Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3Линейка / Задачник-1 / Глава 4

.DOC
Скачиваний:
86
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
598.53 Кб
Скачать

Глава 4

Системы линейных уравнений

§ 4.1. Ранг матрицы. Однородные системы. Фундаментальная

система решений

Рангом матрицы (обозначается ) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг нулевой матрицы полагается равным нулю по определению.

Для любой прямоугольной матрицы ранги ее систем векторов- строк и векторов- столбцов совпадают и равны рангу матрицы.

Система уравнений

называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как одним из ее частных решений является нулевое решение.

Для того, чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство размерности , где - ранг матрицы системы. Любой базис пространства решений однородной системы называется фундаментальной системой решений этой системы.

Пример 1. Найдите ранг матрицы в зависимости от значения параметра

Решение. При помощи элементарных преобразований, не изменяющих ранг, приведем матрицу к ступенчатому виду. Прибавив ко второй строке первую, к третьей- первую, умноженную на , к четвертой- первую, получим:

Если , то

Рассмотрим теперь случай, когда :

Очевидно, что если , то .

Пример 2. Найдите размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений с матрицей системы из примера 1.

Решение. Размерность пространства решений равна

Пример 3. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений из примера 1.

Решение. Если система имеет только нулевое решение.

Пусть . Тогда, как было показано в примере 1,

.

Пространство решений одномерное и фундаментальная система решений состоит из одного вектора. Из находим:

- свободная переменная.

Общее решение имеет вид:. Фундаментальная система решений:.

Пусть теперь . В этом случае

,

пространство решений двумерное и фундаментальная система решений состоит из двух векторов. Из получаем:

- свободные переменные;

.

Общее решение имеет вид: .

Выбирая значения свободных переменных в соответствии с таблицей,

i

1

1

0

2

0

1

записываем фундаментальную систему решений: и .

4.1.1. Укажите всевозможные значения ранга матриц вида:

4.1.2.Как может измениться ранг матрицы, если изменить значение одного ее элемента?

4.1.3. Как может изменится ранг матрицы, при изменении элементов лишь одной строки? строк?

4.1.4. Докажите, что ранг квазидиагональной матрицы равен сумме рангов матриц и .

4.1.5. Верно ли следующее утверждение: ранг квазитреугольной матрицы всегда равен сумме рангов матриц и ?

  1. Докажите, что ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов.

4.1.7. Вычислите ранг матриц:

4.1.8. Найдите ранг матриц в зависимости от значений параметров:

4.1.9. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений для систем уравнений:

4.1.10. Образуют ли строки каждой из матриц

фундаментальную систему решений для системы уравнений

§ 4.2. Неоднородные системы. Теорема Кронекера- Капелли

Согласно теореме Кронекера- Капелли неоднородная система линейных уравнений

совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы

равен рангу ее расширенной матрицы

т.е. когда

.

Общее решение неоднородной системы представимо в виде суммы общего решения соответствующей однородной системы и какого- либо частного решения неоднородной системы.

Пример 1. Исследуйте совместность и запишите общее решение неоднородной системы уравнений

в виде суммы частного решения этой системы и линейной комбинации базисных решений соответствующей однородной системы.

Решение. Запишем систему уравнений в матричном виде. Используя элементарные преобразования над строками полученной матрицы, приведем ее к ступенчатому виду и проверим выполнимость условия :

т.е. по теореме Кронекера- Капелли система уравнений совместна. Запишем ее общее решение. Поскольку будем иметь две свободные переменные.

- свободная переменная,

- свободная переменная,

Таким образом,

.

Заметим, что , а векторы и образуют фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы уравнений.

Пример 2. Подберите так, чтобы система уравнений

имела решение.

Решение. Нужно найти такое значение параметра , при котором выполняется условие .

По теореме Кронекера- Капелли система уравнений совместна при

4.2.1. Исследуйте совместность и найдите общее решение систем уравнений

4.2.2. Исследуйте систему и найдите общее решение в зависимости от значения параметра :

4.2.3. Исследуйте совместность и запишите общее решение неоднородной системы уравнений в виде суммы одного решения этой системы и линейной комбинации базисных решений соответствующей однородной системы:

8

Соседние файлы в папке Задачник-1