ivan

40	Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА

трудах Г. Монжа. Но выделение проективных свойств геометрических объектов в отдельный класс и установление соответствий между метрическими и проективными свойствами этих объектов принадлежит Ж. Понселе. Он изложил проективную геометрию как самостоятельную дисциплину. Большую роль в развитии проективной геометрии сыграли работы французских математиков Ж. Брианшона, М. Шаля, швейцарского математика Я. Штейнера и немецкого математика К. Штаудта. Ученые стремились доказывать теоремы проективной геометрии синтетическим методом, положив в основу изложения проективные свойства геометрических фигур.

Обобщая научные труды отечественных и иностранных авторов, Н.А. Рынин в курсе «Начертательная геометрия: Методы изображения» излагает с позиции проективной геометрии все известные методы изображения: ортогональные и аксонометрические проекции, перспективу, тени, проекции с числовыми отметками и специальные проекции, применяемые в картографии и кристаллографии. Он считал, что если принять за основу проективные соответствия (коллинеарные преобразования), то теория изображения получит большую общность и стройность. Рынин Н.А. убедительно доказал, что «...для правильного и ясного изучения начертательной геометрии необходимо изучение аналитической и проективной геометрии, и в особенности второй, и что все эти три вида геометрии тесно связаны между собой» [26]. Как и многие другие разделы геометрии, он пытался не только использовать проективную геометрию как теоретическую основу графической геометрии, но и применить ее для решения конкретных прикладных инженерных задач. Так, на основе проективной геометрии он разрабатывает графические методы решения задач аэрофотосъемки. Особенно широко рассмотрены теоретические основы всех существующих видов перспективных проекций (перспектива линейная, панорамная, купольная, плафонная, воздухоплавательная, кабинетная, обратная, радиальная, а также перспектива на цилиндрических сводах и кривых поверхностях). Здесь же Н.А. Рынин впервые в отечественной литературе излагает теорию перспективных рельефных изображений и проецирования из нескольких центров (бицентральная перспектива и стереография).

Аналитическое направление в проективной геометрии было намечено и развито работами А. Мебиуса, Н.И. Лобачевского, Кэли и Ф. Клейна. Рассмотрению различных геометрических систем с точки зрения проективной геометрии посвящены работы А.Н. Колмогорова и Л.С. Понтрягина. Некоторые положения и факты проективной геометрии применяются в номографии, в

2.2. Свойства проективной геометрии

41

теории статистических решений, в квантовой теории поля и в конструировании печатных схем (через теорию графов).

Проективная геометрия изучает только проективные свойства образов (объектов), которые являются инвариантными для любого вида проецирования. Проективная геометрия отбрасывает все, что связано с длиной отрезка, величиной угла, перпендикулярностью и оперирует понятием принадлежности образов (объектов). Проективная геометрия дополняет евклидову геометрию, она не всегда понятна и трудна для восприятия, но именно она устанавливает связь между образами и их перспективными изображениями.

С точки зрения геометрии перспектива – способ изображения геометрических объектов, основанный на применении центрального проецирования.

Для получения изображения какого-либо предмета, например точек A, B, N, M (рис. 24), методом центрального проецирования проводят из выбранной точки пространства (центра проецирования S) лучи ко всем точкам данного предмета.

На пути лучей ставят ту поверхность, на которой желают получить изображение (например, плоскость). В пересечении проведенных лучей с плоскостью получают искомое изображение предмета (точки a, b, n, m).

S

A

B

b

N M a=n=m

Рис. 24. Центральная проекция

В приведенном примере проецируемый объект расположен между центром проецирования и плоскостью проекции, а получение перспективного изображения предполагает расположение проецируемого объекта за плоско-

42	Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА

стью проекции (рис. 25). В этом заключается сложность построение перспективы объектов для некоторых студентов, так как они имеют школьный опыт построения проекций.

A

Плоскость проекций

(картина)

B

M

A

N

M B

Проецируемый объект (прямоугольник)

N

Проецирующий луч

C	Центр проецирования	Перспектива
	(точка зрения)
		прямоугольника

Рис. 25. Перспектива прямоугольника

Параллельное проецирование, рассматриваемое как частный случай центрального проецирования, обладает такими же свойствами проективной геометрии, как и центральное. При параллельном проецировании нет обозначен-

			ного	центра проецирования		–
			предполагается, что он бесконечно
			удален. В связи с этим обязатель-
	B		но должно быть задано направле-
			ние	проецирования,	(вектор	S,
	A	b	рис. 26). Свойства, присущие лю-
	K		бому виду проецирования, явля-
			ются	инвариантными,	но нас	в
		M
			данном случае интересует пер-
			спектива, поэтому обозначим эти
	Рис. 26. Параллельное проецирование		свойства применительно к пер-
			спективе объекта.

2.2. Свойства проективной геометрии

43

Инвариантные свойства проецирования следующие.

