3Линейка / Задачник-1 / Глава 6
.DOCГлава 6
Квадратичные формы
§ 6.1. Билинейные формы. Приведение квадратичных форм к
каноническому виду методом Лагранжа
Билинейной формой в действительном линейном пространстве называется числовая функция удовлетворяющая следующим двум условиям:
Билинейная форма называется симметричной, если для любых векторов выполняется равенство
.
Скалярное произведение в евклидовом пространстве является примером симметричной билинейной формы.
При заданном базисе всякая билинейная форма в мерном действительном линейном пространстве может быть записана в виде
где - координаты вектора а - координаты вектора в данном базисе. Числа зависят от выбора базиса и вычисляются по формулам
Матрица называется матрицей билинейной формы в базисе .
Билинейная форма является симметричной тогда и только тогда, когда её матрица симметричная.
Пусть и суть матрицы билинейной формы в базисах и соответственно. Тогда
где - матрица перехода от базиса к базису .
Для того чтобы получить матрицу нужно разложить векторы по базису :
и составить из коэффициентов этих разложений таблицу:
.
Пусть - симметричная билинейная форма в линейном пространстве . Числовая функция , которая получается из , если положить , называется квадратичной формой.
При заданном базисе всякая квадратичная форма в действительном линейном пространстве выражается формулой
где - координаты вектора в данном базисе и
Пусть в мерном действительном линейном пространстве задана произвольная квадратичная форма Тогда в существует базис в котором эта квадратичная форма имеет вид
где - координаты вектора в базисе При этом квадратичную форму называют каноническим видом квадратичной формы Матрицей формы является диагональная матрица
.
Базис пространства в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называют каноническим базисом этой квадратичной формы.
Пример 1. Покажите, что отображение является симметричной билинейной формой в пространстве Найдите матрицу билинейной формы для случая в базисе
Решение. Покажем, что отображение является билинейной формой. Сумма диагональных элементов квадратной матрицы называется следом матрицы и обозначается Известно, что
Поэтому
Следовательно, по определению является билинейной формой.
В силу того, что
отображение является симметричной билинейной формой.
Построим матрицу билинейной формы в базисе . По формулам находим:
Учитывая, что , окончательно получаем:
.
Пример 2. Приведите методом Лагранжа к каноническому виду квадратичную форму и постройте канонический базис этой квадратичной формы.
Решение. Основная идея метода Лагранжа заключается в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов по каждой переменной. Соберем в квадратичной форме все члены, содержащие , и дополним их сумму до полного квадрата:
Далее нужно в квадратичной форме от переменных группировать все слагаемые, содержащие , и дополнять их сумму до полного квадрата. Поскольку в нашем случае коэффициент при равен нулю, сделаем замену:
.
В результате получим:
Положив в последнем выражении
,
записываем канонический вид квадратичной формы
и переходим к построению канонического базиса. Известно, что координаты вектора в старом и новом базисах связаны посредством матрицы перехода соотношением
.
В нашем случае
Отсюда
Столбцы матрицы составляют канонический базис квадратичной формы .
Нетрудно проверить, что .
6.1.1. Является ли билинейной формой в - мерном действительном линейном пространстве функция , где - первые координаты векторов и в некотором базисе?
6.1.2. Запишите матрицу билинейной формы в заданном базисе действительного линейного пространства , если:
базис:
-
базис:
6.1.3. Билинейная форма называется кососимметричной, если для любых векторов выполняется равенство
.
Убедитесь, что отображение , определяемое равенством
,
является кососимметричной билинейной формой в пространстве .
Найдите её матрицу в базисе
6.1.4. Запишите матрицу билинейной формы:
6.1.5. Найдите билинейную форму, если известна ее матрица
6.1.6. Методом Лагранжа приведите следующие квадратичные формы к каноническому виду и укажите невырожденное линейное преобразование переменных, приводящее к этому виду ( ввиду неоднозначности искомого линейного преобразования ответ может получиться отличным от приведенного):
§ 6.2. Приведение квадратичных форм к каноническому виду
методом Якоби. Знакоопределенные квадратичные формы
В отличии от рассмотренного в предыдущем параграфе метода Лагранжа, где канонический базис квадратичной формы вычислялся за несколько шагов, в методе Якоби векторы , непосредственно выражаются через исходный базис. Суть метода Якоби заключается в следующем.
Пусть в базисе мерного действительного линейного пространства квадратичная форма имеет вид
,
где , и определители
,
отличны от нуля. Тогда в базисе
квадратичная форма записывается в виде суммы квадратов :
,
где - координаты вектора в базисе .
Для того чтобы найти коэффициенты в выражении для , необходимо решить неоднородную систему линейных уравнений вида
Известно, что задача нахождения канонического базиса квадратичной формы решается неоднозначно. Тем не менее можно утверждать, что число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в любом каноническом представлении данной квадратичной формы всегда одно и то же (в этом состоит закон инерции квадратичных форм).
Квадратичную форму называют положительно (отрицательно) определённой, если для любого вектора .
Скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определённой квадратичной форме , и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение.
Справедлив следующий признак положительной определённости квадратичной формы (критерий Сильвестра) : для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все последовательные угловые миноры , определённые соотношением , были положительными.
Квадратичную форму, принимающую как положительные, так и отрицательные значения, называют знакопеременной.
Пример 1. Методом Якоби приведите к каноническому виду квадратичную форму и укажите канонический базис этой квадратичной формы.
Решение. Запишем матрицу квадратичной формы и вычислим угловые миноры по формуле :
;
В базисе , , квадратичная форма имеет канонический вид:
Найдём канонический базис последовательно применяя соотношение для :
;
Составив матрицу перехода от базиса к базису ,
,
нетрудно убедится в том, что .
Пример 2.Найдите все значения при которых положительно определена квадратичная форма .
Решение. Воспользуемся критерием Сильвестра. Запишем матрицу квадратичной формы
и проверим, при каких все угловые миноры этой матрицы будут положительными:
Следовательно, не существуют значения , при которых данная квадратичная форма положительно определена.
6.2.1. Методом Якоби приведите следующие квадратичные формы к каноническому виду и укажите канонические базисы квадратичных форм :
;
6.2.2. Найдите все значения , при которых положительно определены квадратичные формы:
6.2.3. Докажите, что если квадратичная форма с матрицей положительно определена, то и квадратичная форма с матрицей положительно определена.
6.2.4. Докажите, что квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда форма положительно определена.
6.2.5. Найдите все значения , при которых отрицательно определены квадратичные формы: