3Линейка / Задачник-3 / Глава 9(1)
.doc8.5.8. Приведите уравнения к каноническому виду при помощи перехода к новой прямоугольной системе координат и выясните расположение относительно исходной прямоугольной системы координат следующих поверхностей второго порядка:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и) ;
к) ;
л) ;
м) ;
н) ;
о) ;
п) ;
р) .
ГЛАВА 9
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ 9.1. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦ
Известно, что матрица оператора простой структуры приводится к диагональному виду. В общем случае комплексная квадратная матрица приводится к квазидиагональной, так называемой жордановой форме.
Пусть линейный оператор А, действующий в n – мерном комплексном пространстве X, в некотором базисе этого пространства имеет матрицу А, характеристический многочлен которой представлен в виде канонического разложения
, (9.1.1)
где – попарно различные собственные значения, – соответствующие им алгебраические кратности и .
Корневым подпространством оператора А, отвечающим собственному значению с алгебраической кратностью , называется ядро оператора , т.е.
. (9.1.2)
Векторы корневых подпространств называются корневыми векторами.
Размерность корневого подпространства равна . Каждое корневое подпространство инвариантно относительно оператора А и пространство X разлагается в прямую сумму корневых подпространств
. (9.1.3)
Базис пространства X, составленный как последовательное объединение базисов всех корневых подпространств называется корневым базисом.
Пусть – одно из корневых подпространств. Тогда в нем существуют собственный вектор и векторы , удовлетворяющие условиям
,
,
, (9.1.4)
. . . . . . . . .
.
Векторы называются присоединенными к векторами первого, второго и т.д. порядков соответственно. Вместе с вектором они образуют в жорданову цепочку длины h с началом в . Линейная оболочка корневых векторов образует h – мерное циклическое подпространство, порожденное собственным вектором .
Корневое подпространство распадается в прямую сумму инвариантных относительно оператора А циклических подпространств.
Корневой базис, составленный как последовательное объединение базисов циклических подпространств, называется корневым базисом Жордана (жордановым базисом).
Клеткой Жордана называется верхняя треугольная матрица размера k×k, имеющая вид
. (9.1.5)
По определению .
В жордановом базисе матрица оператора А имеет жорданову нормальную форму, т.е. является квазидиагональной матрицей J, состоящей из жордановых клеток , расположенных по главной диагонали. Первыми располагаются жордановы клетки, соответствующие собственному значению , затем жордановы клетки, соответствующие собственному значению и т.д. При этом жордановы клетки располагаются в матрице J по главной диагонали в том же порядке, в каком расположены в жордановом базисе соответствующие им жордановы цепочки.
Таким образом, матрица J имеет вид
J= . (9.1.6)
В жордановой матрице J по каждому жордановы клетки располагаются по убыванию их порядков. Некоторые из жордановых клеток могут повторяться, а некоторые из жордановых клеток низших порядков могут отсутствовать. Частным случаем жордановой матрицы является диагональная матрица.
Заметим, что если в построенном жордановом базисе изменить нумерацию жордановых цепочек, то в жордановой матрице на главной диагонали соответственно изменят положения соответствующие жордановы клетки.
Всякая комплексная матрица А подобна жордановой матрице J, которая определена с точностью до порядка расположения клеток Жордана на главной диагонали:
АР, (9.1.7)
где Р – матрица перехода от исходного базиса пространства X к его жорданову базису.
Матрица Р состоит из столбцов координат векторов жорданова базиса в исходном базисе. Причем эти столбцы располагаются в матрице Р в том же порядке, в каком располагаются им соответствующие векторы в жордановом базисе пространства X. Матрица Р называется трансформирующей, или приводящей, матрицу А к ее жордановой форме J.
Пример. Постройте жорданов базис оператора с матрицей , жорданову форму J этой матрицы и трансформирующую матрицу Р.
Решение. В настоящее время в учебной литературе по линейной алгебре описано достаточно много способов решения задач данного типа (см., например, [3, 10, 14, 15, 18]). Воспользуемся одним из двух подходов, указанных в книге [3].
Начнем с нахождения собственных значений матрицы А. Поскольку
,
матрица А имеет только одно собственное значение . Его алгебраическая кратность .
Выясним, какова геометрическая кратность .
. (9.1.8)
Геометрическая кратность собственного значения равна
.
Поскольку геометрическая кратность меньше алгебраической, матрица А не является матрицей простой структуры (А – дефектная матрица).
В силу того, что А имеет только одно собственное значение, трехмерное пространство X, в котором действует линейный оператор, совпадает с корневым подпространством . Это подпространство разложимо в прямую сумму двух циклических подпространств размерности 2 и 1. Таким образом, искомый жорданов базис состоит из двух собственных векторов и одного присоединенного вектора первого порядка.
Определим общий вид собственных векторов , для чего решим однородную систему уравнений . Из (9.1.8) видно, что в качестве свободных переменных можно выбрать и . Тогда и
.
Для построения жорданова базиса осталось найти присоединенный вектор первого порядка . Решим неоднородную систему уравнений :
. (9.1.10)
В соответствии с теоремой Кронекера – Капели система (9.1.10) совместна тогда и только тогда, когда . Подставляя это условие в выражение (9.1.9), получим общий вид собственных векторов, имеющих присоединенные векторы первого порядка: . Найдем общий вид присоединенных векторов в зависимости от значения , для чего продолжим решение системы (9.1.10)
.
Выбирая в качестве свободных переменных и , получаем, что и .
Полагая значения свободных переменных , , , найдем собственный вектор и присоединенный к нему вектор первого порядка . Оставшийся вектор жорданова базиса определим, выбирая в выражении (9.1.9) и . Получим вектор . Векторы образуют искомый жорданов базис, в котором матрица линейного оператора имеет вид .
Запишем трансформирующую матрицу:
и проверим правильность полученных результатов:
.
9.1.1. Постройте жорданов базис оператора с матрицей А, жорданову форму J матрицы А и трансформирующую матрицу Р для следующих матриц А:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) ; и) ;
к) ; л) ; м) ;
н); о) ;
п) .
9.1.2. Найдите квадрат жордановой клетки .
9.1.3. Найдите жорданову форму квадрата жордановой клетки при .
9.1.4. Найдите жорданову форму квадрата жордановой клетки , если
а) k=4;
б) k=5.
9.1.5. Постройте корневое подпространство для следующих матриц:
а) ; б) .
9.1.6. Найдите канонический базис и жорданову форму оператора дифференцирования в пространстве .
9.1.7. В пространстве многочленов найдите жорданову форму оператора
.