7. Функции комплексного переменного / m7var02
.pdfВариант 2
Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме):
а) Arccos 3; б) Ln(1− i)
Решение. а). Будем вычислять Arccos3 по формуле Arccos(z) = −i Ln(z + z2 −1) . В данном
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
примере z=3, следовательно, Arccos3 |
= −i Ln(3 ± 8) . Далее воспользуемся формулой |
|||||||||||||||||||||||||
Ln(z) = ln |
|
z |
|
+ i(ϕ + 2kπ) . В данном случае у функции Ln(z) имеется два значения z: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z1 = 3 + |
8 |
|
|
|
и z2 = 3 − 8 . Найдём модули и аргументы этих чисел: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z1 |
|
= 3 + |
8, |
ϕ1 = arg z1 = 0, |
|
z2 |
|
= 3 − |
8, ϕ2 = arg z2 = 0 , так как 3 − 8 > 0. Таким образом |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Arccos3 = −i Ln(3 ± 8) = −2kπ − i ln(3 ± |
8) . |
|
|
|
|
б). Воспользуемся формулой Ln(z) = ln z + i(ϕ + 2kπ) . В данном случае z =1− i . Найдём
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = arg z = arctg |
−1 |
|
|
= − π (четвёртая |
|||||||||||||||||
модуль и аргумент этого числа: |
|
|
|
|
= 12 + (−1)2 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) + i(− π + 2kπ) = ln( |
1 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
четверть). Таким образом Ln(1− i) = ln( |
|
|
1 |
) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) + iπ(2k − |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а) Arccos3 = 2kπ − i ln(3 ± |
|
|
8) ; б) Ln(1− i) = ln |
|
+ iπ(2k − |
1 |
). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ. |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
Задача 2. Выяснить геометрический смысл соотношения. Сделать чертёж. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 2 |
|
|
− |
|
z + 2 |
|
<1. |
|
|
|
|
x − 2 + iy |
|
− |
|
x + 2 + iy |
|
<1. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение. Так как z=x+iy, то данное соотношение имеет вид: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Или |
(x − 2)2 + y2 − (x + 2)2 + y2 <1. Перенесём второй корень в правую часть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенства и возведём обе части в квадрат. Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
x2 |
− 4x + 4 + y2 <1+ 2 |
|
(x + 2)2 |
+ y2 + x2 + 4x + 4 + y2 . Или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 (x + 2)2 + y2 > −(1+ 8x) . Отметим, что при 1+8x>0 данное |
xнеравенство выполняется всегда. Поэтому границу области,
определяемой неравенством, нужно искать при 1+8x<0, т.е. x<-1/8. Возведём полученное равенство ещё раз в квадрат:
|
|
|
|
|
4x2 + 16x + 16 + 4y2 >1+ 16x + 64x2 . Или |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
60x2 − 4y2 <15.Поделив всё равенство на правую часть, |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
получим : 4x2 − |
4y2 |
|
<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. Данное соотношение представляет область, являющуюся внешней часть левой |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ветви гиперболы 4x2 − |
4y2 |
=1( так как переменная x на границе области должна быть |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отрицательной). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 3. Решить уравнение: |
sin z − cos z = i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. Перейдём к гиперболическим функциям: sin z = −i sh(iz), |
cos z = ch(iz). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Получим уравнение − i sh(iz) − ch(iz) = i. Или − i |
1 |
(e |
iz |
− e |
−iz |
) − |
1 |
(e |
iz |
+ e |
−iz |
) = i.Умножим |
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравнение на 2eiz. Тогда уравнение примет вид: (1+ i)e2iz |
+ 2ieiz |
|
+ 1− i = 0 . Введём |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
обозначение V=eiz. Найдём корни квадратного уравнения (1+i)V2+2iV+1-i=0: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− 2i + |
(−2i)2 |
− 4(1− i)(1+ i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
V = |
= |
− 2i ± i 2 3 |
= |
|
(−1 |
± 3)i |
= |
(−1± |
|
3)i(1 |
− i) |
= |
(−1± 3)(i +1) |
. |
||||||||||||||||||||
|
2(1 |
+ i) |
|
|
2(1+ i) |
|
1+ i |
|
|
|
12 |
|
− i2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
3 −1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
i |
|||||||||||||
Таким образом, имеем два корня: V |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Найдём модули и аргументы этих чисел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|||||||
|
|
V |
|
= |
|
3 |
1 |
, |
ϕ |
= arg V |
|
= |
, |
|
|
V |
|
|
|
= |
|
|
|
3 |
1 |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 |
|
1 |
|
|
i |
||||||||
V |
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ2 = arg V2 = 5π . 4
Так как V=eiz, то iz=LnV или z=-i·LnV. Далее воспользуемся формулой
LnV = ln V + i(ϕ + 2kπ) . Получим:
z |
|
= −i |
LnV |
= −i[ln |
|
|
3 |
− |
1 |
|
+ i(π + |
2kπ)] = π + 2kπ − i ln |
|
|
3 |
|
− |
1 |
|
. Аналогично, |
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z |
|
= −i LnV |
|
= −i[ln |
|
3 + 1 |
+ i( |
5π |
|
+ 2kπ)] = |
5π |
+ 2kπ − i ln |
3 |
+ |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ответ. |
z |
|
= |
+ 2kπ − i ln |
|
|
3 |
1 |
, |
z |
|
= |
+ 2kπ − i ln |
|
3 |
1 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Восстановить аналитическую функцию по заданной действительной части её:
Re f (z) = u = x3 + 6x2 y + Axy2 − 2y3 , если f(0)=0.