1.Проекция (перспектива) точки есть точка.

2.Проекция (перспектива) прямой есть прямая линия, для ее получения прямой достаточно построить перспективу двух ее точек и соединить их.

3.Проекция (перспектива) отрезков прямых всегда меньше самих отрезков, т.е. меньше их натуральной величины.

4.Проекция (перспектива) горизонтальных прямых, параллельных предметной и картинной плоскостям, одновременно есть горизонтальные прямые, т.е. прямые, параллельные основанию картины.

5.Перспектива вертикальных прямых, параллельных картинной плоскости и одновременно перпендикулярных предметной плоскости, есть вертикальные прямые.

6.Перспектива прямых общего положения (не параллельных картине или предметной плоскости) есть прямые, составляющие некоторый угол, отличный от 90° с основанием картины.

7.Прямые общего положения делятся на восходящие и нисходящие. Точка схода перспектив нисходящих прямых ниже линии горизонта, а восходящих – выше. Прямые, не параллельные предметной плоскости, имеют точку схода выше или ниже линии горизонта в зависимости от того, повышаются или понижаются точки прямых над предметной плоскостью по мере их удаления от картинной плоскости. Точка схода таких наклонных к предметной плоскости, параллельных между собой прямых лежит на перпендикуляре, проведенном через точку схода проекции этих прямых на предметную плоскость.

8.Если параллельные между собой прямые линии параллельны картинной плоскости, то на картине эти прямые также параллельны между собой,

аих проекции на предметную плоскость параллельны основанию картины. В частности, прямые, перпендикулярные к предметной плоскости, изображаются в виде прямых, перпендикулярных к основанию картины. Если прямые параллельны в пространстве, то их перспективы проходят через общую точку, называемую точкой схода.

9.Точка принадлежит прямой, если ее проекция принадлежит проекции этой прямой.

10.Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

11.Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости.

44	Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА

2.2.1. Перспектива точки

Согласно свойству проективной геометрии перспектива точки есть точка. Пусть в предметной пространстве задана точка В′ и ее ортогональная проекция b′ на предметную плоскость (рис. 27).

	K	B
	B
	O1
C	b	b
	O2	H

O

а c

B

бK

	b
O1	O2	O

Рис 27. Перспектива точки, не принадлежащей предметной плоскости:

а – на проецирующем аппарате; б – на картинной плоскости

Рис. 28. Иллюстрация к рис. 27

2.2. Свойства проективной геометрии

45

Требуется построить перспективу точки В′. Проведем из точки зрения С луч в точки В′ и b′ и построим проекцию полученных прямых на предметную плоскость, получим прямую cb′. Заключим прямые СВ′ и cb′ в горизонтальнопроецирующую плоскость. Эта плоскость пересечет картинную плоскость по прямой, на которой и лежит перспектива точки В′ и перспектива ее проекции (основания) b′ . Для определения положения перспективы заданной точки найдем точки пересечения (В и b) полученной прямой ВO2 (линии пересечения плоскости СВ′b′c и K) и отрезков СВ и cb. Точка В является искомой точкой, т.е. перспективой точки В′, а точка b – перспективой проекции В на предметную плоскость точки b′ . Отдельно выполним перспективу заданной точки на картинной плоскости (рис 28, б). Для этого:

1)в произвольном месте чертежа выполним чертеж картины, размеры которой равны размерам на проецирующем аппарате;

2)обозначим основание картины O1O;

3)отложим от точки O расстояние, равное OO2 на проецирующем аппарате и отметим точку O2;

4)из точки O2 проведем прямую, перпендикулярную основанию картины

иотложим на ней расстояния O2 b и O2 B, равные расстояниям на проецирующем аппарате до соответствующих точек b и B;

5)обозначим точки b и B, оформляем чертеж.

Вдальнейшем изложении данного учебного пособия многие примеры выполнения перспективы приведены на проецирующем аппарате и отдельно на картине. Построение описывается только на проецирующем аппарате, чертеж на картине выполняется по приведенному алгоритму

(рис. 28, 30).

Рассмотрим частный случай, когда в предметной пространстве задана точка В′, принадлежащая предметной плоскости (рис. 29, 30). Это означа-

ет, что точка В′ и ее проекция b′ совпадают (B =b ). Проведем из точки зрения С луч в заданную точку В′ = b′. Найдем ортогональную проекцию полученной прямой СВ′ – отрезок cb′, а затем заключим эти прямые в плоскость, которая пересечет картинную плоскость по прямой линии. Далее находим точку пересечения полученной линии В O2 и прямой СВ′ . На картинной плоскости получится точка В – это перспектива точки В′ и ее проекции, т.е. B =b.

