3Линейка / Задачник-3 / Глава 8(1)

ГЛАВА 8

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕКОЙ ГЕОМЕТРИИ

§ 8.1. ПРЯМЫЕ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть дано множество элементов , называемых точками, и линейное пространство над полем с элементами , называемыми векторами. Пусть, далее, каждой упорядоченной паре точек и из поставлен в соответствие единственный вектор из линейного пространства причем для этого соответствия выполняются следующие две аксиомы:

для любой точки из и любого вектора из существует в единственная точка такая, что ;

для любых точек из выполняется “правило треугольника”

.

Множество вместе с таким соответствием называется аффинным пространством, связанным с линейным пространством Если линейное пространство - мерное, то и аффинное пространство называется - мерным аффинным пространством и обозначается через .

Системой координат или репером в аффинном пространстве называется упорядоченный набор

, (8.1.1)

состоящий из некоторой точки из , называемой началом координат, и некоторого базиса линейного пространства Система координат называется прямоугольной, если базис ортонормированный.

Координатами точки в системе координат (8.1.1) называются координаты ее радиус - вектора в базисе , т.е. коэффициенты из разложения

.

Точку с координатами будем обозначать через , а вектор с координатами - соответственно через .

Если в аффинном пространстве даны координатами в системе (8.1.1) две точки и , то , т.е. координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.

Пусть в аффинном пространстве зафиксирована система координат (8.1.1), заданы точка и направляющий вектор . Тогда множество точек аффинного пространства , радиус - векторы которых удовлетворяет уравнению

, (8.1.2)

где и параметр принимает любые значения из поля называется прямой проходящей через точку параллельно вектору . Соотношение (8.1.2) называется параметрическим уравнением прямой в векторной форме.

Векторное уравнение (8.1.2) равносильно координатным уравнениям

(8.1.3)

которые называются параметрическими уравнениями прямой в координатной форме.

Исключая параметр в уравнениях (8.1.3), получаем каноническое уравнение прямой в аффинном пространстве

. (8.1.4)

Если на прямой известны две различные точки и , то уравнение этой прямой в векторной форме

(8.1.5)

и в канонической форме

. (8.1.6)

Угол между двумя прямыми с направляющими векторами и определяется как угол между векторами , не превышающий , и вычисляется по формуле

. (8.1.7)

Необходимым и достаточным условием того, чтобы две прямые в аффинном пространстве , заданные векторными уравнениями и , пересекались или были параллельны, является линейная зависимость тройки векторов . В случае скрещивающихся прямых векторы линейно независимы. Направляющие векторы параллельных прямых коллинеарны, т.е. .

Расстояние от точки с радиусом - вектором до прямой, заданной уравнением (8.1.2), определяется как минимальное расстояние от точки до точек прямой и вычисляется по формуле

. (8.1.8)

Основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, совпадает с той точкой прямой, которая находится на минимальном расстоянии от данной точки.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми с уравнениями и определяется как кратчайшее расстояние между точками этих прямых и вычисляется по формуле

. (8.1.9)

Основания общего перпендикуляра двух прямых совпадают с теми точками этих прямых, расстояние между которыми минимально.

Пример 1. Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы через точку, заданную вектором , можно было провести единственную прямую, пересекающую две прямые и . Укажите метод построения такой прямой и точек пересечения ее с данными прямыми.

Решение. Пусть - уравнение искомой прямой. Тогда необходимые и достаточные условия для того, чтобы прямая пересекала прямые и состоят в том, что системы векторов и линейно независимы, вектор линейно выражается через и вектор линейно выражается через . Формально это означает, что существуют действительные значения такие, что

(8.1.10)

, (8.1.11)

причем и . Выразив из соотношений (8.1.10), (8.1.11), получим соответственно формулы

(8.1.12)

(8.1.13)

Вычитая равенство (8.1.13) из (8.1.12), приходим к нулевой линейной комбинации системы векторов

,

в которой коэффициенты и отличны от нуля, что говорит о линейной зависимости указанной четверки векторов.

Подставив формулу (8.1.13) в (8.1.10), а формулу (8.1.12) в (8.1.11), получим две системы линейных алгебраических уравнений

(8.1.14)

(8.1.15)

относительно переменных и соответственно, которые будут иметь единственное решение в случае линейной независимости троек векторов и .

Таким образом, для того чтобы через точку, заданную вектором , можно было провести единственную прямую, пересекающую две прямые и , необходимо и достаточно, чтобы четверка векторов была линейно зависима, а каждая из двух троек и оказалась линейно независима.

Полагая, например, , находим путем решения системы (8.1.14) значения и вычисляем по формулам (8.1.10), (8.1.11) точки пересечения, а по формуле (8.1.13) направляющий вектор искомой прямой.

Пример 2. Найдите прямую, проходящую через точку, заданную вектором и пересекающую прямые и , и найдите точки пересечения искомой прямой с двумя данными прямыми, если .

Решение. Поскольку

условия, необходимые и достаточные для того, чтобы через точку, заданную вектором , можно было провести прямую, пересекающие две прямые и , выполнены. Составим и решим систему (8.1.14): ,

т.е. , , . Положим . Тогда . Следовательно, координаты направляющего вектора искомой прямой

;

координаты точек пересечения

Проверка:

Пример 3. Составьте уравнение прямых, проходящих через точку и образующих с прямой углы в .

Решение. Выберем две точки и на прямой . Пусть , . Тогда направляющий вектор прямой . Пусть - направляющий вектор искомой прямой. Тогда в соответствии с соотношением (8.1.7)

.

Считая систему координат прямоугольной, отсюда имеем:

или

или

Следовательно, либо . Полагая , получаем два направляющих вектора , , что позволяет записать два канонических уравнения и .

В задачах, требующих вычисления скалярных произведений, предполагается, что система координат прямоугольная.

8.1.1. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

а) и

б) и

в) и

8.1.2. Составьте канонические и параметрические уравнения прямых, проходящих чрез точку:

а) параллельно прямой

б) параллельно вектору

в) параллельно прямой

г) параллельно ее радиус - вектору.

8.1.3. Даны две прямые. Установите, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются, найдите координаты точки их пересечения. Прямые заданы уравнениями:

а) и

б) и

8.1.4. При каких прямые

и

а) пересекаются;

б) скрещиваются;

в) параллельны;

г) совпадают?

8.1.5. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и пересекающей две данные прямые:

а) и

б) и

в) и .

8.1.6. Найдите прямую, проходящую через точку, заданную вектором и пересекающую прямые и , и найдите точки пересечения искомой прямой с двумя данными прямыми, если .

8.1.7. Найдите точку пересечения двух прямых и

а)

б) .

8.1.8. На прямой найдите точку , сумма расстояний от которой до точек и минимальна.

8.1.9. На прямой найдите точку, равноудаленную от точек и .

8.1.10. Точка лежит на прямой , причем равноудалена от точек и . Найдите координаты точки .

8.1.11. Составьте уравнение прямой, пересекающей две прямые и и параллельной прямой .

8.1.12. Найдите угол между прямыми:

а) и ;

б) и .

8.1.13. Даны точка и прямая . Вычислите расстояние от точки до прямой ; найдите координаты проекции точки на и координаты точки , симметричной относительно ; составьте уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающей данную прямую под прямым углом (“опустите перпендикуляр” из точки на ). Прямая задана уравнениями:

а)

б) .

8.1.14. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой .

8.1.15. На прямой найдите точку, ближайшую к точке .

8.1.16. Найдите расстояние между прямыми:

а) и