10-09-2014_08-01-44 / Problem book Mechanics, molecular physics and thermodynamics (2007)
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
53 |
№ 3307 |
М 55 |
|
МЕХАНИКА, МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Методические указания и сборник заданий
НОВОСИБИРСК
2007
УДК 531+539.19+536.7](07) М 55
Составители: О.В. Кибис, д-р физ.-мат. наук, проф. М.П. Сарина, канд. техн. наук, доц. Ю.В. Соколов, канд. техн. наук, доц.
Рецензент: А.В. Баранов, канд. физ.-мат. наук, доц.
Представленные в данном сборнике задачи по механике, термодинамике и молекулярной физике могут быть использованы в качестве материалов расчетно-графического задания, выдаваемого студентам 1-го курса дневного и заочного отделений НГТУ, факультетов РЭФ, ФТФ, ФЭН.
Работа подготовлена на кафедре прикладной и теоретической физики
© Новосибирский государственный технический университет, 2007
2
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
1.Решения большинства задач следует начинать с выполнения чертежа, даже если вам кажется, что и без чертежа условия задачи понятны. На чертеже должны быть указаны все приведенные в задаче данные.
2.Численные величины, представленные в задаче, должны быть переведены в систему СИ, что позволит в процессе решения избежать численных ошибок.
3.Решение задач сначала следует проводить в аналитическом виде
итолько в полученное выражение подставлять численные значения.
4.Следует проверить размерность полученного в аналитическом виде ответа.
5.Полученные вами численные ответы следует проверить на «здравый смысл». Если скорость движения теннисного мяча окажется больше скорости света, а его масса окажется сравнима с массой Земли, то стоит еще раз проверить свое решение.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
1. Второй закон Ньютона в общем случае выражается формулой
RR
R |
|
dP |
|
d (mV ) |
R |
|
F |
= |
|
= |
|
= ma . |
|
dt |
dt |
|||||
|
|
|
|
R
Если сила F постоянна по величине и действует в неизменном направлении, то изменение импульса тела за конечный промежуток времени ∆t равно
R R R R
P = F t = mV2 −mV1 .
3
2. Сила, действующая на материальную точку, движущуюся по кривой, может быть разложена на две составляющие: тангенциальную (направленную по касательной к траектории) и нормальную (направленную по нормали к центру кривизны).
Тангенциальная сила
Fτ =maτ =m dV dt
или Fτ =mεR , где R – радиус кривизны траектории; ε – угловое уско-
рение.
Нормальная, или центростремительная, сила есть
Fn = man = mV 2 = mω2 R ,
R
где ω – угловая скорость.
3. Применение законов сохранения импульса и энергии к центральному соударению тел позволяет определить:
∙ работу деформации при абсолютно неупругом соударении как разность кинетической энергии тел до и после удара:
A=ΔT =(T1 +T2 )−T ,
где T1 и T2 – кинетические энергии тел до соударения, а T – общая кинетическая энергия тел после соударения;
∙ скорости тел после абсолютно упругого соударения:
U = |
V1(m1 −m2 )+2m2V2 |
, U |
2 |
= |
V2 (m2 −m1)+2m1V1 |
, |
||
|
|
|||||||
1 |
m1 |
+m2 |
|
|
m1 |
+m2 |
|
|
|
|
|
|
|
где V1 и V2 – соответствующие скорости тел до соударения.
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
1. Момент импульса материальной точки относительно точки О:
|
LR = rR×mVR |
, L =mVr sin α , |
|
|
|
|
|
|
|
R |
– ра- |
где m – масса материальной точки, V – ее линейная скорость; r |
|||
диус-вектор, проведенный из точки О к материальной точке; α – |
угол |
||
R |
и r . |
|
|
между векторами V |
|
|
4
Момент импульса твердого тела относительно оси Z, совпадающей с его осью симметрии:
|
|
LZ = ωZ JZ , |
|
где |
ωZ – угловая скорость |
вращения тела |
относительно оси Z, а |
JZ – |
его момент инерции относительно этой оси. |
||
|
2. Момент силы относительно точки О |
|
|
|
R |
R |
α , |
|
M = rR×F , M = Fr sin |
||
|
|
|
|
где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы; α – угол между вектором силы и радиус вектором r .
