3Линейка / РГЗ / Линейная алгебра (РГЗ #3)

Министерство Образования Российской Федерации

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра Прикладной Математики

Задание по Геометрии и алгебре на тему «Евклидовы пространства»

Факультет: ПМИ

Группа: ПМ-22

Студент: Рембиш А.В.

Вариант: 21

Преподаватель: Чубич В.М.

Новосибирск 2002

Задания

Цель задания: ознакомление с понятиями ортогонального дополнения, проекции вектора на подпространство, орта вектора к подпространству, ортогональной системы векторов и процедурой ортогонализации Грама-Шмидта.

Срок выполнения: две недели.

Время защиты: по указанию преподавателя.

Содержание задания

Задача 1. Спроектируйте заданный вектор x на заданное подпространство L. Найдите длину наклонной, перпендикуляра и проекций, а также угол между наклонной и подпространством.

Задача 2. Выполните ортогонализацию базиса двумерного подпространства L, заданного одной из систем векторов в задачах 1 или 2 задания 2, и дополните его до ортогонального базиса пространства R₄.

Дано

Задача 1:

(Вариант №21)

Задача 2:

(Данные взяты из задачи №2 второго модуля, система векторов №2 – Вариант №49)

Задача 1

Выпишем векторы, которые образуют подпространство L. Пусть это будут векторы:

Наклонная (заданный вектор x) определим, как:

Мы знаем, что трехмерное пространство единственным образом представимо в виде суммы и . По определению ортогональной суммы вектор Т.к. L порождают линейно независимые векторы , то . Линейная независимость векторов очевидна. Из всего выше сказанного следует, что . Т.к. , то по определению ортогональных множеств это означает, что Подставим значение h:

Найдем коэффициенты :

С помощью выше описанных формул найдем :

Теперь вычислим длины векторов :

Проверим ортогональность векторов :

По формуле найдем угол между наклонной x и подпространством L:

.

Задача 2

Выберем из заданной системы векторов базис:

Так как векторы базиса неортогональны, ортагонализуем их с помощью процедуры Грама-Шмидта. Полагаем, что , причем . Найдем :

Теперь базис подпространства L составляют ортогональные вектора . Найдем теперь вектора , так чтобы все вышеперечисленные вектора были попарно ортогональны, т.о. мы обеспечим их линейную независимость. Вектор мы найдем из условий:

Пусть вектор . Составим СЛАУ:

Т.к. - свободные члены, то выберем для них значения равные 2 (). Найдем оставшиеся координаты:

Получили, что . Проверим полученный вектор на попарную ортогональность:

Теперь таким же образом найдем и . Для него должно выполняться:

Решим СЛАУ:

Найдем коэффициенты:

Получили вектор . Теперь проверим его:

Итак ортогональный базис пространства составляют: