атом приобретает дипольный момент. Вещество оказывается поляризованным. Макроскопической характеристикой поляризованности вещества служит вектор P , который равен отношению векторной суммы дипольных моментов всех атомов в физически бесконечно малом элементе среды к объему этого элемента.

Если амплитуда E0 напряженности поля волны много меньше

напряженности внутриатомных электронных полей, отклик вещества на поле волны можно считать линейным. Это значит, что поляризованность среды в пределах рассматриваемого элемента объема однородна и совершает вынужденные колебания под действием поля E (t) по гармоническому закону с частотой внешнего

воздействия ω и амплитудой

, пропорциональной

:

P

E

(t)= P exp(−iωt)= α(ω)

0 exp(−iωt).

0

(1.24)

P

E

0

0

Направление вектора

в изотропной среде,

где нет физически

P

выделенных направлений, совпадает с направлением

вектора

.

E

Поэтому коэффициент пропорциональности α(ω)

между векторами

и

, называемый

диэлектрической восприимчивостью,

в

P

E

изотропной среде является скаляром. В однородной среде, свойства которой всюду одинаковы, восприимчивость α(ω) не зависит от пространственных координат.

При вынужденных колебаниях электронов вещества под действием электрического поля волны их движение, создающее поляризованность, вообще говоря, происходит с отставанием по фазе от колебаний напряженности электрического поля. Это запаздывание

11

по фазе формально проявляется в том, что диэлектрическая восприимчивость α(ω) в формуле (1.24) – величина комплексная.

Для большинства веществ магнитная проницаемость μ мало отличается от единицы. В оптике принято считать μ =1. Диэлектрическая восприимчивость α(ω) зависит от частоты волны ω. Об этой зависимости говорят как о законе дисперсии

восприимчивости.

Вместо

поляризации

P

удобно ввести в

рассмотрение вектор

, определяемый формулой

D

=

+ 4π

.

D

E

P

При этом ε(ω)=1+ 4πα(ω). Таким

образом,

диэлектрическая

проницаемость

ε(ω),

характеризующая

распространение

монохроматической волны, также зависит от частоты волны ω. В изотропной однородной среде ε(ω), как и α(ω), является скаляром и не зависит от пространственных координат. Если диэлектрическая восприимчивость α(ω) – комплексная величина, то и диэлектрическая проницаемость будет комплексной: ε(ω)= ε′(ω)+iε′′(ω).

Как следует из выражения (1.23), дифференцирование по времени таких функций сводится к умножению их на −iω, а применение

оператора дифференцирования по координатам – к умножению на ik . При этом уравнения (1.8)–(1.11) из дифференциальных превращаются в алгебраические:

×

= −ε(ω) ω

,

(1.25)

ck

H

E

kE

= 0 ,

(1.27)

ck

×

E

= ω

H

,

(1.26)

kH

= 0 .

(1.28)

Соотношение (1.26) позволяет представить выражение (1.25) в

виде:

×(k

×

)= −ε(ω)ω2

.

(1.29)

k

E

E

c2

Раскрывая двойное

векторное

произведение

в левой части

выражения (1.29) и учитывая при этом, что согласно соотношению (1.27) произведение kE = 0 , получаем условие

k 2 =	ω2	ε(ω),	(1.30)
	c2

при выполнении, которого уравнения (1.25)–(1.28) имеют ненулевое решение. Отсюда следует, что в общем случае, когда ε(ω) – величина

комплексная, k 2 тоже становится комплексной величиной. Комплексную величину ε(ω) обычно пишут в виде n +iχ с вещественными n и χ и называют комплексным показателем

12

преломления. При этом k = ωc (n +iχ). Выбирая ось z в направлении

вектора k и представляя комплексную величину k в уравнение (1.23), получаем для этого случая зависимость напряженности электрического поля волны от координат и времени в виде:

ω

n

E(z, t)= E0 exp −χ

c

z

exp −iω t −

t .

(1.31)

c

Величина χ называется показателем затухания. Как следует из

выражения (1.31), при z =

c

= λ0

, где

λ0

– длина волны частоты ω в

ω

2π

вакууме, амплитуда волны приобретает множитель exp(−χ).

В случае непоглощающих сред диэлектрическая проницаемость ε(ω) для рассматриваемых частот вещественна и положительна. Волновой вектор при этом также веществен и, как следует из

выражения (1.30), равен
k = ω	ε(ω)=	ωn(ω),	(1.32)
c	ε(ω)	c
где n(ω)=		– показатель преломления непоглощающей среды.