3. Момент инерции:
∙материальной точки J = mr2 ;
∙твердого тела J = ∫ r2dm ,
где r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.
Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:
∙ для однородного стержня массой m и длиной l :
J = |
1 |
ml2 |
– |
относительно оси, |
проходящей через центр стержня |
|
|
|
|||||
12 |
|
|
|
|
||
перпендикулярно к нему; |
|
|||||
J = |
1 |
ml 2 |
– |
относительно оси, |
проходящей через конец стержня |
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
перпендикулярно к нему;
∙ для тонкого кольца, обруча, трубы радиусом R и массой m:
J =mR2 – относительно оси, совпадающей с осью симметрии;
∙ для сплошного однородного цилиндра (диска) массой m и радиусом R:
J = 1 mR2 – относительно оси, совпадающей с осью симметрии; 2
∙ для однородного шара массой m и радиусом R:
J = 2 mR2 – относительно оси, проходящей через центр шара. 5
5
4. Теорема Штейнера:
J = J0 +ma2 ,
где J0 – момент инерции относительно оси, проходящей через центр
масс тела; J – момент инерции тела относительно произвольной оси, параллельной предыдущей; а – расстояние между осями; m – масса тела.
5. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно оси Z
M Z = JZ dω , dt
где МZ – момент действующих на тело сил относительно оси Z; dω – изменение угловой скорости тела за время dt; JZ – момент инерции тела относительно оси Z.
6. Закон сохранения момента импульса: ∙ в общем виде
|
|
|
R |
=const ; |
|
|
||
|
∑ Li |
|
|
|||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
∙ для двух тел |
|
|
|
|
|
|
|
|
J ω + J |
2 |
ω = J ′ω′ |
+ J ′ |
ω′ |
, |
|||
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
где J1, J2 , ω1, ω2 – моменты импульса и угловые скорости тел до взаи-
модействия; J ′, J ′ |
, ω′ |
, ω′ |
– те же величины после взаимодействия. |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
7. Работа постоянного момента сил, действующего на вращающееся тело:
A= M ϕ ,
где ϕ – угол поворота; М – момент сил.
8. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости:
|
|
T = |
mV 2 |
+ |
J ω2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||
где |
mV 2 |
– кинетическая энергия поступательного движения; |
J ω2 |
– |
||||
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
кинетическая энергия вращательного движения.
6
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
1. В направлении движения длина L тела, движущегося со скоростью V относительно некоторой системы отсчета, связана с длиной L0 тела, неподвижного в данной системе, соотношением
2
L=L0 1−V2 , c
где c – скорость света.
2. Промежуток времени Δτ в системе, движущейся со скоростью V по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени Δτ0 в неподвижной для наблюдателя системе соотношением
Δτ= Δτ0 .
1−V 2
c2
3. Полная энергия E тела массой m0, движущегося со скоростью V :
E = |
m c2 |
. |
||
0 |
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1− |
V 2 |
|
|
|
c2 |
|
||
|
|
|
|
Если тело покоится (V = 0), то его энергия – это энергия покоя E0:
E0 = m0c2 .
4. Релятивистский импульс
P = m0V .
1−V 2 c2
5. Соотношение полной энергии, импульса и массы тела представляется выражением
E2 − p2c2 =m02c4 .
7
Сочетание E2 − p2c2 при любых скоростях тела остается неизмен-
ным, поскольку равно m02c4 и называется инвариантом движения.
Легко запомнить связь между полной энергией, импульсом и энергией покоя с помощью прямоугольного треугольника (см. рисунок).
E
pc
m0c2
Рисунок к вопросу 5
По теореме Пифагора E 2 =(m0c2 )2 +( pc)2 .
