- •Глава 8 элементы аналитической геометрии
- •§ 8.1. Прямые в аффинном пространстве
- •§ 8.2. Плоскости в аффинном пространстве
- •§ 8.3. Прямые и плоскости в аффинном пространстве
- •§ 8.4. Кривые второго порядка
- •Классификация кривых второго порядка, основанная на инвариантах
- •§ 8.5. Поверхности второго порядка
Глава 8 элементы аналитической геометрии
§ 8.1. Прямые в аффинном пространстве
Пусть дано множество элементов, называемых точками, и линейное пространствонад полемс элементами, называемыми векторами. Пусть далее каждой упорядоченной паре точекиизпоставлен в соответствие единственный векториз линейного пространствапричем для этого соответствия выполняются следующие две аксиомы:
для любой точки изи любого вектораизсуществует вединственная точкатакая, что;
для любых точек извыполняется “правило треугольника”
.
Множество вместе с таким соответствием называетсяаффинным пространством, связанным с линейным пространством Если линейное пространство-мерное, то и аффинное пространствоназывается-мерным аффинным пространством и обозначается через.
Системой координат или репером в аффинном пространстве называется упорядоченный набор
, (8.1.1)
состоящий из некоторой точки из, называемойначалом координат, и некоторого базиса линейного пространстваСистема координат называетсяпрямоугольной, если базис ортонормированный.
Координатами точки в системе координат (8.1.1) называются координаты ее радиуса-векторав базисе, т.е. коэффициенты из разложения
.
Точку с координатамибудем обозначать через, а векторс координатами– соответственно через .
Если в аффинном пространстве даны координатами в системе (8.1.1) две точкии , то, т.е. координаты вектораравны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.
Пусть в аффинном пространстве зафиксирована система координат (8.1.1), заданы точкаи направляющий вектор. Тогда множество точек аффинного пространства, радиусы-векторыкоторых удовлетворяют уравнению
, (8.1.2)
где и параметрпринимает любые значения из поляназываетсяпрямой, проходящей через точку параллельно вектору. Соотношение (8.1.2) называетсяпараметрическим уравнением прямой в векторной форме.
Векторное уравнение (8.1.2) равносильно координатным уравнениям
(8.1.3)
которые называются параметрическими уравнениями прямой в координатной форме.
Исключая параметр в уравнениях (8.1.3), получаемканоническое уравнение прямой в аффинном пространстве :
. (8.1.4)
Если на прямой известны две различные точки и, то уравнение этой прямой в векторной форме
(8.1.5)
и в канонической форме
. (8.1.6)
Угол между двумя прямыми с направляющими векторами иопределяется как угол между векторами, не превышающий, и вычисляется по формуле
. (8.1.7)
Необходимым и достаточным условием того, чтобы две прямые в аффинном пространстве , заданные векторными уравнениямии, пересекались или были параллельны, является линейная зависимость тройки векторов. В случае скрещивающихся прямых векторылинейно независимы. Направляющие векторы параллельных прямых коллинеарны, т.е..
Расстояние от точки с радиусом-векторомдо прямой, заданной уравнением (8.1.2), определяется как минимальное расстояние от точки до точек прямой и вычисляется по формуле
. (8.1.8)
Основание перпендикуляра, опущенного из данной точкина прямую, совпадает с той точкой прямой, которая находится на минимальном расстоянии от данной точки.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми с уравнениями иопределяется как кратчайшее расстояние между точками этих прямых и вычисляется по формуле
. (8.1.9)
Основания общего перпендикуляра двух прямых совпадают с теми точками этих прямых, расстояние между которыми минимально.
Пример 1. Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы через точку, заданную вектором , можно было провести единственную прямую, пересекающую две прямыеи. Укажите метод построения такой прямой и точек пересечения ее с данными прямыми.
Решение. Пусть – уравнение искомой прямой. Тогда необходимые и достаточные условия для того, чтобы прямаяпересекала прямыеи, состоят в том, что системы векторовилинейно независимы, векторлинейно выражается черези векторлинейно выражается через. Формально это означает, что существуют действительные значениятакие, что
(8.1.10)
, (8.1.11)
причем и. Выразивиз соотношений (8.1.10), (8.1.11), получим соответственно формулы
(8.1.12)
(8.1.13)
Вычитая равенство (8.1.13) из (8.1.12), приходим к нулевой линейной комбинации системы векторов :
,
в которой коэффициенты иотличны от нуля, что говорит о линейной зависимости указанной четверки векторов.
