Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3Линейка / Задачник-3 / Глава 9(1)

.doc
Скачиваний:
54
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
392.19 Кб
Скачать

8.5.8. Приведите уравнения к каноническому виду при помощи перехода к новой прямоугольной системе координат и выясните расположение относительно исходной прямоугольной системы координат следующих поверхностей второго порядка:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) ;

н) ;

о) ;

п) ;

р) .

ГЛАВА 9

КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

§ 9.1. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦ

Известно, что матрица оператора простой структуры приводится к диагональному виду. В общем случае комплексная квадратная матрица приводится к квазидиагональной, так называемой жордановой форме.

Пусть линейный оператор А, действующий в n – мерном комплексном пространстве X, в некотором базисе этого пространства имеет матрицу А, характеристический многочлен которой представлен в виде канонического разложения

, (9.1.1)

где – попарно различные собственные значения, – соответствующие им алгебраические кратности и .

Корневым подпространством оператора А, отвечающим собственному значению с алгебраической кратностью , называется ядро оператора , т.е.

. (9.1.2)

Векторы корневых подпространств называются корневыми векторами.

Размерность корневого подпространства равна . Каждое корневое подпространство инвариантно относительно оператора А и пространство X разлагается в прямую сумму корневых подпространств

. (9.1.3)

Базис пространства X, составленный как последовательное объединение базисов всех корневых подпространств называется корневым базисом.

Пусть – одно из корневых подпространств. Тогда в нем существуют собственный вектор и векторы , удовлетворяющие условиям

,

,

, (9.1.4)

. . . . . . . . .

.

Векторы называются присоединенными к векторами первого, второго и т.д. порядков соответственно. Вместе с вектором они образуют в жорданову цепочку длины h с началом в . Линейная оболочка корневых векторов образует h – мерное циклическое подпространство, порожденное собственным вектором .

Корневое подпространство распадается в прямую сумму инвариантных относительно оператора А циклических подпространств.

Корневой базис, составленный как последовательное объединение базисов циклических подпространств, называется корневым базисом Жордана (жордановым базисом).

Клеткой Жордана называется верхняя треугольная матрица размера k×k, имеющая вид

. (9.1.5)

По определению .

В жордановом базисе матрица оператора А имеет жорданову нормальную форму, т.е. является квазидиагональной матрицей J, состоящей из жордановых клеток , расположенных по главной диагонали. Первыми располагаются жордановы клетки, соответствующие собственному значению , затем жордановы клетки, соответствующие собственному значению и т.д. При этом жордановы клетки располагаются в матрице J по главной диагонали в том же порядке, в каком расположены в жордановом базисе соответствующие им жордановы цепочки.

Таким образом, матрица J имеет вид

J= . (9.1.6)

В жордановой матрице J по каждому жордановы клетки располагаются по убыванию их порядков. Некоторые из жордановых клеток могут повторяться, а некоторые из жордановых клеток низших порядков могут отсутствовать. Частным случаем жордановой матрицы является диагональная матрица.

Заметим, что если в построенном жордановом базисе изменить нумерацию жордановых цепочек, то в жордановой матрице на главной диагонали соответственно изменят положения соответствующие жордановы клетки.

Всякая комплексная матрица А подобна жордановой матрице J, которая определена с точностью до порядка расположения клеток Жордана на главной диагонали:

АР, (9.1.7)

где Р – матрица перехода от исходного базиса пространства X к его жорданову базису.

Матрица Р состоит из столбцов координат векторов жорданова базиса в исходном базисе. Причем эти столбцы располагаются в матрице Р в том же порядке, в каком располагаются им соответствующие векторы в жордановом базисе пространства X. Матрица Р называется трансформирующей, или приводящей, матрицу А к ее жордановой форме J.

Пример. Постройте жорданов базис оператора с матрицей , жорданову форму J этой матрицы и трансформирующую матрицу Р.

Решение. В настоящее время в учебной литературе по линейной алгебре описано достаточно много способов решения задач данного типа (см., например, [3, 10, 14, 15, 18]). Воспользуемся одним из двух подходов, указанных в книге [3].

Начнем с нахождения собственных значений матрицы А. Поскольку

,

матрица А имеет только одно собственное значение . Его алгебраическая кратность .

Выясним, какова геометрическая кратность .

. (9.1.8)

Геометрическая кратность собственного значения равна

.

Поскольку геометрическая кратность меньше алгебраической, матрица А не является матрицей простой структуры (А – дефектная матрица).

В силу того, что А имеет только одно собственное значение, трехмерное пространство X, в котором действует линейный оператор, совпадает с корневым подпространством . Это подпространство разложимо в прямую сумму двух циклических подпространств размерности 2 и 1. Таким образом, искомый жорданов базис состоит из двух собственных векторов и одного присоединенного вектора первого порядка.

Определим общий вид собственных векторов , для чего решим однородную систему уравнений . Из (9.1.8) видно, что в качестве свободных переменных можно выбрать и . Тогда и

.

Для построения жорданова базиса осталось найти присоединенный вектор первого порядка . Решим неоднородную систему уравнений :

. (9.1.10)

В соответствии с теоремой Кронекера – Капели система (9.1.10) совместна тогда и только тогда, когда . Подставляя это условие в выражение (9.1.9), получим общий вид собственных векторов, имеющих присоединенные векторы первого порядка: . Найдем общий вид присоединенных векторов в зависимости от значения , для чего продолжим решение системы (9.1.10)

.

Выбирая в качестве свободных переменных и , получаем, что и .

Полагая значения свободных переменных , , , найдем собственный вектор и присоединенный к нему вектор первого порядка . Оставшийся вектор жорданова базиса определим, выбирая в выражении (9.1.9) и . Получим вектор . Векторы образуют искомый жорданов базис, в котором матрица линейного оператора имеет вид .

Запишем трансформирующую матрицу:

и проверим правильность полученных результатов:

.

9.1.1. Постройте жорданов базис оператора с матрицей А, жорданову форму J матрицы А и трансформирующую матрицу Р для следующих матриц А:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

н); о) ;

п) .

9.1.2. Найдите квадрат жордановой клетки .

9.1.3. Найдите жорданову форму квадрата жордановой клетки при .

9.1.4. Найдите жорданову форму квадрата жордановой клетки , если

а) k=4;

б) k=5.

9.1.5. Постройте корневое подпространство для следующих матриц:

а) ; б) .

9.1.6. Найдите канонический базис и жорданову форму оператора дифференцирования в пространстве .

9.1.7. В пространстве многочленов найдите жорданову форму оператора

.

51

Соседние файлы в папке Задачник-3