46	Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА

K

	O1	B= b
C
		B =b
		O2	H
		O
c
а			K
					B= b
		б
			O1	O2	O
Рис. 29. Перспектива точки, принадлежащей

предметной плоскости:

а – на проецирующем аппарате,

Рис. 30. Иллюстрация к рис. 29

2.2. Свойства проективной геометрии

47

2.2.2. Перспектива прямой

Перспектива прямой в общем случае есть прямая линия, для получения которой достаточно построить перспективу двух ее точек и соединить их.

Перспективу прямых линий можно построить, если представить плоскость, составленную из прямых, идущих из точки зрения С к каждой точке заданной прямой. Эта плоскость пересечется с картиной по прямой линии. Следовательно, перспектива прямой на картине есть прямая.

Перспективу прямой можно определить как совокупность точек пересечения с картинной плоскостью лучей зрения, проведенных к каждой точке данной прямой. Эти лучи зрения образуют лучевую плоскость. Из геометрии известно, что пересечение двух плоскостей осуществляется по прямой линии (рис. 31, а).

	h1	К
		Р
			1			1
						n
	О1	p
C					h
							H
			О2
				2
					n	2
				О3
c					О
а				K	Р		h
				h1
					1	2
							n
			б
				O1 p O2		O3	O

Рис. 31. Перспектива прямой, принадлежащей предметной плоскости:

а – на проецирующем аппарате; б – на картинной плоскости

48	Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ПЕРСПЕКТИВА

В частном случае, когда прямая совпадает с направлением проецирующего луча, ее перспективным изображением будет точка. Для изображения на картине отрезка прямой строят перспективу двух точек. Отрезок прямой, соединяющий найденные точки на картине, определит перспективу заданного отрезка.

Рассмотрим на проецирующем аппарате построение перспективы прямой линии n′, принадлежащей предметной плоскости (рис. 31).

На прямой заданного направления n′ отметим две точки (точку 1′ и точку 2′), построим перспективу прямолинейного отрезка 1′-2′. Для этого достаточно построить перспективу точек 1′ и 2′ аналогично рассмотренному выше примеру (рис. 29). Точки 1 и 2, полученные в результате пересечения соответствующих лучей С-1′ и С-2′ с линиями пересечения лучевых плоскостей и картинной плоскости, являются точками, принадлежащими перспективе заданной прямой. Соединим точки, получим отрезок 1-2 и продолжим его в обе стороны. Прямая n и является перспективой заданной прямой n′.

Для перспективы прямых линий частного положения, расположенных под прямым углом к плоскости картины или предметной плоскости, сохраняются свойства центрального проецирования.

Перспективой горизонтальных прямых, параллельных предметной и картинной плоскостям одновременно, являются прямые, параллельные основанию картины. На рис. 32 приведен пример построения перспективы двух параллельных горизонтальных прямых l′ и m′ при условии, что прямая m′ принадлежит предметной плоскости H.

Для построения перспективы прямых отметим на каждой из них по две точки: G и E на прямой l′, A и B на прямой m′ – соответственно. Далее строим перспективу выделенных точек по правилам проекционного построения, аналогично примеру на рис. 27. Получив перспективу точек G и E , A и B, соединим их и продолжим в обе стороны, данные прямые являются перспективными изображениями заданных прямых l′ и m′ (рис. 32, а). Обозначим их l и m соответственно и выполним чертеж на картинной плоскости (рис. 32, б). Полученные перспективы параллельны основанию картины, что очень хорошо видно на чертеже.

Перспективой вертикальных прямых, параллельных картинной плоскости и одновременно перпендикулярных предметной плоскости, являются прямые, перпендикулярные основанию картины. На рис. 33 даны две параллельные прямые l′ и m′, расположенные перпендикулярно предметной плоскости H. Для построения перспективы прямых отметим на каждой из них по две точки: A и a

2.2. Свойства проективной геометрии

49

	h1	К
		P				E
		l			H
		E					G
							l
				h	m	e
	О1	e	G
C						A =a
		A=a	g
					n
		p

	B=b		m
	О2					B = b
		О3
c				О
			h1		P		h
					l	E	G
а
						e	g
		б					m
					A=a		B=b
			О1				О
				p		О2	О3
Рис. 32.	горизонтальных прямых:
РисПерспективарспектива. 39.		горизонтальных прямых:

а – на–проецирующемнааппаппарате; б –, наб –картиннойна картиннойплоскплоскостисти

на прямой l′, b′ и B на прямой m′ соответственно, при условии, что a и b′ принадлежат предметной плоскости H . Далее строим перспективу выделенных точек по правилам проекционного построения, аналогично примеру, приведенному на рис. 32 . Получив перспективу точек A и a, b и B, соединим их соответственно, продолжим в обе стороны и получим прямые, которые являются перспективными изображениями заданных прямых l′ и m′. Обозначим их l и m и выполним чертеж на картинной плоскости (рис. 33, б). Полученные перспективы перпендикулярны основанию картины, что очень хорошо видно на чертеже.