6. Релятивистская кинетическая энергия тела – это разность между полной энергией тела и его энергией покоя:
|
T = E −m c2 |
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
1 |
|
|
|
− |
||
T |
m0c |
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
V |
2 |
|
||||
|
|
1− |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Связь между импульсом тела p, его массой m0 и кинетической энергией T задается соотношением
p = |
1 |
|
T (T +2m c2 |
) . |
|
||||
|
c |
0 |
|
|
|
|
|
|
8. Преобразования Лоренца. Инерциальная система K ′ движется относительно инерциальной системы K вдоль оси Х со скоростью V . Переход от одной системы отсчета к другой позволяет производить следующие соотношения:
K → K ′ ; K ′→ K ;
8
|
|
|
x′= |
|
x−Vt |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1− |
V 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y′= y ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′= z ; |
||||
t′= |
1 |
|
|
|
|
Vx |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
t − |
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
c2 |
||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||
|
1− |
V |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=x′+Vt′
x ;
1−V 2 c2
y = y′ ;
z = z′ ;
|
1 |
|
|
|
Vx′ |
|||
t = |
|
|
|
|
|
t′+ |
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|||
|
|
|
2 |
|||||
|
1− |
V |
|
|
|
|||
|
c2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
9.Интервал между событиями:
S12 = c2 (t2 −t1 )2 −( x2 − x1 )2 −( y2 − y 1 )2 −( z2 − z1 )2 = c2t122 −l122 ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где l |
= ( x − x |
)2 +( y |
2 |
− y |
)2 +( z |
2 |
− z |
)2 |
– расстояние между точками |
||
12 |
2 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
пространства; |
t12 =(t2 −t1 ) |
– промежуток времени между событиями. |
Записанный в таком виде интервал инвариантен по отношению к преобразованиям от одной инерциальной системы к другой, т. е.
′ |
2 |
|
2 |
|
|
(S12 ) |
=(S12 ) |
. |
|||
|
|
||||
10. Изменение массы системы на |
m соответствует изменению |
энергии системы
W =c2 m .
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
1. Давление идеального газа
P = 2 n Wk =nkT ,
3
где n – концентрация молекул; Wk – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы; T – температура газа.
9
2. Средняя кинетическая энергия поступательного и вращательного движения одной молекулы
Wi = i kT ,
2
где i – число степеней свободы молекулы. Это число равно 3 для одноатомных молекул (три поступательных степени свободы), 5 – для двухатомных (три поступательных степени свободы и две вращательных) и 6 для трех- и многоатомных молекул (без учета колебаний молекул).
3. Барометрическая формула, выражающая зависимость давления идеального газа от высоты h над поверхностью Земли, есть
|
|
μgh |
|
|
m0 gh |
|
|
P = P0 exp |
− |
|
= P0 exp |
− |
|
|
, |
|
|||||||
|
|
RT |
|
|
kT |
|
|
где P0 – давление на высоте h =0 ; |
μ – молярная масса; m0 – масса од- |
||||||
ной молекулы. |
|
|
|
|
|
|
|
4.Распределение Больцмана (распределение концентрации молекул
всиловом поле):
n =n exp |
|
− |
WP |
|
=n |
exp |
|
− |
m0 gh |
|
, |
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
kT |
|
|
|
|
kT |
|
где WP – потенциальная энергия в точке пространства, где концентра-
ция молекул газа равна n . 5. Скорости молекул:
V = |
|
|
3KT |
= |
|
|
|
3RT |
– |
средняя квадратичная; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|||||||
кв |
|
|
m0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V = |
8KT |
= |
|
8RT |
|
– средняя арифметическая; |
||||||||||
|
|
πμ |
||||||||||||||
|
|
πm0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
V = |
|
2KT |
= |
|
2RT |
– |
наивероятнейшая. |
|||||||||
|
|
|
|
μ |
||||||||||||
В |
|
|
m0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10