Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

10-09-2014_08-01-44 / Problem book Mechanics, molecular physics and thermodynamics (2007)

.pdf
Скачиваний:
67
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
486.83 Кб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

53

№ 3307

М 55

 

МЕХАНИКА, МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Методические указания и сборник заданий

НОВОСИБИРСК

2007

УДК 531+539.19+536.7](07) М 55

Составители: О.В. Кибис, д-р физ.-мат. наук, проф. М.П. Сарина, канд. техн. наук, доц. Ю.В. Соколов, канд. техн. наук, доц.

Рецензент: А.В. Баранов, канд. физ.-мат. наук, доц.

Представленные в данном сборнике задачи по механике, термодинамике и молекулярной физике могут быть использованы в качестве материалов расчетно-графического задания, выдаваемого студентам 1-го курса дневного и заочного отделений НГТУ, факультетов РЭФ, ФТФ, ФЭН.

Работа подготовлена на кафедре прикладной и теоретической физики

© Новосибирский государственный технический университет, 2007

2

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1.Решения большинства задач следует начинать с выполнения чертежа, даже если вам кажется, что и без чертежа условия задачи понятны. На чертеже должны быть указаны все приведенные в задаче данные.

2.Численные величины, представленные в задаче, должны быть переведены в систему СИ, что позволит в процессе решения избежать численных ошибок.

3.Решение задач сначала следует проводить в аналитическом виде

итолько в полученное выражение подставлять численные значения.

4.Следует проверить размерность полученного в аналитическом виде ответа.

5.Полученные вами численные ответы следует проверить на «здравый смысл». Если скорость движения теннисного мяча окажется больше скорости света, а его масса окажется сравнима с массой Земли, то стоит еще раз проверить свое решение.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. Второй закон Ньютона в общем случае выражается формулой

RR

R

 

dP

 

d (mV )

R

F

=

 

=

 

= ma .

dt

dt

 

 

 

 

R

Если сила F постоянна по величине и действует в неизменном направлении, то изменение импульса тела за конечный промежуток времени ∆t равно

R R R R

P = F t = mV2 mV1 .

3

2. Сила, действующая на материальную точку, движущуюся по кривой, может быть разложена на две составляющие: тангенциальную (направленную по касательной к траектории) и нормальную (направленную по нормали к центру кривизны).

Тангенциальная сила

Fτ =maτ =m dV dt

или Fτ =mεR , где R – радиус кривизны траектории; ε – угловое уско-

рение.

Нормальная, или центростремительная, сила есть

Fn = man = mV 2 = mω2 R ,

R

где ω – угловая скорость.

3. Применение законов сохранения импульса и энергии к центральному соударению тел позволяет определить:

∙ работу деформации при абсолютно неупругом соударении как разность кинетической энергии тел до и после удара:

AT =(T1 +T2 )−T ,

где T1 и T2 – кинетические энергии тел до соударения, а T – общая кинетическая энергия тел после соударения;

∙ скорости тел после абсолютно упругого соударения:

U =

V1(m1 m2 )+2m2V2

, U

2

=

V2 (m2 m1)+2m1V1

,

 

 

1

m1

+m2

 

 

m1

+m2

 

 

 

 

 

 

где V1 и V2 – соответствующие скорости тел до соударения.

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. Момент импульса материальной точки относительно точки О:

 

LR = rR×mVR

, L =mVr sin α ,

 

 

 

 

 

 

 

R

– ра-

где m – масса материальной точки, V – ее линейная скорость; r

диус-вектор, проведенный из точки О к материальной точке; α –

угол

R

и r .

 

 

между векторами V

 

 

4

Момент импульса твердого тела относительно оси Z, совпадающей с его осью симметрии:

 

 

LZ = ωZ JZ ,

 

где

ωZ – угловая скорость

вращения тела

относительно оси Z, а

JZ

его момент инерции относительно этой оси.

 

2. Момент силы относительно точки О

 

 

R

R

α ,

 

M = rR×F , M = Fr sin

 

 

 

 

где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы; α – угол между вектором силы и радиус вектором r .

3. Момент инерции:

материальной точки J = mr2 ;

твердого тела J = r2dm ,

где r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

∙ для однородного стержня массой m и длиной l :

J =

1

ml2

относительно оси,

проходящей через центр стержня

 

 

12

 

 

 

 

перпендикулярно к нему;

 

J =

1

ml 2

относительно оси,

проходящей через конец стержня

 

3

 

 

 

 

 

перпендикулярно к нему;

∙ для тонкого кольца, обруча, трубы радиусом R и массой m:

J =mR2 – относительно оси, совпадающей с осью симметрии;

∙ для сплошного однородного цилиндра (диска) массой m и радиусом R:

J = 1 mR2 – относительно оси, совпадающей с осью симметрии; 2

∙ для однородного шара массой m и радиусом R:

J = 2 mR2 – относительно оси, проходящей через центр шара. 5

5

4. Теорема Штейнера:

J = J0 +ma2 ,

где J0 – момент инерции относительно оси, проходящей через центр

масс тела; J – момент инерции тела относительно произвольной оси, параллельной предыдущей; а – расстояние между осями; m – масса тела.

5. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно оси Z

M Z = JZ dω , dt

где МZ – момент действующих на тело сил относительно оси Z; dω – изменение угловой скорости тела за время dt; JZ – момент инерции тела относительно оси Z.

