- •Глава 7 линейные операторы в линейных пространствах
- •§ 7.1. Определение линейного оператора.
- •Матрица линейного оператора
- •§ 7.2. Связь между координатами вектора - образа и вектора - прообраза. Ядро и образ линейного оператора
- •§ 7.3. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Действия с линейными операторами
Светлой памяти
Чубича Михаила Петровича
посвящается
Глава 7 линейные операторы в линейных пространствах
§ 7.1. Определение линейного оператора.
Матрица линейного оператора
Пусть и - линейные пространства над одним и тем же полем . Будем говорить, что из пространства в пространство действует оператор или, что то же самое, отображение , преобразование , если каждому вектору по какому - либо правилу поставлен в соответствии определенный вектор из .
Наиболее простыми являются линейные операторы. Отображение называется линейным оператором (линейным преобразованием), действующим из в , если оно удовлетворяет следующим двум условиям:
;
, .
Совокупность условий 1 и 2 равносильна следующему условию:
. (7.1.1)
Обозначим через множество всех линейных операторов, действующих из линейного пространства в линейное пространство . Два линейных оператора и из называются равными, если
. (7.1.2)
Множество будет линейным пространством над полем , если определить сумму операторов и произведение оператора на число соотношениями
(7.1.3)
(7.1.4)
Нулевым вектором пространства будет нулевой оператор из в, т.е. оператор, переводящий любой вектор линейного пространства в нулевой вектор линейного пространства .
В случае, когда , линейный оператор называется линейным преобразованием пространства .
Пусть - оператор из , и пусть и - фиксированные базисы линейных пространств исоответственно. Разложим векторы по базису :
,
, (7.1.5)
.
Из коэффициентов этих разложений составим - матрицу
. (7.1.6)
Матрица называется матрицей линейного оператора в паре базисов и . Заметим, что столбцами матрицы служат столбцы координат векторов в базисе , т.е. строки коэффициентов из разложений (7.1.5).
Если , то при нахождении матрицы линейного оператора фиксируются векторы одного базиса , по которому раскладываются . Записанные столбцами коэффициенты разложений образуют квадратную матрицу порядка .
Равные линейные операторы в одном и том же базисе имеют одинаковые матрицы.
Матрицей суммы линейных операторов в фиксированных базисах является сумма матриц слагаемых операторов в тех же базисах.
При умножении линейного оператора на число его матрица умножается на то же число.
Если и - соответственно, - и - мерное линейные пространства над одним полем , то линейное пространство изоморфно линейному пространству - матриц с элементами из с операциями сложения матриц и умножения их на числа из поля .
Пример 1. Оператор называется тождественным (единичным) оператором, если
. (7.1.7)
Покажите линейность оператора и постройте его матрицу в базисе .
Решение. В силу того, что
,
убеждаемся в линейности тождественного оператора. Поскольку
получаем, что
.
В любом базисе тождественный оператор имеет единичную матрицу.
Пример 2. Докажите, что преобразование
пространства линейно и найдите его матрицу в каноническом базисе.
Решение. Пусть
и - произвольные векторы из . Тогда
т. е. преобразование пространства линейно. Канонический базис линейного пространства составляют векторы
. Из определения оператора вытекает, что
Таким образом,
Пример 3. Покажите, что умножение квадратных матриц второго порядка слева на данную матрицу является линейным преобразованием пространства и найдите матрицу этого преобразования в базисе, состоящем из матриц
Решение. По определению преобразования для любых матриц и любых чисел имеем:
.
Перейдем к построению матрицы оператора в данном базисе. В силу того, что
получаем:
.
7.1.1. Какую матрицу имеет нулевой оператор в любых базисах пространств и ?
7.1.2. Линейное пространство является прямой суммой подпространств и . Докажите, что оператор пространства , который каждому вектору с разложением , где , ставит в соответствие вектор этого разложения, является линейным. Оператор называется оператором проектирования пространства на параллельно .
Найдите матрицу этого оператора в базисе, полученном объединением базисов подпространств и .
7.1.3. Линейное пространство является прямой суммой подпространств и . Докажите, что оператор , который каждому вектору с разложением , где , ставит в соответствие вектор , является линейным. Оператор называется отражением пространства в параллельно .
Найдите матрицу этого оператора в базисе, полученном объединением базисов подпространств и .
7.1.4. Докажите, что всякий линейный оператор, действующий в одномерном пространстве, сводится к умножению всех векторов пространства на фиксированное (для данного оператора) число.
7.1.5. Верно ли, что линейный оператор переводит:
а) линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую;
б) линейно независимую систему векторов в линейно независимую?
7.1.6. Выясните, какие из следующих преобразований пространства линейны, и в случае линейности найдите их матрицы в каноническом базисе:
а) б)
в) г)
7.1.7. Укажите, какие из приведенных преобразований пространства являются линейными операторами, и найдите их матрицы в базисе . Каждое преобразование описывается своим действием на произвольный многочлен :
а) б)
в) , где и - фиксированные числа, причем ;
г) Этот оператор в дальнейшем называется оператором дифференцирования.
7.1.8. Какова матрица оператора дифференцирования, действующего в линейном пространстве , в базисе , где - действительное число?
7.1.9. Покажите, что умножение квадратных матриц второго порядка справа на данную матрицу является линейным преобразованием пространства , и найдите матрицу этого преобразования в базисе, состоящем из матриц :
7.1.10. Проверьте линейность оператора , заданного формулой , где и постройте матрицу этого оператора в базисах
и
7.1.11. В пространстве фиксирован базис, состоящий из матриц
(в указанном порядке). Запишите в этом базисе матрицу оператора транспонирования, т.е. оператора, который каждой матрице ставит в соответствие транспонированную матрицу.
Как изменится эта матрица, если в базисе поменять местами векторы и ?