Подставив формулу (8.1.13) в (8.1.10), а формулу (8.1.12) в (8.1.11), получим две системы линейных алгебраических урав-нений:
(8.1.14)
(8.1.15)
относительно переменных исоответственно, которые будут иметь единственное решение в случае линейной независимости троек векторови.
Таким образом, для того чтобы через точку, заданную вектором , можно было провести единственную прямую, пересекающую две прямыеи, необходимо и достаточно, чтобы четверка векторовбыла линейно зависима, а каждая из двух троекиоказалась линейно независима.
Полагая, например, , находим путем решения системы (8.1.14) значенияи вычисляем по формулам (8.1.10), (8.1.11) точки пересечения, а по формуле (8.1.13) – направляющий вектор искомой прямой.
Пример 2. Найдите прямую, проходящую через точку, заданную вектором и пересекающую прямыеи, и найдите точки пересечения искомой прямой с двумя данными прямыми, если.
Решение. Поскольку
условия, необходимые и достаточные для того, чтобы через точку, заданную вектором , можно было провести прямую, пересекающую две прямыеи, выполнены. Составим и решим систему (8.1.14):
т.е. ,,. Положим. Тогда. Следовательно, координаты направляющего вектора искомой прямой
координаты точек пересечения
Проверка:
Пример 3. Составьте уравнение прямых, проходящих через точку и образующих с прямойуглы в.
Решение. Выберем две точки ина прямой. Пусть,. Тогда направляющий вектор прямой. Пусть– направляющий вектор искомой прямой. Тогда в соответствии с соотношением (8.1.7)
.
Считая систему координат прямоугольной, имеем:
или
или
Следовательно, либо. Полагая, получаем два направляющих вектора,, что позволяет записать два канонических уравненияи.
В задачах, требующих вычисления скалярных произведений, предполагается, что система координат прямоугольная.
8.1.1. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки:
а) и
б) и
в) и
8.1.2. Составьте канонические и параметрические уравнения прямых, проходящих через точку:
а) параллельно прямой
б) параллельно вектору
в) параллельно прямой
г) параллельно ее радиусу-вектору.
8.1.3. Даны две прямые. Установите, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются, найдите координаты точки их пересечения. Прямые заданы уравнениями:
а) и
б) и
8.1.4. При каких прямыеи
а) пересекаются;
б) скрещиваются;
в) параллельны;
г) совпадают?
8.1.5. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и пересекающей две данные прямые:
а) и
б) и
в) и.
8.1.6. Найдите прямую, проходящую через точку, заданную вектором и пересекающую прямыеи, и найдите точки пересечения искомой прямой с двумя данными прямыми, если.
8.1.7. Найдите точку пересечения двух прямых и
а)
б) .
8.1.8. На прямой найдите точку, сумма расстояний от которой до точекиминимальна.
8.1.9. На прямой найдите точку, равноудаленную от точеки.
8.1.10. Точка лежит на прямой
,
причем равноудалена от точеки. Найдите координаты точки.
8.1.11. Составьте уравнение прямой, пересекающей две прямые
и
и параллельной прямой
.
8.1.12. Найдите угол между прямыми:
а) и;
б) и.
8.1.13. Даны точка и прямая. Вычислите расстояние от точкидо прямой; найдите координаты проекции точкинаи координаты точки, симметричнойотносительно; составьте уравнение прямой, проходящей через точкуи пересекающей данную прямую под прямым углом (“опустите перпендикуляр” из точкина). Прямаязадана уравнениями:
а)
б) .
8.1.14. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой
.
8.1.15. На прямой найдите точку, ближайшую к точке.
8.1.16. Найдите расстояние между прямыми:
а) и
б) и.
8.1.17. Даны прямые и. Составьте уравнения их общего перпендикуляра (т.е. прямой, пересекающейипод прямым углом); найдите точки пересечения общего перпендикуляра с данными прямыми; вычислите расстояние междуи. Прямые заданы уравнениями:
а) и;
б) и.
8.1.18. Убедитесь, что прямые
,
параллельны, вычислите расстояние между ними.
8.1.19. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми
и .