6. Закон сохранения момента импульса: ∙ в общем виде

 

 

 

R

=const ;

 

 

 

Li

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

∙ для двух тел

 

 

 

 

 

 

 

 

J ω + J

2

ω = J ′ω′

+ J

ω′

,

1

1

2

1

1

2

2

 

где J1, J2 , ω1, ω2 – моменты импульса и угловые скорости тел до взаи-

модействия; J ′, J

, ω′

, ω′

– те же величины после взаимодействия.

1

2

1

2

 

7. Работа постоянного момента сил, действующего на вращающееся тело:

A= M ϕ ,

где ϕ – угол поворота; М – момент сил.

8. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости:

 

 

T =

mV 2

+

J ω2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

где

mV 2

кинетическая энергия поступательного движения;

J ω2

 

 

2

 

 

 

 

2

 

кинетическая энергия вращательного движения.

6

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА

1. В направлении движения длина L тела, движущегося со скоростью V относительно некоторой системы отсчета, связана с длиной L0 тела, неподвижного в данной системе, соотношением

2

L=L0 1−V2 , c

где c – скорость света.

2. Промежуток времени Δτ в системе, движущейся со скоростью V по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени Δτ0 в неподвижной для наблюдателя системе соотношением

Δτ= Δτ0 .

1−V 2

c2

3. Полная энергия E тела массой m0, движущегося со скоростью V :

E =

m c2

.

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−

V 2

 

 

c2

 

 

 

 

 

Если тело покоится (V = 0), то его энергия – это энергия покоя E0:

E0 = m0c2 .

4. Релятивистский импульс

P = m0V .

1−V 2 c2

5. Соотношение полной энергии, импульса и массы тела представляется выражением

E2 p2c2 =m02c4 .

7

Сочетание E2 p2c2 при любых скоростях тела остается неизмен-

ным, поскольку равно m02c4 и называется инвариантом движения.

Легко запомнить связь между полной энергией, импульсом и энергией покоя с помощью прямоугольного треугольника (см. рисунок).

E

pc

m0c2

Рисунок к вопросу 5

По теореме Пифагора E 2 =(m0c2 )2 +( pc)2 .

6. Релятивистская кинетическая энергия тела – это разность между полной энергией тела и его энергией покоя:

 

T = E m c2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

1

 

 

 

T

m0c

 

 

 

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

V

2

 

 

 

1−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Связь между импульсом тела p, его массой m0 и кинетической энергией T задается соотношением

p =

1

 

T (T +2m c2

) .

 

 

c

0

 

 

 

 

 

8. Преобразования Лоренца. Инерциальная система K ′ движется относительно инерциальной системы K вдоль оси Х со скоростью V . Переход от одной системы отсчета к другой позволяет производить следующие соотношения:

K K ′ ; K ′→ K ;

8

 

 

 

x′=

 

xVt

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

1−

V 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′= y ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z′= z ;

t′=

1

 

 

 

 

Vx

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

;

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

2

 

1−

V

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=x′+Vt

x ;

1−V 2 c2

y = y′ ;

z = z′ ;

 

1

 

 

 

Vx

t =

 

 

 

 

 

t′+

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

2

 

1−

V

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.Интервал между событиями:

S12 = c2 (t2 t1 )2 ( x2 x1 )2 ( y2 y 1 )2 ( z2 z1 )2 = c2t122 l122 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где l

= ( x x

)2 +( y

2

y

)2 +( z

2

z

)2

– расстояние между точками

12

2

1

 

1

 

1

 

 

пространства;

t12 =(t2 t1 )

– промежуток времени между событиями.

Записанный в таком виде интервал инвариантен по отношению к преобразованиям от одной инерциальной системы к другой, т. е.

2

 

2

 

(S12 )

=(S12 )

.

 

 

10. Изменение массы системы на

m соответствует изменению

энергии системы

W =c2 m .

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

1. Давление идеального газа

P = 2 n Wk =nkT ,

3

где n – концентрация молекул; Wk – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы; T – температура газа.

9

2. Средняя кинетическая энергия поступательного и вращательного движения одной молекулы

Wi = i kT ,

2

где i – число степеней свободы молекулы. Это число равно 3 для одноатомных молекул (три поступательных степени свободы), 5 – для двухатомных (три поступательных степени свободы и две вращательных) и 6 для трех- и многоатомных молекул (без учета колебаний молекул).

3. Барометрическая формула, выражающая зависимость давления идеального газа от высоты h над поверхностью Земли, есть

 

 

μgh

 

 

m0 gh

 

P = P0 exp

 

= P0 exp

 

 

,

 

 

 

RT

 

 

kT

 

где P0 – давление на высоте h =0 ;

μ – молярная масса; m0 масса од-

ной молекулы.

 

 

 

 

 

 

 

4.Распределение Больцмана (распределение концентрации молекул

всиловом поле):

n =n exp

 

WP

 

=n

exp

 

m0 gh

 

,

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

kT

 

где WP – потенциальная энергия в точке пространства, где концентра-

ция молекул газа равна n . 5. Скорости молекул:

V =

 

 

3KT

=

 

 

 

3RT

средняя квадратичная;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ

кв

 

 

m0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V =

8KT

=

 

8RT

 

– средняя арифметическая;

 

 

πμ

 

 

πm0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V =

 

2KT

=

 

2RT

наивероятнейшая.

 

 

 

 

μ

В

 

 

m0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10