2014_ivleva

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Пусть A матрица квадратичной формы в старом ортонормированном базисе E. Нам необходимо подобрать такую смену базиса, чтобы в новом (тоже обязательно ортонормированном) базисе E0 матрица квадратичной формы стала диагональной, т. е. надо подобрать такую невырожденную матрицу S = TE0!E, чтобы

0 d1		0		0		1
STAS = D = B	0	d2		0		C	:	(9.3)
B	0	0	... .			C
B						C
B						C
B	0		0	d	n	C
B						C
@						A

Рассмотрим в пространстве En линейный оператор ' такой, что [']E = = A. Поскольку матрица A симметрична (как матрица квадратичной формы), оператор ' является самосопряженным. Следовательно, для

этого оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов ', который мы обозначим E0. Как нам известно, в базисе из

собственных векторов матрица линейного оператора принимает диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные значения опера-

òîðà, ò. å. äëÿ S = TE0!E

0			1
1		0	C	:
S 1AS = B . ...		.
B			C
B			C
@			A
0		n

(Заметим, что в качестве S мы взяли матрицу обратного перехода от E0 ê E, поэтому формула преобразования матрицы выглядит таким об-

разом5.) Эта формула очень похожа на ту, которую мы хотели бы получить. Единственная разница в том, что в нашей формуле стоит S 1,

à â (9.3) ST. Но заметим, что S матрица перехода от ортонорми-

рованного базиса к ортонормированному, и, следовательно (см. пример 4 на стр. 138), является ортогональной. Поскольку для ортогональной матрицы ST = S 1, мы получили то, что хотели.

Таким образом, для приведения квадратичной формы к каноническому виду и нахождения канонического базиса имеем следующий алгоритм.

1.Записать матрицу A данной квадратичной формы .

2.Найти собственные числа соответствующего самосопряженного оператора ', т. е. решить характеристическое уравнение jA Ej = 0. Пусть

5Сравните с формулой (7.2).

151

1; : : : ; n собственные числа. Тогда канонический вид квадратичной формы будет следующий:

(x01; : : : ; x0n) = 1(x01)2 + + n(x0n)2:

3. Найти собственные векторы оператора '. Пусть это векторы a1; : : : ;

an. Если все корни характеристического уравнения простые, то эти век-

торы образуют ортогональный базис в силу свойств самосопряженного оператора. Если есть кратные корни, то для собственных векторов, соответствующих одному собственному значению, потребуется провести процесс ортогонализации.

4. Из полученного ортогонального базиса сделать ортонормирован- íûé: ei =: kaik. Это и будет искомый канонический базис.

ai

Пример 4. Найти канонический вид и канонический базис для квадратичной формы

(x; y) = 5x2 + 4xy + 8y2:

Решение

(x; y) = 5x2 + 2xy + 2yx + 8y2; A =	0 5		2 1
	@	2	8	A

матрица квадратичной формы : Найдем ее собственные числа.

		2 8
	5	2				= 0; 1	= 4; 2 = 9:

Канонический вид (x0; y0) = 4x02 + 9y02.

Найдем теперь канонический базис, в котором принимает канони- ческий вид. Для этого ищем собственные векторы:

8

< (5 4)x + 2y = 0;

1 = 4 : : 2x + (8 4)y = 0; x = 2y;

a1 = (2; 1) собственный вектор для 1;

8

< (5 9)x + 2y = 0;

2 = 9 : : 2x + (8 9)y = 0; 2x = y;

a2 = (1; 2) собственный вектор для 2:

152

Нормируем собственные векторы, чтобы получить ортонормированный базис

2

;

1

! ;

2 =

1

;

2

! :

1 =

a1

=

a2

=

e

e

j

a1

j

p5

p5

j

a2

j

p5

p5

В этом базисе квадратичная форма принимает канонический вид.

Пример 5. Построить линию

5

x2

+ 4xy + 8y2

36 = 0.

Решение. (x; y) = 5x

2

2

+ 4xy + 8y

6y

y0

квадратичная форма. Ее канонический

вид (см. пример 4): (x0; y0) = 4x02 +9y02. HHH

HHHH

Îñü Ox0 имеет направление вектора

e

1;

îñü Oy0

e2

-

e

2. Â

HH

имеет направление вектора

системе координат x0y0

уравнение кривой

HHjH

x

e1HH

принимает канонический вид уравнения

HHH

эллипса

HjH

x0

x02

y02

+

= 1:

3

2

2

2

Пример 6. Привести уравнение кривой к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования, указать канонический базис, построить кривую в первоначальной системе координат:

6xy + 8y2 12x 26y + 29 = 0:

Решение

0 1

1. Составляем матрицу квадратичной формы: A = @0 3A.

