Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3Линейка / Задачник-3 / Глава 8(2)

.doc
Скачиваний:
26
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
317.44 Кб
Скачать

в) совпадают?

  1. Найдите расстояние от точки до плоскости:

а) ; в) ;

б) ; г) .

8.2.17. Найдите расстояние между параллельными плоскостями:

8.2.18. а) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости

и отстоящих от нее на расстояние 3.

б) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости

и отстоящих от нее на расстояние 3.

в) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости

и отстоящих от точки на расстояние 3.

г) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от начала координат на расстояние 3.

8.2.19. Найдите угол между плоскостями:

§ 8.3. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Пример 1. Найдите проекцию прямой

на плоскость .

Решение. Прямая задана пересечением двух плоскостей. Найдем ее параметрическое уравнение, для чего решим систему уравнений.

.

Отсюда , y – свободная переменная, и параметрическое уравнение данной прямой

Отыщем точку пересечения А прямой с плоскостью:

Выберем на прямой точку (0,16,–1) и через нее проведем прямую ортогональную плоскости . Получим точку пересечения В этой прямой с плоскостью:

Проведем через точки А и В прямую. Поскольку , каноническое уравнение искомой прямой .

Пример 2. Найдите точку, симметричную точке А=(0,5,–3) относительно прямой

Решение. Как и в предыдущем примере, прямая задана пересечением двух плоскостей. Найдем ее параметрическое уравнение.

Отсюда свободная переменная, и параметрическое уравнение данной прямой

Определим основание В перпендикуляра, опущенного из точки А на эту прямую. Предположим, что система координат прямоугольная. Поскольку и точка В находится на минимальном расстоянии от точки А, найдем значение переменной t, при котором принимает свое наименьшее значение. В силу того, что и Следовательно, и параметрическое уравнение прямой

Искомая точка С принадлежит прямой АВ и отстоит от прямой на расстояние . Найдем координаты точки С при помощи соотношения (8.1.8), в котором . Получим или .

Данное уравнение имеет два корня: соответствует точке А, – точке С. Таким образом, .

Пример 3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .

Решение. Воспользуемся формулой (8.2.6). Выбрав в качестве получим

В задачах, требующих вычисления скалярных произведений, предполагается, что система координат прямоугольная.

8.3.1. Проверьте, лежит ли данная прямая в плоскости , параллельна этой плоскости или пересекает ее в единственной точке; в последнем случае найдите координаты точки пересечения. Прямая задана уравнениями:

а) ;

б)

в)

8.3.2. При каких а прямая

а) пересекает плоскость

б) параллельна этой плоскости;

в) лежит в этой плоскости.

8.3.3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую

параллельно вектору .

8.3.4. Найдите уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и .

8.3.5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной прямым

и

8.3.6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую и параллельной прямой .

8.3.7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую, заданную уравнениями:

а) ;

б)

8.3.8. Найдите проекцию точки на прямую

8.3.9. Составьте параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости .

8.3.10. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости .

8.3.11. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой

а) ;

б) .

8.3.12. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной двум плоскостям и .

8.3.13. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к вектору и пересекающей прямую

8.3.14. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающей две прямые

и

8.3.15. Точка А лежит на прямой . Расстояние от точки А до плоскости равно . Найдите координаты точки А.

8.3.16. Составьте уравнение прямой, симметричной прямой

относительно плоскости .

8.3.17. Составьте уравнения проекций на плоскость следующих прямых:

а) ;

б)

в) .

8.3.18. Найдите угол между плоскостью и прямой:

а) ;

б) .

8.3.19. Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости, проходящей через прямые:

и

8.3.20. Точка А лежит на прямой

Расстояние от точки А до прямой равно . Найдите координаты точки А.

22

Соседние файлы в папке Задачник-3

Калькулятор

Сервис бесплатной оценки стоимости работы

  1. Заполните заявку. Специалисты рассчитают стоимость вашей работы
  2. Расчет стоимости придет на почту и по СМС

Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности и на обработку персональных данных.

Номер вашей заявки

Прямо сейчас на почту придет автоматическое письмо-подтверждение с информацией о заявке.

Оформить еще одну заявку