Решение. Чтобы функция u(x,y) бала действительной частью аналитической функции нужно, чтобы она была гармонической, т.е. её лапласиан ∆u был бы равен нулю: ∆u=0,
≡ |
∂2 |
+ |
∂2 |
Проверим выполнение этого условия, для чего найдём производные |
||||
|
|
|
|
. |
||||
∂x |
2 |
∂y |
2 |
|||||
|
|
|
|
второго порядка от u по x и по y:
∂u |
= 3x |
2 +12xy |
+ Ay2 , |
∂2u |
= 6x |
+12y, |
∂u |
= 6x |
2 + 2Axy |
− 6y2 , |
∂2u |
= 2Ax |
−12y. |
|
∂x |
∂x2 |
∂y |
∂y2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы лапласиан ∆u был равен нулю, нужно положить A=-3. Таким образом, функция u(x, y) = x3 + 6x2 y − 3xy2 − 2y3 является гармонической. Восстановим мнимую часть v(x,y)
функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y), пользуясь условиями Даламбера-Эйлера: |
∂u = ∂v , |
∂u = − |
∂v |
. |
|||
|
|||||||
|
|
|
∂x |
∂y |
∂y |
∂x |
|
Из первого условия получаем: |
∂v = |
∂u = 3x2 +12xy − 3y2. Тогда v(x, y) = ∫ |
∂vdy + ϕ(x) , или |
||||
|
∂y |
∂x |
|
∂y |
|
|
|
v(x, y) = ∫(3x2 + 12xy − 3y2 )dy + ϕ(x) = 3x2 y + 6xy2 − y3 + ϕ(x). Производная по x от этого
выражения равна ∂v = 6xy + 6y2 + ϕ′(x). С другой стороны по второму условию
∂x
Даламбера-Эйлера ∂v = −6x2 + 6xy + 6y2. Приравнивая эти выражения, получим:
∂x
6xy + 6y2 + ϕ′(x) = −6x2 + 6xy + 6y2 . Отсюда ϕ′(x) = −6x2 . Или ϕ(x) = −2x3 + C. Таким
образом, v(x, y) = 3x2 y + 6xy2 − y3 − 2x3 + C.Тогда
f (z) = x3 + 6x2 y − 3xy2 − 2y3 + i (3x2 y + 6xy2 − y3 − 2x3 + C). Перейдём к переменной z:
f (z) = x3 + 3ix2 y − 3xy2 − 3iy3 − 2i (x3 + 3ix2 y − 3xy2 − iy3 + C) = z3 (1− 2i) + iC.. Воспользуемся дополнительным условием f(0)=0. В данном случае f(0)=iC. Следовательно, C=0.
Ответ. f (z) = x3 + 3ix2 y − 3xy2 − 3iy3 − 2i (x3 + 3ix2 y − 3xy2 − iy3 + C) = z3 (1 − 2i).
Задача 6. Вычислить интеграл по дуге C от точки z1 до точки z2.
∫z Imzdz; |
C − прямая, z1 = 0, z2 = 2 + i. |
C |
|
Решение. Получим сначала уравнение прямой С: |
y − y1 |
= |
x − x1 |
, т.е. y = |
x |
. Вычислим |
|
|
|||||||
y2 − y1 |
x2 − x1 |
||||||
|
|||||||
|
|
2 |
|
интеграл, сводя его к криволинейным интегралам второго рода по формуле
∫f (z)dz = ∫udx − vdy + i∫udy + vdx . В данном случае f(z)=(x+iy)y или f (z) = xy + iy2 . Значит
C C C
∫f (z)dz = ∫xydx − y2dy + i∫xydy + y2dx . Примем x за параметр. Тогда y = |
x |
, |
dy = |
dx |
. |
||
2 |
|
||||||
C |
C |
C |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
Начальной точке z1=0 соответствует значение x=0, конечной z2=2+i – значение x=2.
|
2 |
x |
2 |
|
x |
2 |
2 |
x |
2 |
|
x |
2 |
|
x |
3 |
|
x |
3 |
|
|
2 |
|
x |
3 |
|
|
2 |
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Следовательно, ∫z Imzdz = ∫( |
|
− |
|
)dx + i∫( |
|
+ |
|
)dx = [ |
|
− |
|
] |
|
|
+ i |
|
|
|
=1+ |
. |
|||||||||
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
C |
0 |
8 |
0 |
4 |
6 |
24 |
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. ∫z Im z dz =1+ 4i .
