7. Функции комплексного переменного / m7var05
.pdfВариант 5
Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме):
а) cos(3 + i); б) ln(−3 + 4i)
Решение. а). По формуле тригонометрии cos(3+i)=cos3·cos(i)-sin3·sin(i). Воспользуемся формулами связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями: cos(i)=ch1; sin(i)= ish1. Получим cos(3+i)=cos3·ch1- i·sin3·sh1.
б). Воспользуемся формулой Ln(z) = ln z + i(ϕ + 2kπ) . В данном случае
модуль и аргумент этого числа: |
|
z |
|
= |
(−3)2 + 42 |
= 5 ϕ = arg z = π − arctg |
4 |
(вторая четверть). |
||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
Таким образом Ln(−3 + 4i) = ln5 + i(2kπ + π − arctg |
4 |
) . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ. а) cos(3+i)=cos3·ch1- i·sin3·sh1; б) Ln(−3 + 4i) = ln 5 + i(2kπ + π − arctg |
4 |
) . |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Задача 2. Выяснить геометрический смысл соотношения. Сделать чертёж. z + 2i + z − 2i < 5
Решение. Так как z=x+iy, то данное соотношение имеет вид: x + i(y + 2) + x + i(y − 2) > 5.
Или x2 + (y + 2)2 + x2 + (y − 2)2 < 5 . Перенесём второй
y
корень в правую часть равенства и возведём обе части в квадрат. Получим:
xx2 + y2 + 4y + 4 < 25 −10x2 + (y − 2)2 + x2 + y2 − 4y + 4 .
Или 10x2 + (y − 2)2 < 25 − 8y . Возведём ещё раз в квадрат: 100x2 + 100y2 − 400y + 400 < 625 − 400y + 64y2 . Или
100x2 + 36y2 < 225.
Поделив всё равенство на правую часть, получим каноническое уравнение эллипса с
фокусами на мнимой оси: 4x2 + 4y2 <1.
925
Ответ. Данное соотношение представляет внутреннюю часть эллипса:
Задача 3. Решить уравнение: sh z − ch z = 2i.
Решение. Перейдём к показательной функции:
4x2 + 4y2 <1.
925
1 (ez − e−z ) − 1 (ez + e−z ) = 2i. Умножим уравнение на 2ez. Тогда уравнение примет вид:
22
(e2z −1) − (e2z + 1) = 4iez |
или ez = − |
1 |
= |
i |
. Отсюда z = Ln |
i |
= ln |
1 |
+ i( |
π |
+ 2kπ) . |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2i |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
||||
Ответ. z = (2k + |
1 |
)πi − ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Восстановить аналитическую функцию по заданной действительной части её:
Re f (z) = u = ex (x cos y − ysin y) , если f(0)=0.
Решение. Чтобы функция u(x,y) бала действительной частью аналитической функции нужно, чтобы она была гармонической, т.е. её лапласиан ∆u был бы равен нулю: ∆u=0,
≡ |
∂2 |
+ |
∂2 |
||||
|
|
|
|
. Проверим выполнение этого условия, для чего найдём производные |
|||
∂x |
2 |
∂y |
2 |
||||
|
|
|
второго порядка от u по x и по y:
∂u |
= ex (x cos y − ysin y) + ex cos y, |
∂2u |
= ex |
[(x cos y − ysin y) + cos y], |
|
∂x |
∂x2 |
||||
|
|
|
∂u |
= ex (−x sin y − sin y − ycos y), |
∂2u |
= ex |
[−x cos y − cos y + ysin y], |
|
∂y |
∂y2 |
||||
|
|
|
Таким образом, лапласиан ∆u равен нулю. Восстановим мнимую часть v(x,y) функции
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), пользуясь условиями Даламбера-Эйлера: |
∂u = |
∂v , |
∂u = − |
∂v |
. |
||
|
|||||||
|
|
|
∂x |
∂y |
∂y |
∂x |
|
Из первого условия получаем: |
∂v = |
∂u = ex (x cos y − ysin y) + ex cos y . Тогда |
|
|
|||
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
∂v
v(x, y) = ∫ ∂ydy + ϕ(x) , или v(x, y) = ∫(ex (x cos y − ysin y) + ex cos y)dy + ϕ(x) =
= ex (x sin y + cos y + ycos y − cos y) + ϕ′(x) = ex (x sin y + ycos y) + ϕ(x) . Производная по x от
этого выражения равна ∂v = ex (x sin y + ycos y + sin y) + ϕ′(x). С другой стороны по второму
∂x
условию Даламбера-Эйлера ∂v = − ∂u = −ex (−x sin y − sin y − ycos y). Приравнивая эти
∂x ∂y
выражения, получим: ϕ′(x) = 0. Отсюда ϕ(x) = C. Таким образом,
v(x, y) = ex (x sin y + ycos y) + C. Тогда f (z) = ex (x cos y − ysin y) + i (ex (x sin y + ycos y) + C).
