Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 9(2)

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

441.34 Кб

Скачать

☆

п) .

9.1.2. Найдите квадрат жордановой клетки .

9.1.3. Найдите жорданову форму квадрата жордановой клетки при .

9.1.4. Найдите жорданову форму квадрата жордановой клетки , если

а) k=4;

б) k=5.

9.1.5. Постройте корневое подпространство для следующих матриц:

а) ; б) .

9.1.6. Найдите канонический базис и жорданову форму оператора дифференцирования в пространстве .

9.1.7. В пространстве многочленов найдите жорданову форму оператора

§ 9.2. λ – МАТРИЦЫ

Квадратная матрица, элементами которой являются многочлены от λ, называется λ – матрицей (полиномиальной матрицей). Степенью λ – матрицы называется максимальная из степеней многочленов, образующих элементы матрицы.

Элементарными преобразованиями λ – матриц называются преобразования следующих типов:

1) перестановка между собой двух каких – либо строк или столбцов матрицы;

2) прибавление к строке какой – либо другой строки, умноженной на некоторый многочлен φ(λ), и, аналогично, прибавление к столбцу другого столбца, умноженного на некоторый многочлен;

3) умножение строки или столбца на некоторое число, отличное от нуля.

Две λ – матрицы А(λ) и В(λ) называются эквивалентными, если одна может быть получена из другой при помощи конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность λ – матриц записывается следующим образом: А(λ)~В(λ).

Всякая λ – матрица может быть элементарными преобразованиями приведена к виду

, (9.2.1)

где многочлены , стоящие по диагонали, имеют старшие коэффициенты, равные единице, многочлен делится на , делится на и т. д. Этот вид называется нормальной диагональной формой λ – матрицы, а многочлены – инвариантными множителями.

Нормальная диагональная форма λ – матрицы А(λ) определяется по ней однозначно. Если – наибольший общий делитель миноров k–порядка матрицы А(λ), а , то элементы нормальной диагональной формы (9.2.1) определяются по формулам

. . . . . . . . . . (9.2.2)

Таким образом, система инвариантных множителей λ – матрицы может быть получена с помощью либо элементарных преобразований, либо наибольших общих делителей ее миноров.

Для того чтобы две λ – матрицы А(λ) и В(λ) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они имели одни и те же инвариантные множители.

Числовые матрицы А и В одного порядка подобны тогда и только тогда, когда инвариантные множители λ – матриц и совпадают между собой (критерий подобия матриц).

Пусть матрица А имеет жорданову нормальную форму J, в которой имеется p клеток порядков , отвечающих собственному значению , q клеток порядков , отвечающих собственному значению , и т. д.; тогда инвариантные множители матрицы имеют вид

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Таким образом, задание последовательности инвариантных множителей полностью определяет жорданову нормальную форму матрицы А; собственные значения получаются как корни уравнения . Размеры же клеток, отвечающих данному собственному значению , равны степеням, с которыми содержится соответственно в

Матрица А имеет простую структуру тогда и только тогда, когда все инвариантные множители λ – матрицы имеют только простые корни.

Скалярный многочлен φ(λ) называется аннулирующим многочленом квадратной матрицы А, если φ. В частности, одним из аннулирующих многочленов матрицы является ее характеристический многочлен. Многочлен наименьшей степени среди ненулевых аннулирующих многочленов матрицы А со старшим коэффициентом 1 называется минимальным многочленом матрицы А. Любой аннулирующий многочлен матрицы делится на ее минимальный многочлен.

Минимальный многочлен ψ(λ) матрицы А равен последнему инвариантному множителю λ – матрицы .

Пример 1. При помощи инвариантных множителей найдите жорданову нормальную форму матрицы

. Укажите минимальный многочлен этой матрицы.

Решение. Запишем λ – матрицу и, воспользовавшись методикой, подробно изложенной в книге [6, §22], приведем ее к нормальной диагональной форме: . Поменяем местами первую и вторую строки: . Теперь, прибавляя ко второму и третьему столбцам первый, предварительно умноженный соответственно на λ, 5, получим . Прибавляя ко второй и третьей строкам первую, предварительно умноженную соответственно на , –1, получим . Поменяем местами вторую и третью строки: . Прибавляя к третьему столбцу второй, найдем: . Прибавляя к третьей строке вторую, умноженную на , получим: . Умножая третий столбец на (–1), приходим к нормальной диагональной форме λ–матрицы : , инвариантные множители которой , , позволяют составить жорданову нормальную форму и минимальный многочлен .

Пример 2. Выясните, подобны ли между собой матрица А из примера 1 и матрица .

Решение. Найдем инвариантные множители λ – матрицы , для чего приведем ее к нормальной диагональной форме. . Умножим второй столбец на и поменяем местами его с первым столбцом: . Прибавляя ко второму и третьему столбцам первый, предварительно умноженный на , 15, получим:

. Теперь, прибавляя ко второй и третьей строкам первую, предварительно умноженную на , , найдем: . Третий столбец умножим на (–1) и поменяем местами со вторым столбцом. Имеем:. Поменяем местами вторую и третью строки: . Прибавляя к третьему столбцу второй, предварительно умноженный на , получим: . Прибавляя к третьей строке вторую, предварительно умноженную на , найдем: . Умножая третий столбец на (–ф6), приходим к нормальной диагональной форме λ – матрицы : . Выпишем инвариантные множители этой матрицы: , , . Поскольку инвариантные множители λ – матриц и между собой совпадают, согласно критерию подобия матриц матрицы А и В подобны.