3 8

2. Составляем характеристический многочлен и находим собственные числа:

2 8 9 = 0; 1 = 9; 2 = 1:

3. Находим собственные векторы:

1 = 9:	0 9 3			01	03		1		01	; x2 = 3x1;		1 = (1; 3):
											a
	3	1		0		0	0		0
	@			A	@				A

2	=		1:	01	3	01	01		3	01	; x1 =		3x2;		2	= ( 3; 1):
														a
				3	9	0		0	0	0
				@		A	@			A

4.Нормируем собственные векторы для нахождения ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический

âèä

1 =

1

1 =

1

;

3

! ;

2 =

1

2 =

3

;

1

! :

e

a

e

a

j

a

1j

p10

p10

j

a

2j

p10

p10

153

5. Составляем матрицу перехода от базиса (e1; e2) к базису (i; j):

01

	1			3
Q = B	p					p				C
		10					10				:
	3			1
B										C
B				p						C
Bp										C
B										C
@										A
	10			10

Легко убедиться в том, что матрица Q ортогональна, так как

0

1

3

1 0

1

3

1

Q QT =

B

p

10

p

10

C B

p

10

p

10

C

= 01

01 :

B

C B

C

0

1

B

C B

C

@

A

B

p

p

C B

p

p

C

B

10

10

C B

10

10C

@

A @

A

6. Делаем преобразование переменных с помощью матрицы Q:

	0	1		3					1
0x1 =	B	p			p				C	0x01 ;
			10				10
y	B								C	y0	A
@ A	B								C	@
	B	p		p					C
	B	10		10					C
	@								A

откуда

8x =	1		x0		3		y0;
>	p10			p10
>
>	3			1
>
>
<				+ p10y0:
>y = p10x0
>

>

>

>

:

Это и есть ортогональное преобразование переменных, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

7. Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

6

1

x0

3

y0!

3

x0 +

1

y0! + 8

3

x0 +

1

y0

!2

p10

p10

p10

p10

p10

p10

12

1

x0

3

y0!

26

3

x0 +

1

y0! + 29 =

p10

p10

p10

p10

x02

y02

90 x0

p

y0

= 9

p

+ 10

+ 29 =

10

= 9 x02

p

x0

5

5

!

y02

p

y0 +

5

5

! + 29 =

10

+

10

2

2

2 2

= 9 0x0

p

12

0y0

p

12 + 9 = 0:

10

10

2

@

A @

2

A

154

Приводим к каноническому виду:

0x0			q			12		0y0	q			12
				10							10
	@					A	+	@				A
			2							2			= 1:
		1							9

Получилась гипербола, пересекающая ось Oy0.

8. Строим кривую в первоначальной системе координат. Новые оси Ox0

è Oy0 определяются векторами						1	è		2
					e			e
	p									. В этих осях происходит сдвиг
íà		10									Ox0 и в положитель-
		2 в положительном направлении по оси

ном направлении по оси Oy0. Канонические оси обозначены буквами

x00 è y00.

y 6

x00

x0

Pi y00

PPP

PPP

y0

PPP

PiPPPPP

PPP

PPPPPP

PPPP

PPP

PPPP

PP

PP

P

P

PP

PP

-

PP

PPP

P

x

PP

PP

P

9.4.Задачи

1.Найдите канонический вид и канонический базис квадратичной формы:

à) 3x21 + 4x22 + 2x23 + 4x1x2 4x1x3;

á) 3x21 + 8x22 + 7x23 4x1x2 8x1x3 + 12x2x3; â) x21 + 7x22 + x23 + 8x1x2 16x1x3 + 8x2x3.

2. Напишите канонические уравнения кривых второго порядка. Найдите канонические системы координат. Постройте кривые:

à) 9x2 4xy + 6y2 + 16x 8y 2 = 0;

155

á) x2 2xy + y2 10x 6y + 25 = 0; â) 5x2 + 12xy 22x 12y 19 = 0; ã) 4x2 + 4xy + y2 + 6x + 3y 4 = 0.

