3Линейка / Задачник-1 / Глава 3(2)
.DOC§ 3.4. Базис и размерность линейного пространства
Всякую систему векторов линейного пространства называют базисом этого пространства, если эта система векторов линейно независима и любой вектор пространства линейно выражается через векторы этой системы.
Существенно различными являются случаи, когда базис пространства конечен и когда он бесконечен. В линейной алгебре изучаются линейные пространства с конечными базисами. Линейное пространство называют конечномерным, если оно обладает базисом, состоящим из конечного числа векторов. Конечномерное пространство может обладать многими различными базисами. Число векторов в каждом базисе конечномерного пространства одинаково. Это число называют размерностью пространства. Если размерность пространства равна , то записывают . Пространство при этом называют - мерным.
Пусть в линейном пространстве над полем задан некоторый базис
.
Произвольный вектор пространства линейно выражается через базис :
Представление вектора в виде называется разложением по базисным векторам , а коэффициенты в разложении - координатами вектора в базисе .
Два линейных пространства и над полем называют изоморфным, если между их векторами можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором образом суммы двух векторов служит сумма образов этих векторов, а образом произведения вектора на число служит произведение образа этого вектора на то же число, т.е. если из того, что
следует и
Необходимым и достаточным условием изоморфного соответствия двух линейных пространств является совпадение их размерностей.
При изоморфизме линейно независимым векторам из соответствует линейно независимые векторы из и наоборот.
Пример 1. Выясните, какова размерность каждого из указанных линейных пространств, и найдите какой- либо базис пространства:
арифметическое пространство , векторами которого являются упорядоченные наборы по действительных чисел (см. задачу );
пространство многочленов с действительными коэффициентами от одной переменной, степень которых не превышает заданного неотрицательного числа (см. задачу ));
пространство прямоугольных - матриц с действительными элементами (см. задачу )).
Решение. Одним из возможных базисов является следующий:
Действительно, система векторов линейно независима
и всякий вектор линейно выражается через векторы этой системы (если , то ). Следовательно,
Простейшим базисом является такая система векторов:
Очевидно, что система векторов линейно независима
и любой вектор линейно выражается через векторы этой системы
(если то ). Таким образом, и изоморфно .
За базис пространства можно принять систему векторов
(3.4.5)
Она линейно независима (
) и через неё линейно выражается любой вектор ( если то
). Поэтому и изоморфно
Пример 2. Систему многочленов дополните до базиса пространства
Решение. Известно (см. предыдущий пример), что Выясним, сколько и каких векторов нужно взять, чтобы дополнить данную систему векторов до базиса Воспользуемся изоморфизмом между и в котором и будем работать (это проще).
.
Сведём векторы в матрицу и приведём её элементарными преобразованиями к ступенчатому виду:
Очевидно, что система векторов (а, значит и система векторов ) линейно независима. Дополнять до базиса нужно двумя векторами. Например, и
Пример3. Проверьте, что векторы образуют базис пространства и найдите координаты вектора в этом базисе.
Решение. Нужно показать, что векторы линейно независимы.
Значит, можно вектор разложить по базисным векторам, т.е. представить в виде , причём такое представление будет единственным.
Отсюда
или в матричном виде
Заметим, что столбцами этой матрицы являются векторы Решим систему метом Гаусса:
Следовательно,
Таким образом, вектор в базисе имеет координаты
3.4.1. Выясните, какова размерность каждого из указанных линейных пространств, и найдите какой-либо базис пространства:
пространство (см. пример 2 § 3.1. ) ;
пространство (см. задачу 3.1.3 ) ;
пространство комплексных чисел , рассматриваемое как действительное линейное пространство (см. задачу 3.1.3. ) ;
пространство комплексных чисел , рассматриваемое как комплексное линейное пространство ;
пространство, заданное в задаче 3.1.6.;
пространство, заданное в задаче 3.1.6 ;
пространство бесконечных действительных последовательностей, элементы которых удовлетворяют соотношению
(см. задачу 3.1.8.).
3.4.2. В пространстве найдите два различных базиса, имеющих общие векторы и
3.4.3. В базисе действительного линейного пространства найдите координаты вектора
3.4.4. В базисе действительного линейного пространства найдите координаты векторов
и
3.4.5. В пространстве дана система векторов .
Можно ли принять эту систему за базис? Каковы координаты вектора в этом базисе?
3.4.6. Можно ли в пространстве многочленов выбрать в качестве базиса систему многочленов
3.4.7. Найдите координаты многочлена в каждом из следующих базисов пространства
§ 3.5. Подпространства линейного пространства.
Сумма и пересечение подпространств
Множество векторов линейного пространства называется подпространством этого пространства, если : сумма любых двух векторов из принадлежит и произведение каждого вектора из на любое число из поля также принадлежит .
Рассмотрим два подпространства и линейного пространства .
Суммой подпространств и называется множество всех векторов, которые можно представить в виде , где и принадлежат соответственно подпространствам и . Сумма подпространств и обозначается .
Пересечением подпространств и называется множество векторов, которые принадлежат одновременно обоим подпространствам. Пересечение подпространств и обозначается .
Сумма и пересечение подпространств и являются подпространствами пространства .
Для любых двух подпространств , конечномерного пространства имеет место равенство
Если для каждого вектора из представление
единственно, то называется прямой суммой подпространств и и обозначается .
Сумма подпространств тогда и только тогда будет прямой суммой, когда объединение базисов этих подпространств дает базис .
Пример 1. Покажите, что множество всех векторов из , координаты которых удовлетворяют уравнению является подпространством линейного пространства . Найдите один из базисов и размерность этого подпространства.
Решение. Обозначим
.
Множество замкнуто относительно сложения векторов и умножения вектора на действительное число:
, т.е.
, т.е.
Следовательно, - подпространство линейного пространства .
Покажем, что система векторов
образует базис в :
если и только если , т.е. система векторов линейно независима;
=, т.е. всякий вектор может быть представлен в виде линейной комбинации системы векторов .
Таким образом,
Пример 2. Найдите базисы суммы и пересечения подпространств
и , где
Решение. Сначала найдем базисы подпространств и
.
Базис образуют векторы ,
Базис образуют векторы ,
.
Базис составляют вектора ,
Размерность пересечения подпространств и определим из соотношения
.
Обозначим базисные вектора подпространства через и . По определению пересечения подпространств
или
где слева от равенства записана линейная комбинация векторов, образующих базис . Переменные и , стоящие при линейно зависимых векторах, называются свободными. Выберем их значения в соответствии с таблицей
i |
||
1 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
При таком выборе значений и системы линейных уравнений относительно ,,, будут иметь линейно независимые решения. Запишем явно системы и решим их методом Гаусса. Учитывая, что системы уравнений отличаются лишь правыми частями, целесообразно их объединить в одну расширенную матрицу.