Перейдём к переменной z:
f (z) = ex [x(cos y + isin y) + y(i2 sin y + icos y)] + iC) = ex [xeiy + iyeiy ] + iC =
= ex eiy (x + iy] + iC = ex+iyz + iC = z ez + iC .Воспользуемся дополнительным условием f(0)=i. В данном случае f(0)=0. Т.е. C=0.
Ответ. f(z) = ex (x cos y − ysin y) + i ex (x sin y + ycos y) = z ez .
Задача 6. Вычислить интеграл по дуге C от точки z1 до точки z2.
∫(1+ i + |
|
|
C − прямая, z1 = 0, z2 = −4 − 2i. |
z)dz; |
|||
C |
|
Решение. Вычислим интеграл, сводя его к криволинейным интегралам второго рода по формуле ∫f (z)dz = ∫udx − vdy + i∫udy + vdx . В данном случае f(z)=[1+i+(x-iy)] или
C C C
f (z) =1+ x + (1− y)i. Значит ∫f (z)dz = ∫(1+ x)dx − (1− y)dy + i∫(1+ x)dy + (1− y)dx . Примем x за
C C C
y x
параметр. Составим уравнение прямой , по которой проводится интегрирование: − 2 = − 4 , т.е. y = 1 x, dy = 1 dx . Начальной точке z1=0 соответствует значение x=0, конечной
22
z2=-4-2i – значение x=-4. Следовательно,
|
|
|
−4 |
1 |
|
1 |
−4 |
1 |
|
1 |
|
|
x |
|
5 |
|
x |
2 |
|
−4 |
|
3x |
|
−4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫(1+ i + |
z)dz = ∫[(1+ x) − |
(1− |
x)]dx + i ∫[ |
(1+ x) + (1− |
x)]dx = [ |
+ |
|
|
] |
|
+ i |
|
= 8 − 6i . |
|||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
C |
0 |
|
|
0 |
|
|
2 |
4 |
|
0 |
2 |
|
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫(1+ i + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ. |
z)dz = 8 − 6i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 7. Вычислить интеграл от аналитической функции. |
∫(2z + 3)dz . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
i−1 i−1
∫(2z + 3)dz = (z2 + 3z) = (i −1)2 + 3(i −1) − (1− i)2 − 3(1− i) = −2i + 3i − 3 + 2i − 3 + 3i = 6(i −1) .
1−i
1−i
i−1
Ответ. ∫(2z + 3)dz = 6(i −1) .
1−i
Задача 8. Найти интеграл, используя интегральную формулу Коши, по конту-
|
L∫ |
cos zdz |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
y2 |
=1, 3) L3 : (x − 3)2 + |
(y −1) |
2 |
|
рам L1, L2, L3. |
, |
1) L1 : |
|
z − i |
|
= |
, |
2) L2 : |
+ |
|
=1. |
|||||||
z3 − πz2 |
|
|
2 |
9 |
4 |
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 1). Подынтегральная функция аналитична всюду, за исключением точек z=0 и
z=π. В круге z − i ≤ 1 нет особых точка. Тогда по теореме Коши I1=0.