3. Приведите уравнения кривых к каноническому базису и постройте их в первоначальной системе координат:

à) 5x2 + 4xy + 8y2 32x 56y + 80 = 0;

á) 7x2 + 16xy 23y2 14x 16y 218 = 0; â) x2 + 2xy + y2 + 3x + y = 0;

ã) 25x2 14xy + 25y2 + 64x 64y 224 = 0; ä) 9x2 + 24xy + 16y2 40x + 30y = 0;

å) 3x2 + 10xy + 3y2 2x 14y 13 = 0.

4. Напишите канонические уравнения поверхностей второго порядка, определите их тип, найдите канонические системы координат:

à) 7x2 + 6y2 + 5z2 4xy 4yz 6x 24y + 18z + 30 = 0;

á) 2x2 7y2 4z2 + 4xy + 20yz 16xz + 60x 12y + 12z 90 = 0; â) 2x2 + 2y2 5z2 + 2xy 2x 4y 4z + 2 = 0.

5. Опишите множество точек D пространства V3 таких, что объем тетраэдра из задачи 10 на с. 68 равен 5 (без ограничения D 2 Oy).

Ответы

К главе 1 1.1

1.à) A = f1; 2; 3; 4g; á) B = f 2; 1; 0; 1; 2g; â) A [ B = f 2; : : : ; 4g; ã) A \ B = f1; 2g; ä) A n B = f3; 4g; å) B n A = f 2; 1; 0g.

2.à) A[B = ( 1; 4); á) A\B = [1; 2]; â) AnB = ( 1; 1); ã) BnA = (2; 4).

3.	y				y
	6				6
	@
	@
	@				O
	@	-		1		-
	@	x				x
	O@			2
		@
		@

4.A B = f(1; a); (1; b); (2; a); (2; b); (4; a); (4; b)g.

5.A = f 3; 2; : : : ; 5g; A \ B = f 2; 0; 2; 4g; A \ C = f 3; 1; 1; 3; 5g;

B [ C = Z; B \ C = ;.

7.

à) ;; f1g; ff3gg; ff1; 2gg; ff1; 2g; f3gg; ff1; 2g; 1g; ff3g; 1g; ff1; 2g; f3g; 1g;

á) ;; ff1gg; ff2gg; f1g; f2g; ff1g; f2gg; ff1g; 1g; ff1g; 2g; f1; 2g,

ff1g; f2g; 1; 2g.

1.2

3

1.

à) {:; á) 2 +

{:; â) 5 + {:; ã) 85; ä) 21 220{:.

2

{:

; á)

:

2 {:; â)

0{:; ã)

:p

3 {:;

2.

à)

2 = 2e

4 = 4e

1

3 = 2e

3{ = 3e

{

:

:.

p3

{

5

:

:

ä)

+

= e

6

{; å) { = e 2

{

2

2

p

p

p

à)

1

3

:; á)

:; â)

1

:

3

{

3.

2

2

2 .

+ 2 {

2 3 + 2{

4.

à)

p

p

:; á)

60; â)

; ã)

8

:p

.

8192 2 + 8192

{

2

1024

2 ( 1 + 3

{

3)

2

à)(2 + p

(8 + 4p

2 + p

0

p

+

p

{:1. 6. à) 1;

27

2

2

5.

2)16; á)

3)6; â)

3

p

q

@

2

2

A

{:; â)

2p

2{:; ä) p4

{: sin

!,

1

3

{:; ã) 4{;:

cos

á) 1;

1;

3

2

2

2

8

8

p4

!; å) 1

p

+ 1

1

{:;

{: sin

{:;

{:; æ)

3

{:;

2

cos

+

1

+

8

8

2

2

p

:p

p

ç)

:

:; è)

1 + { 3

1 i 3

2

2 .

3 + {;

2{

1;

;

157

																			6y																									6y																								y
																																																																				6
7. )																																-x																	-x
																															3 )													2				3			²)																	-
		y																																		y																									y							x
		6																																		6																									6
																													-			)											z0								)
J)																																																													2
																													x
																																				-																	1
																																																					-
																																															x
																																																																					x

8.à) n = 4k; á) n = 2(2k + 1); â) n = 2k + 1.

9.à) 23; 16; á) 24; 17.