Через показатель преломления выражается, в частности, фазовая скорость распространения монохроматической волны. Как следует из

ω		c
выражения (1.23), V = k	=		.
		n(ω)

13

2. КЛАССИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ СВЕТА

По астрофизическим данным средняя плотность вещества в межпланетном пространстве составляет около одного атома (иона) на 1 см3. В межзвездном пространстве нашей Галактики средняя

концентрация вещества – около 10−2 атомов на 1 см3, а в межгалактическом пространстве еще меньше. В лучших же вакуумных приборах она не меньше 104 атомов на 1 см3, а обычно гораздо больше.

Все среды, за исключением абсолютного вакуума, обладают дисперсией, т.е. зависимостью показателя преломления электромагнитных волн от их частоты. Отсутствие дисперсии видимого света в межзвездном пространстве экспериментально доказано лишь с той точностью, которую может обеспечить эксперимент. Наблюдая пульсары с помощью современных радиоприемных устройств, удалось установить наличие дисперсии межзвездного пространства в области радиодиапазона частот электромагнитных волн.

Все электроны, входящие в атом, можно разделить на периферийные, или оптические, и электроны внутренних оболочек. Собственные частоты электронов внутренних оболочек слишком велики, так что их колебания в поле световой волны практически не возбуждаются. Поэтому в теории дисперсии можно ограничиться рассмотрением одних только оптических электронов.

Молекула состоит из нескольких тяжелых частиц (ядер атомов, образующих молекулу), вокруг которых обращаются легкие частицы (электроны). Электроны несут отрицательный заряд, а ядра – положительный. В нейтральных молекулах заряды электронов точно компенсируют заряды ядер. Однако, центры положительных (ядерных) и отрицательных (электронных) зарядов могут не совпадать; такая система является электрическим диполем и называется полярной. Хотя полярные молекулы играют важную роль во многих физических и химических явлениях, для простоты будем рассматривать лишь неполярные молекулы. Если неполярную молекулу поместить в электрическое поле, то электроны и ядра смещаются, и возникает дипольный момент.

В разреженной среде действующее на отдельный атом поле совпадает со средним макроскопическим полем E . Предположим, что в плотной среде отдельная молекула окружена небольшой

14

сферой, радиус которой, тем не менее, достаточно велик по сравнению с ее линейными размерами, при этом внутри сферы – вакуум, а вне – равномерно поляризованная среда. Можно показать, что полное поле внутри сферы, которое представляет собой эффективное поле, действующее на отдельную молекулу, равно

							4π
		′
	E			= E + 3				P .			(2.1)
Для того,									чтобы определить		зависимость поляризации и

показателя преломления от частоты электромагнитного поля, необходимо, прежде всего, найти смещение r каждой заряженной частицы относительно положения ее равновесия. Можно предположить, что на каждый электрон действует сила Лорентца F , равная

F = e E′+ v × H ′ ,c

где e – заряд электрона, а v – скорость его перемещения. Полагая скорость v малой по сравнению со скоростью света c в вакууме, вкладом магнитного поля в выражении силы Лорентца можно пренебречь. Строгое определение эффективного смещения ядер и электронов под действием электрической силы является сложной проблемой квантовой механики. Однако, с хорошим приближением, что подтверждается и строгой теорией, можно считать поведение электронов таким, как если бы при отклонении от положения равновесия на них действовала квазиупругая возвращающая сила Q = −qr . Следовательно, если через m обозначить массу электрона,

то уравнение его движения запишется в виде:

m&r&+ qr = eE′. (2.2)

В классической теории дисперсии оптический электрон в атоме рассматривается как затухающий дипольный осциллятор, характеризуемый определенной собственной частотой ω0 и

постоянной затухания γ , которая содержит вклад, обусловленный

радиационным затуханием, поскольку в классической теории дисперсии осциллирующий электрон обязательно излучает. Формально затухание можно учесть путем добавления в уравнение (2.2) члена gr& = mγr& , определяющего тормозящую силу. В результате

получаем

	&&	&
			+ qr = eE′.			(2.3)
	mr	+ gr

15

Пусть ω – циклическая частота поля падающей волны. При этом действующее на осциллятор поле E′(t) можно записать в виде:

′	(2.4)
E (t)= E0 exp(−iωt).

Частота установившихся вынужденных колебаний осциллятора

совпадает с частотой вынуждающей силы. Поэтому решение уравнения (2.2) можно искать в виде:

r	(t)=	r0 exp(−iωt).							(2.5)
Подставив выражения (2.4) и (2.5) в уравнение (2.2), получаем
							′(t )
r (t )=					eE			,	(2.6)
			m(ω02 −ω2 )−iωg
где ω =				q		называется резонансной частотой.			В рамках
0				m

классической теории дисперсии частоту ω0 следует рассматривать как формально введенную постоянную. В эксперименте значение ω0

определяет частоту линии поглощения в спектре исследуемого вещества.