2
2). Внутри эллипса x2 + y2 ≤1 расположена одна особая точка z=0. Тогда по
42
интегральной формуле Коши :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
− (z − π)sin z − cos z |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
cos zdz |
|
|
|
(z − π) |
|
1 |
|
cos z |
|
|
2i |
|
|||||||||||
I |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= 2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
= = 2πi |
|
|
= − |
|
. |
2 |
∫ |
|
2 |
|
∫ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
(z − π) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − π) |
|
π |
|
|||||||||
|
|
|
L z |
|
|
L2 |
z |
|
|
|
1! |
dz |
(z − π) z=0 |
|
|
|
|
3) Внутри эллипса (x − 3)2 + (y −1)2 ≤1 также находится одна особая точки: z=π.
4
Воспользуемся снова интегральной формулой Коши:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos zdz |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
2i |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 = ∫ |
= ∫ |
|
z |
= |
2πi |
|
cos z |
|
= 2πi |
= − |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
(z |
− π) |
|
(z − π) |
|
|
z |
2 |
|
|
π |
2 |
|
π |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
3 |
|
|
|
|
|
L |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=π |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L3 |
|
|
|
|
Ответ. |
|
|
I |
|
|
= 0, |
|
I |
|
= − |
2i |
, |
|
|
|
I |
|
|
= − |
|
2i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 2 |
|
|
|
|
x |
|
|
областях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
1) |
|
|
2 < |
|
z |
|
< 5 |
|
2) |
|
|
|
|
z |
|
> 5. 3) 7<|z+2|; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 − 3z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
Решение. Корнями уравнения z2-3z-10=0 являются |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числа z1=5 и z2=-2. Разложим эту дробь на простые |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дроби: |
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
= |
A |
|
+ |
|
|
B |
|
= |
A(z + 2) + B(z − 5) |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 − 3z −10 |
z − 5 |
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − 5)(z + 2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Или A(z + 2) + B(z − 5) = z −1. При z=5 получим A=4/7. Если положить z=-2, то получим |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В=3/7. Следовательно, |
|
z −1 |
|
= |
4 |
|
|
1 |
|
|
+ |
3 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
1). В кольце 2 < |
|
z |
|
< 5 имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 − 3z −10 7 z |
− 5 7 z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
<1 и |
|
|
|
<1. Тогда дробь можно представить следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z5
|
z −1 |
= − |
4 |
|
|
1 |
|
|
+ |
3 |
|
1 |
|
|
. Воспользуемся формулой для бесконечно |
|||||||
|
z2 − 3z −10 |
|
|
|
z |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
7 |
5(1 |
− |
) |
7 |
|
z(1+ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||
убывающей геометрической прогрессии: |
|
1 |
=1+ q + q2 + ... + qn + ..., где |
|
q |
|
<1. В первой |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− q |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дроби q=z/5, во второй дроби q=-2/z. Следовательно,
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n−1 |
|
n−1 |
|
∞ |
n |
||||||||
|
|
|
|
= |
3 |
∑ |
|
|
2 |
|
− |
4 |
∑ |
z |
. 2). В кольце |
|
z |
|
> 5 выполняются неравенства |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n+1 |
|||||||||||
|
z |
|
− 3z −10 7 |
n=1 |
|
z |
|
|
|
|
7 |
n=0 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
<1 и |
5 |
<1. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zz
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n−1 |
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
4 5 |
n−1 |
+ (−1) |
n−1 |
3 2 |
n−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
4 |
.∑ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
3 |
|
∑ |
(−1) |
|
2 |
|
|
|
= |
1 |
.∑ |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2−3z−10 7 |
|
|
z(1− |
5 |
) |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
z(1 |
+ |
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
7 |
|
n=1 |
zn |
|
|
|
|
7 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) 7<|z+2|; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7 < |
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
< 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
7n |
|
|
|
∞ |
(−1)n zn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
3 |
|
1 |
|
= |
4 |
|
|
+ |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 − 3z −10 7 z |
− 5 7 z + |
2 7 |
|
|
(z + 2)(1− |
|
|
7 |
|
) |
|
|
|
|
7 z + 2 7 1 (z + 2)n+1 |
|
7 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
