3Линейка / Задачник-2 / Ответы и указания (2)
.docОтветы и указания
7.1.1. Нулевую.
7.1.2.
7.1.3.
7.1.5. а) Да; б) нет.
7.1.6. а) линейно, б), в) не является линейным;
г) линейно,
7.1.7. а) б)
Указание. Воспользуйтесь формулой
бинома Ньютона.
в) г)
Указание. Воспользуйтесь формулой
бинома Ньютона.
7.1.8.
7.1.9.
7.1.10.
7.1.11. не изменится.
7.2.1. а) - образ , - прообраз
б) - образ , - прообраз
в) - образ , - прообраз
7.2.2. а)
б)
в)
7.2.3. а) Да,
б) нет, так как система линейно зависима, а система линейно независима;
в) да,
7.2.4. а) Да,
б) нет, так как система линейно зависима, а система линейно независима.
7.2.5. а) , базис -
, базис -
б) , базис -
, базис -
в) , .
7.2.6. Образ - , ядро - .
7.2.7. .
7.2.8. .
7.2.9. а) Например, базис - , базис -
б)
в) например, базис -
базис -
7.2.10. .
7.3.1. .
7.3.2. .
7.3.3. .
7.3.4. .
7.3.5. В матрице переставляется - я и - я строки и - й и - й столбцы.
7.3.6. а) б) .
7.3.7. а) ; б) ;
в) .
7.3.8. .
7.3.9. .
7.3.10. а) б) в) .
7.3.11. а) б) в) .
7.4.3. Собственными значениями являются диагональные элементы .
7.4.6. Указание. См. § 10 гл. II в .
7.4.12. Если - собственное значение оператора , то - собственное значение оператора .
7.4.13. в) Если - собственное значение оператора , то - собственное значение оператора .
7.4.14. Если - собственное значение оператора , то - собственное значение оператора .
7.4.15. .
7.4.17. .
7.4.19. а) Оператор проектирования имеет собственные значения 1 и 0;
при этом - собственное подпространство для , - собственное подпространство для ;
б) оператор отражения имеет собственные значения 1 и -1;
при этом - собственное подпространство для , - собственное подпространство для .
7.4.21. , где , а - собственные значения.
7.4.22. Указание. Рассмотрите матрицу оператора в базисе, первые векторы которого образуют базис собственного подпространства, соответствующего . С помощью этой матрицы вычислите характеристический многочлен оператора. Подробнее см. гл. 5, § 2, п. 5 книги .
7.4.25. а) Над : ;
над : ;
б) над нет собственных векторов; над : ;
в) над : ; ;
над : ; ;
г) над : ; ; над : ; ;
д) над : ; ;
над : ; ;
е) над : ; ;
над : ; ;
ж) над : ; над : ; ;
з) над : ; над : ; ;
и) над : над :
к) над : ; над : ;
л) над : ;
над :
м) над : ; ;
над : ;
.
7.5.6. а)
б), в), е) матрицы к диагональному виду не приводятся;
г)
д) .
7.5.7. б), в) Да; б) в) .
7.5.8. а) Да,
б) нет;
в) нет;
г) да,
д) да, .
7.6.4. Если - диагональная матрица такая, что , то
,
где - матрица, сопряженная к .
7.6.5. Всякий оператор одномерного пространства есть умножение каждого вектора пространства на фиксированное (для данного оператора) число . Если пространство унитарное, то сопряженный оператор есть умножение на сопряженное число . В евклидовом одномерном пространстве всякий оператор совпадает со своим сопряженным.
7.6.6. .
7.6.7. .
7.6.8. .
7.6.9. .
7.6.10. .
7.6.11. а)
б)
в) .
-
а) б) в) .
-
а) б) в) .
-
Указание. Используйте соответствие между сопряженными операторами и сопряженными матрицами.
7.6.16. а) Базис ядра - многочлен ; базис образа - многочлен ;
б) базис ядра - многочлен ; базис образа - многочлен ;
в) базис ядра - многочлен ; базис образа - многочлен .
7.6.19. Указание. Выберите .
-
.
-
а) Да; б) нет; в) да; г) да.
-
а) Да; б) нет.
7.6.32. а) Да; б) нет.
7.6.35. Базис составляют, например, векторы:
а)
б)
в) .
-
Указание. Покажите, что .
7.6.41. Нет, если собственные значения оператора простые; да, если хотя бы одно кратно.
-
.
-
а)
б)
в)
г) .
-
а)
б) .
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з) .
-
Указание. См. решение задачи ? 1569 в .
7.6.47. а)
б) .
7.6.48. а)
б)
в) .
7.6.49. Указание. См. § 7.2 в . Если, например, линейное преобразование в ортонормированном базисе задано матрицей и вектор задан координатами в том же базисе, то .
7.6.50. Указание. См. § 7.1. в .