Инициированный

действующим

полем

′

дипольный момент

E

p(t)

каждого электрона равен

p(t)= er

,

а,

следовательно,

пропорционален напряженности электрического поля:

′

(2.7)

p(t)= β(ω)E (t),

где β(ω)=

1

e2

.

m ω2

−ω2 −iωγ

0

Здесь принимается, что величина β(ω) не зависит от направления

вектора

′,

т.е.

рассматриваемая молекула

предполагается

E

изотропной.

Ядра атомов также вносят свой вклад в поляризацию. Но так как

массы ядер велики по сравнению с массой электрона, их вкладом в поляризацию в первом приближении можно пренебречь. Предположим, что в молекуле имеется лишь один эффективный электрон с резонансной частотой ω0 . Пусть N – число молекул в

единице объема. Поскольку интерес представляет лишь эффект, усредненной по всем возможным ориентациям молекулы, то нет необходимости считать каждую отдельную молекулу изотропной, при этом величина β(ω) будет определять среднюю поляризуемость.

Тогда для полной поляризации (полного электрического момента единицы объема) P получаем

16

~	′	(2.8)
P (t)= Np(t)= Ner (t)= β(ω)E (t),

где β~(ω)= Nβ(ω).

В соответствии с формулами (2.1) и (1.24) имеем:

E′(t)= E (t)+ 43π P (t);

P (t )= α(ω)E (t ).

Подставив эти соотношения в выражение (2.8), получаем

~

α(ω)=

β(ω)

.

(2.9)

4π~

1−

β(ω)

3

При этом диэлектрическая проницаемость ε(ω)=1+ 4πα(ω) равна

8π~

1+

3

β(ω)

ε(ω)=

.

(2.10)

4π~

1−

β(ω)

3

В свою очередь выражение (2.10) определяет зависимость

средней поляризуемости от ε(ω) и N в виде

β(ω)=

3

ε−1

=

3

n2 −1

,

(2.11)

4πN ε+ 2

4πN n2 + 2

где в соответствии с соотношением Максвелла ε = n2 .

По удивительному совпадению соотношение (2.11) было получено независимо и практически одновременно двумя учеными с

почти	идентичными			фамилиями,	голландским		физиком
Х.А. Лорентцом			(H.A. Lorentz) и датским физиком				Л. Лоренцем
(L. Lorenz),		и	поэтому	называется формулой Лорентца-Лоренца.
Заменив	в	выражении		(2.11) величину	β(ω)	определяющим ее

выражением, находим зависимость показателя преломления от частоты ω в явном виде:

	n2 −1	=	4π			Ne2	.	(2.12)
	n2 + 2		3m ω2			−ω2 −iωγ
			0

До сих пор предполагалось, что имеется лишь одна резонансная частота. В общем случае существует много таких частот даже в системе, состоящей из молекул одного сорта. При этом уравнение (2.12) следует записать в виде:

n2 −1

=

4π

Nβ(ω)=

4π

N

e2

∑

fk

,

(2.13)

n

2

+ 2

3

3

m

2 2

k

ω −ω −iωγ

ок

17

где Nfk – число электронов для соответствующей резонансной частоты ωk . При частотах, далеких от собственной частоты ωок

осцилляторов, где выполняется условие	ωγ <<	ω2	−ω2	, мнимой
		ок

частью в выражении (2.13) можно пренебречь. В результате получаем

n2

−1 =

4πNβ(ω)

,

(2.14)

1− 4 πNβ

(ω)

3

Ne2

fk

ρk

e2

где

4πNβ(ω)=

∑

= ∑

. Здесь

ρk = N

fk ;

πm

2

2

2

2

k

νок −ν

k νок −ν

πm

νок

= ωок =

c

;

ν =

ω

=

c

. Показатель преломления газа близок к

2π

2π

λок

λ

единице. При этом

n2

−1 ≈ 4πNβ(ω).

(2.15)

Выражение (2.15) удобно представить в виде:

n2

−1 ≈ ∑

ρk

= ∑

ρ2k

λk2λ2

,

(2.16)

2

2

2 2

k νок −ν

k

с λ −λk

Отсюда следует, что при ν < νok чем больше частота ν, тем больше

показатель преломления. Такую зависимость показателя преломления среды от частоты световых колебаний принято называть нормальной дисперсией.

Используя тождество

λ2

=1+

λ2

, соотношение (2.16)

k

λ2 −λ2

λ2 −λ2

k

k

можно преобразовать к виду:

n2 −1 = a + ∑

bk

,

(2.17)

λ

2

2

k

−λk

где a =

1

∑ρk λk2 ,

b =

1

ρk λk4 .