= |
|
4 |
∞ |
|
|
|
7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
3 |
|
∞ |
(−1)n zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в кольце 7<|z+2|; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 − 3z −10 7 1 (z + 2)n+1 |
|
|
|
7 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n−1 |
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Ответ. 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− |
4 |
|
∑ |
|
z |
. |
|
в кольце 2 < |
|
z |
|
< 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3z −10 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
.∑ |
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(−1) |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
в кольце |
|
z |
|
> 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 − 3z −10 7 n=1 |
|
|
7n |
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
(−1)n zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
4 ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
3 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в кольце 7<|z+2|; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 − 3z −10 7 1 (z + 2)n+1 |
|
|
7 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задачи 10-11. Вычислить интегралы с помощью вычетов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10. ∫ |
|
|
sh(πz) |
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
(z + 1) |
ch |
|
2 |
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
=4 z |
|
|
|
|
+ 8z +16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=2 |
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 10..Решим квадратное уравнение: z4+8z+16=(z2+4)2=0 или z1,2 = ±2i . Значения z1=2i и z2=-2i являются полюсами подынтегральной функции кратности 2. Тогда
sh(πz) |
sh(πz) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
z4 + 8z + 16 |
(z + 2i)2 (z − 2i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Res |
|
sh(πz) |
|
= |
1 |
lim |
|
|
d |
[(z + 2i)2 |
|
|
|
sh(πz) |
|
|
] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(z + 2i)2 (z − 2i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z1 |
1! z→−2i dz |
|
|
|
(z + 2i)2 (z − 2i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= lim |
πch(πz) (z − 2i)2 − sh(πz) 2(z − 2i) |
= |
πch(−2πi) (−2i − 2i)2 − sh(−2πi) |
2(− 2i − 2i) |
= − |
|
π |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
(z − 2i)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−2i − 2i)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z→−2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|||||||||||
Res |
|
sh(πz) |
|
= |
1 |
lim |
|
d |
[(z − 2i)2 |
|
|
|
|
|
sh(πz) |
|
] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(z + 2i)2 (z − 2i)2 |
|
|
|
(z + 2i)2 (z − 2i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
z2 |
1! z→2i dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
πch(πz) (z + 2i)2 − sh(πz) 2(z + 2i) |
= |
πch(2πi) (2i + |
2i)2 − sh(2πi) 2(2i |
+ 2i) |
= − |
|
π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
(z + 2i)4 |
|
|
|
|
|
|
|
(2i + 2i)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z→2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
Здесь учтено, что ch(2πi)=1, а sh(2πi)=0. Получим окончательно:
|
|
|
|
sh(πz) |
|
dz = 2πi (− |
|
π |
− |
π |
) = − |
π2i |
|
|
∫=4 z4 |
+ 8z + |
|
|
|
|
|
||||
z |
|
16 |
|
16 16 |
|
4 |
||||||
|
|
|
11. Подынтегральная функция имеет существенно особую точку z=1. Поэтому для вычисления вычета относительно этой точки следует разложить функцию в ряд Лорана. Воспользуемся разложением в ряд функций sh(w) и cos(w) по степеням w:
ch(w) =1+ |
w2 |
+ |
|
w4 |
|
+ |
w6 |
|
+ ... Полагая w = |
2 |
|
, получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2! |
4! |
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
z + |
1 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
2 |
6 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ch |
|
|
|
|
= (1+ |
|
) 1 |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
z − |
1 |
z |
−1 |
|
2(z − |
1) |
2 |
4!(z −1) |
3 |
5!(z −1) |
6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициентом при (z-1)-1 с учётом множителя будет число 2.
Вычет данной функции равен коэффициенту при (z-1)-1 в данном разложении, т.е.
Res |
z + 1 |
ch |
2 |
|
|
= 2 . Следовательно. |
|
|
∫ |
(z + 1) |
ch |
|
2 |
|
dz = 2πi 2 = 4πi . |
|||||||||||||
1 |
z −1 z −1 |
|
|
|
|
|
|
z =2 |
z −1 |
|
|
z −1 |
|
|
||||||||||||||
Ответ. 10. |
|
∫ |
|
|
|
sh(πz) |
dz = − |
π2i |
. |
|
|
|
11. ∫ |
(z |
+ 1) |
ch |
2 |
dz = 4πi |
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
=4 z |
|
+ 8z +16 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=2 |
z |
−1 |
|
|
z −1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12. Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов.