:p3 0; 1; {:.10. à) 0; 1; 1 {

2 2 ; á)

12. à) íåò; á) äà; â) äà; ã) äà; ä) íåò; å) íåò; æ) íåò.

1.3

1.à) f1 2{:g; á) 2 + {:; 3 + {:g; â) f1; 3; 1 2{:g; ã) fp2 1 p2{:; p2 1 p2{:g; ä) f2{:; p5{:g.

2.à) (x2 + 1)(x + 1)(x 1) = (x + {:)(x {:)(x + 1)(x 1);

á)

2

2

+ 2x + 5) = (x + 1

{:

{:

1

2

{:

{:

)

;

(x

+ 2x + 2)(x

)(2x + 1 +

)(x +

2

)(x + 1 + 2

â) (x2 + x + 1)2(x

1) =

0x +

1

{:

p3

1 0x +

1

+ {:

p3

1

(x

1);

ã)

2

2

@

2

2 A:

@

2

:

2 A

:

:

;

{

{

{

{

)

(x 2x+5)(x +8x+20) = (x

1 2 )(x

1+2:

)(x+4 2

)(x+4+2:

ä) (x2

p

x + 2)(x2 + p

x + 2) = 0x

p2 + {p6

1 0x

p2 {p6

1

2

2

:

:

@

2

A @

2

A

0x +

p2 {p6

1 0x +

p2 + {p6

1;

@

2

A @

2

A

å) (x2

3x+3)(x2+3x+3) = 0x

3

p

3

{:1 0x +

3

+

p

3

{:1 0x

3

+

p

3

{:1

2

2

p

@

A @

2

2

A @

2

2

A

0x +

3

3

{:1;

@

2

2

A

2

:

:

;

æ)

(x

{

{

1)(x + 3)(x 4x + 13) = (x 1)(x + 3)(x 2 3 )(x 2 + 3 )

ç)

(x + 2)(x + 3)(x 5)(x + 1

p

p

;

2)(x + 1 +

2)

è) (x 3)2(x + 3)(x 6)(2x2 + 4x + 17) = (x 3)2(x + 3)(x 6)

0x + 1

p

{:1 0x + 1 +

q

30

{:1.

30

2

@

:

:

2

A

:

:

3

2

3.

4

{

A @

{

{

{;

à)

x

(2 +

)x + (2

1)x + (2 +

)x 2

158

á)

x

4

{:

)x

3

{:

)x

2

{:

)x + 7

{:.

(6

+ (14 3

(16 3

4.

à) x6 4x5 + 3x4 + 8x3 9x2 4x + 5;

á) x6 4x5 + 7x4 :

8x3 + 11x2

: 4x + 5.

:

:

!;

5.

à)

1

1 + {

{:

+

1 {

{:

+

1 + {{:

+

1 {{:

16 z

1

z

1 +

z + 1

z + 1 +

á)

1

{:

+

1

{:

+

1

{:

+

1

{:

.

x +

x

x + 2

x 2

!; á)

6.

à)

1

x + 2

x 2

1

+

x + 1

8

x

2

+ 2x + 2

x

2

x + 1

2

2x + 2

x + 1

7.à) P [x] = (x + 3)(2x4 6x3 + 13x2 39x + 109) 327; P [x0] = 327; á) P [x] = (x + 2)(x3 5x2 + 2) + 1; P [x0] = 1;

â) P [x] = (x 1)(x4 + 2x + 6) + 4; P [x0] = 4;

ã) P [x] = (x 2)(x5 3x4 6x3 11x2 22x 42) 92; P [x0[= 92.

8.à) 3; á) 2; â) 3; ã) 5.

Êглаве 2

2.1

2.	à) 18; á) (a b)2; â) 64; ã) 70; ä) 45; å) abcd; æ) b4 + c4 + d4 2b2c2
2b2d2 2c2d2; ç) 65; è) 301. 3.								à) 1; á) ( 1)n+1n. 4. à) 0; 1; 2; á) 1; 2.
								2.2
1.	à) (2; 1); á) (3; 1; 1); â)(1; 3; 5); ã) (1; 2; 3); д) метод Крамера непри-
								3		1
меним к данной системе; е) (2; 3;										;		); æ) (1; 1; 1); ç) (1; 1; 1;				1).
									2		2
2.	à)	x	2	; á)	x	2	2x + 5	. 3. à)				p			6= 0;	.
													; á)
				+ 3x + 4						6= 0; 6=			2			6= 2

2.3

1. (A C)1 1; (A D)1 2; (A E)1 3; (C A)3 3; (C B)3 2; (E C)3 1; (E D)3 2; (E E = E2)3 3.