2

2

с

k

с

В случае веществ с большой плотностью, т.е. для жидкостей или твердых тел, показатель преломления определяется формулой (2.14).

Величина n2 −1, определяемая этой формулой, представляет

собой дробно-рациональную функцию вида: n2 −1 = P(ν2 ) , которую

Q(ν2 )

можно разложить на элементарные дроби. Для этого следует найти значения ν2 , при которых знаменатель формулы (2.14) обращается в

18

ноль, т.е. надо найти корни уравнения 3 −4πNβ(ω)= 3 −∑		ρk		.
	2		2
k νok −ν

Обозначив корни уравнения через νk2 , уравнение (2.14) можно преобразовать к виду [4]:

n2 −1 = ∑		ρk		(2.18)
	2		2
k νок −ν

Уравнение в форме (2.18) известно как дисперсионная формула Зельмейера.

Для представления показателя преломления во всей видимой области спектра обычно достаточно учесть лишь одну или две резонансные частоты в ультрафиолетовой области. Например, при учете лишь одной резонансной частоты ν1 она будет корнем

уравнения

3 −

ρ1

= 0. Отсюда следует, что ν2

= ν2

−

1

ρ ,

ρ = ρ .

ν2 −ν2

3

1

1

1

1 1

1

Известна эмпирическая формула Коши, определяющая

показатель преломления твердой прозрачной среды:

n = A +

B

+

C

.

(2.19)

λ2

λ4

Для практических расчетов более удобной оказалась формула Корню:

n = n +

C

,

0

λ −λ0

где n , C и λ0

– постоянные величины. Гартман усложнил формулу

Корню, придав ей вид:

n = n0 +

C

.

(2.20)

(λ − λ0 )α

В общем случае выражение (2.18) можно представить рядом вида:

2

′ 2

B

C

n

−1

=

A − B λ −K+

+

+K.

(2.21)

2

4

λ

λ

Вид

формулы (2.21)

служит обоснованием

аппроксимации

зависимости показателя преломления прозрачных сред от длины волны света λ конечным степенным рядом. В каталоге оптического стекла СССР–ГДР [47] приведены константы от A1 до A6

дисперсионной формулы

n2 = A1 + A2λ2 + A3λ−2 + A4λ−4 + A5λ−6 + A6λ−8 ,

которая позволяет рассчитать показатели преломления оптического стекла для любых длин волн в диапазоне от 365,0 нм до 1013,9 нм с погрешностью ±1 10−5 .

19

3. СТЕКЛО

3.1.Что такое стекло?

Гай Плиний Старший, знаменитый философ и историк античного

мира, живший в I веке после Р.Х., описывает такой случай. Однажды, в очень давние времена, финикийские купцы везли по Средиземному морю груз добытой в Африке природной соды. На ночлег они высадились на песчаном берегу и стали готовить себе пищу. За неимением под рукой камней, они обложили костер большими кусками соды. Поутру, разгребая золу, купцы обнаружили чудесный слиток, который был тверд, как камень, горел огнем на солнце и был чист и прозрачен как вода. Это было стекло.

До сих пор нет достоверных сведений о том, каким именно путем возникло на земле стеклоделие. И, тем не менее, легенда, рассказанная Плинием, не содержит в себе ничего невероятного. Присутствие золы сгоревшего топлива, мелких известковых ракушек, обычно содержащихся в морском песке, и наличие ветра могли создать необходимые для варки стекла условия в отношении, как химического состава, так и возможности достижения на костре достаточно высокой температуры. Несомненно, то, что человек научился вырабатывать стекло – этот замечательный материал, сыгравший выдающуюся роль в развитии нашей культуры, – очень давно, несколько тысяч лет назад. Исключительное значение стекла в нашей жизни объясняется его замечательными свойствами, резко отличающими его от всех известных нам материалов.

Только стекло является носителем одновременно двух свойств, выраженных в предельно высокой степени, – прозрачности и химической устойчивости. В этом секрет «незаменимости» стекла как материала, почти во всех случаях его применения. Известно, что, несмотря на очень большую давность существования стеклоделия на земле, оконное стекло научились делать лишь к концу средневековья.

Каков же состав стекла?

Главной составной частью стекла, входящей в него в наибольшем количестве и определяющей все его типичные свойства, является кремнезем. Кремнезем представляет собой очень прочное химическое соединение одного атома кремния с двумя атомами кислорода. Насколько велико значение этого соединения в природе, можно судить по тому, что оно составляет около 60 % земной коры. Природные или искусственные вещества, в состав которых входит кремнезем, называются силикатами. Помимо горных пород, к ним

20