∞∫ x4 +1dx.
−∞ x6 + 1
Решение. Рассмотрим функциюf(z) = z4 +1 . Найдём полюсы этой функции: z6 +1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = ei |
π+2kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z6 = −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
или |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
. В данном случае в верхней полуплоскости расположены три |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ei |
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ei 6 (k = 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ei |
|
|
|
|
|
|
(k =1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k = 2). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полюса из шести: z |
1 |
|
|
|
|
z |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∞ |
|
|
x4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
2πi(Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
+1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−∞ x |
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 z |
|
|
+1 z3 z |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Res |
z4 |
+ |
1 |
= |
lim |
|
(z |
− z1)(z4 +1) |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − z1)(z4 + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z6 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)(z5 + z4z |
|
|
+ z3z2 |
|
|
+ z2z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1 z6 |
+1 |
|
|
|
|
z→z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→z1 (z − z |
1 |
|
1 |
|
|
+ zz4 + z5 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
+ isin |
+1 |
|
|
|
− |
+ i |
|
|
|
|
3 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(z14 + 1) |
|
|
|
|
|
|
6 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
i |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
= |
e |
= |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
= |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
= − |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6z15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ isin |
|
|
|
|
|
6(− |
|
|
3 |
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6( 3 − i) |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6(cos |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6e |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При разложении z6 +1 на множители было учтено, что z6 |
|
= −1. Аналогично, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z4 |
+ |
1 |
= |
z |
4 |
+1 |
= |
|
|
e |
|
|
+ 1 |
= |
|
cos 2π + isin 2π + 1 |
= |
2 |
|
= − |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Res |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6z52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 z6 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
6(cos |
+ isin |
|
) |
|
|
|
|
|
|
6i |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z34 +1 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
+ isin |
|
+1 |
|
|
|
− |
|
− i |
|
|
3 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
6 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− i 3 |
|
|
i |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Res |
= |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
= − |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z3 z6 +1 |
|
|
|
6z6 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
25π |
|
|
|
|
|
|
|
6(cos |
|
|
+ isin |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
+ |
i |
|
|
6( 3 + i) |
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6e |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x4 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Следовательно. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
2πi(− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
) |
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
+ |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
x4 +1 |
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ. |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
−∞ x |
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13. Вычислить интеграл от заданной ветви многозначной функции по кривой С от точки z1 до точки z2.
∫ |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
i |
|
. |
|
|
|
|
|
, где С прямая, z1=1, z2=-1, |
1− i |
|
3 = − |
+ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
z − i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
C |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
[cos ϕ + 2kπ + isin ϕ + 2kπ]. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Рассмотрим функцию z − i |
3 = |
z − i 3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривается та ветвь функции, для которой в точке z=1 величина z − i3 будет принимать заданное значение. С одной стороны
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[cos − π / 3 + 2kπ + isin − π / 3 + 2kπ]. С другой стороны |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1− i |
3 = |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
3 |
+ |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
(− |
3 |
+ |
i |
) = |
|
|
|
|
|
[cos( |
) + isin( |
)].. Сравнивая эти выражения, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1− i |
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
приходим к выводу, что указанной ветви функции соответствует значение k=1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, данная ветвь функции имеет уравнение |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[cos(ϕ + π) + isin(ϕ + π)]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z − i |
3 = |
|
|
z − i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 z − i |
3 |
|
= 2( |
|
−1− i 3 − |
|
|
1− i |
3) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z − i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2 |
|
{[cos( |
|
|
|
4π |
|
C |
3 |
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ π) + isin( |
|
+ π)] − [cos(− |
|
|
|
+ π) + isin(− |
|
+ π)]}= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
− |
|
3i |
+ |
|
|
|
|
3 |
− |
i |
] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= 2 |
2[ |
|
2[(1+ |
|
3) − (1+ |
3)i] = 2(1+ |
|
3)(1− i) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ. |
|
|
|
|
|
|
= |
|
2(1+ |
|
|
|
|
|
3)(1− i) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z − i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|