	0	6	3	1; á) (20); â)	0	6	11		1	1	; ã)	0 13		32	21		1
2. à)		10	7			5		8	2			B 17		44	28		C;
	@			A	@					A		B	19	8		21C
												B					C
												@					A

01

B

11

85

0

1

01

0

1

0275

792

1

ä)

43

101

; å)

; æ)

6

14

2

; ç)

;

42

C

B

0

1

10

19

B

210

604

C

B

50 C

C

17

6

B

C

B

1 0C

@

A

B

12C

B

C

B

C

B

C

B

30 10 C

@

A

@

A

B

C

@

A

01

01

09

0

01

4

è)

B0 9 0C; ê)

B0 1 0C.

B0

0

9C

B1 4 0C

B

C

B

C

@

A

@

A

4.

AB = BA: 8.

à) 2; á) 2; â) 4; ã) 2; ä) 3; å) 3.

9.

à) 2; á) 3.

159

2.4

				1							4			2				; á)			cos					sin		; â)			1			0	8	29		11			1
1.	à)						0										1			0							1							B	6	17			13		C		;
				2											1							sin									38
							@										A @										A							B	6 2					6	C
																																		B							C
				0 1 2													1							0 4 8 4 1										@			0				A			1
	1														2								1															3 3 1
ã)					B		2 1 2 C;													ä)				B		1 9 6						C;			å)		B	3 5 2						C.
	9																						4
					B		2					2 1					C							B		1	3			2		C					B	1				2 1		C
					B												C							B								C					B							C
				@													A							@								A					@							A
2. à)			0					1					1	1		; á) 0			6 4 5 1							1 2		1	; ã) 0					1 2 3 1 0 1 1 1 1											.
																		B	2 1 2				C		; â) 0		4					B		4 5 6			C	; ä)		B	1 2 3
			@				2				3			A					3 3 3							3		A						7 8 9							2 3 1			C
																		B					C			@						B					C B							C
																		B					C									B					C			B				C
																		@					A								@						A			@				A
3. à) ( 25; 19; 6); á) (2; 3); â) (1; 1; 2); ã) (1; 1; 1; 1).
7.	0		3197							1266							1.
	@		7385								992						A

К главе 3

3.1

1.à) c = a b; á) c = a b; â) c = b a.

2.à) a ? b; á) (a;cb) < 90 ; â) (a;cb) > 90 .

1

1

1

1

p

. 4.

.

3.

2(a + b);

2

(a b); 2( a + b);

2( a b)

jcj = 6 3

6.

à)

OA

= 2

OB

= 6

m;

n; AB = 6n 2m; BA = 6n + 2m; OM =

=

+ 3

; á)

OA

= 6

OB

= 4

m

n

m;

n; AB = 4n 6m; OM = 3m + 2n.

7.

à)

u

= 2

m

+

n

+ 3

p

; á)

u

= 3

m

+

n

2

p

.

3.2

1.

6= 1. 2. à) = 15; б) любое. 3.

f

1;

2;

3g, f

1;

2;

4g,

a

a

a

a

a

a

f

1;

3 ;

4g.

a

a

a

4.

à) (1; 1; 1); á) (1; 2; 3); â) (1; 1; 1); ã) ( 27; 9; 4).

8.

Когда все ненулевые векторы системы линейно независимы.

3.3

1.

0 = (cos ; cos ; cos ).

3. b = ( 48; 45; 36).

n

4.

j

j = 7. 5.

= 11

8

.

AB

CD

AB

AC

6. OM = (2; 2; 2).

7.

B(6; 4; 5), C(9; 6; 10),

CA

= ( 7; 1; 7). 8.

= 2

3

+

.

c

p

q

r

= 0

p

; 0; 01,

=

0

p

; 01,

= 0

p

;

1

; 01,

3

3

1

3

9.

OA

OB

;

OC

2

@ 3

A

@ 6

A

@ 6 2

A

v

01

u2 u

OS = @0; 0; t3A. p

10.10. 11. M1(6; 3), M2(7; 5).

160