3Линейка / Задачник-1 / Ответы и указания (1.2)
.DOCявляется подпространством размерности , базис образуют, например, матрицы , где - матрица, элементы которой , а все остальные элементы- нули.
3.5.2. - пространство диагональных матриц;
.
3.5.3 Базис , например, , базис , например,
и
базис , например, , базис , например, состоит из векторов и
базис , например, , базис , например,
и
3.5.6.
3.5.8. Нет.
3.5.9. . В качестве дополнительного подпространства можно взять, например, и
4.1.1.
4.1.2. Ранг либо не изменится, либо изменится на единицу.
4.1.3. Ранг изменится не более чем на единицу; не более чем на .
4.1.5. Нет. Контрпример:
4.1.7. 3; 2; 3.
4.1.8. при , при ;
при , при , не может быть ни при каком ;
при , при .
4.1.9. Общее решение: ; фундаментальная система решений: и ;
общее решение: ; фундаментальная система решений: ,,;
общее решение: ; фундаментальная система решений: , ;
общее решение: фундаментальная система решений: , .
4.1.10. Строки матрицы не образуют, строки матрицы образуют.
4.2.1. ;
система решений не имеет; ;
.
4.2.2. При система несовместна
при система совместна и ее общее решение таково: ;
при система имеет единственное решение: , при система несовместна;
система совместна при любом значении , при общее решение имеет вид: , при общее решение таково: ;
при система имеет единственное решение: , при система несовместна, при система совместна, и ее общее решение: ;
при система имеет единственное решение: ,
при общее решение: , при система несовместна.
4.2.3.
5.1.2. Указание: пусть - базис данного линейного пространства. Для произвольных векторов и положим . Проверьте, что все аксиомы скалярного произведения выполняются.
5.1.6. Определяет; определяет, если
не определяет; определяет.
5.1.7. Указание: необходимость условия получите, рассматривая скалярный квадрат вектора вида как квадратный трехчлен от .
5.1.8. Да, если ; нет, при .
5.1.10. .
5.2.1. Не изменится;
заменится на дополнительный (до );
не изменится.
5.2.2. . Таким образом, треугольник равнобедренный. Угол между и равен , так что треугольник прямоугольный. Угол между и равен и является внутренним углом треугольника. Угол между и равен , поэтому внутренним углом треугольника является угол между и .
5.2.10. .
5.2.11. Если , то .
.
5.2.13. Например, можно добавить векторы
5.2.14. Например, вектором
например,
5.2.15.
5.3.2. Например,
5.3.3. Например,
5.3.4. Одномерное подпространство многочленов, все коэффициенты которых равны.
5.3.5.
5.4.2. Указание: Как и в задаче 5.1.2., фиксируем базис и для произвольных векторов и полагаем
5.4.8. .
6.1.1. Нет.
6.1.2.
; ; 2) ; .
6.1.3.
6.1.4. ;
6.1.5.
6.1.6.
6.2.1. ; ;
; ;
; ;
; .
6.2.2. ; ;
таких не существует; .
6.2.5. Таких не существует; ;
.