3
C
i
Задача 7. Вычислить интеграл от аналитической функции. ∫z ch z dz .
0
Решение. Применим формулу интегрирования по частям:
i |
u = z du = dz |
|
|
i |
||
∫z ch z dz = |
= z sh z |
|
i0 − ∫sh z dz = i sh i − ch z |
|
i0 = i sh i − ch i + 1 |
|
|
|
|||||
dv = ch z dz v = sh z |
|
|
||||
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
Перейдём к тригонометрическим функциям: sh i = isin1, ch i = cos1.Получим:
i
∫z ch z dz =1− sin1− cos1.
0
i
Ответ. ∫z ch z dz =1− sin1− cos1.
0
Задача 8. Найти интеграл, используя интегральную формулу Коши, по конту-
|
|
|
|
|
|
(z |
2 + 1)dz |
|
|
|
|
|
|
|
(x |
+ 1) |
2 |
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
рам L1, L2, L3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
1) L1 : |
z + i |
=1, |
2) L2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
=1, |
|
3) L3 : |
z |
= 3. |
|
|||||||||||
L∫ (z + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1)(z − 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 1). Подынтегральная функция |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналитична всюду, за исключением точек z=-1 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=2. В круге |
|
z + i |
|
|
≤1подынтегральная функция |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z2 +1)dz |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналитична. Следовательно, I |
|
|
= |
|
|
= 0. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∫ (z +1)(z − 2)2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). Внутри эллипса |
|
(x +12 |
|
+ |
y2 |
|
≤1 есть одна |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
особая точка z=-1. Тогда по интегральной формуле |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 + 1 |
|
|
dz |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 = ∫ |
(z2 + 1)dz |
|
|
|
|
|
∫ |
|
(z |
− 2)2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z + 1)(z − 2) |
2 |
|
|
|
|
z + 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
2 |
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 +1 |
|
|
|
4πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
2πi |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(z − 2)2 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
z=−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3). Внутри области |
|
|
z |
|
≤ 3 расположены обе особые точки. Поэтому применим теорему |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Коши для многосвязной области:
I3 = |
|
(z2 |
+1)dz |
|
= |
(z |
2 + 1)dz |
+ |
|
(z |
2 + 1)dz |
, где l1 |
- окружность достаточно |
L3∫ (z +1)(z − 2) |
|
|
|
l∫ |
|
|
|||||||
|
2 |
l∫ |
(z + 1)(z − 2)2 |
|
(z + 1)(z − 2)2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
малого радиуса с центром в точке z=-1, а l2 - окружность малого радиуса с центром в точке z=2. Первый интеграл в этой сумме совпадает с I2. Вычислим второй интеграл по интегральной формуле Коши:
|
|
|
|
|
z2 + 1 |
dz |
|
|
|
z2 |
+ 1 |
||||
|
|
2 + 1)dz |
|
|
|
|
2πi |
|
|
||||||
|
(z |
|
|
z + 1 |
|
d |
|||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
∫ (z + |
1)(z − 2)2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(z − 2)2 |
1! |
|
dz z |
+ 1 |
||||||||||
l2 |
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=2 |
. Тогда I3 = 4πi + 14πi = 2πi.
99
|
2z(z + 1) − (z2 |
+ 1) |
|
|
14πi |
|
= 2πi |
|
|
|
= |
|
|
(z + 1)2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
9 |
||
|
|
|
z=2 |
|
|
|
Ответ. |
I |
|
= 0, |
I |
|
= |
4πi |
, |
I |
|
= 2πi. |
1 |
2 |
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.
|
z + 2 |
1) 4 < |
|
< 5 |
|
|
> 5. 3) 1<|z-4|. |
|
|
|
, |
z |
2) |
z |
|||
z2 |
|
|||||||
− 9z + 20 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Решение. Корнями уравнения z2-9z+20=0 являются числа z1=5 и z2=4. Разложим эту дробь
на простые дроби: |
|
z +1 |
= |
A |
|
+ |
B |
= |
A(z − 4) + B(z − 5) |
. Или |
|
2 − 9z + 20 |
|
|
|
|
|||||
|
z |
|
z − |
5 |
|
z − 4 |
|
(z − 5)(z − 4) |
A(z − 4) + B(z − 5) = z + 2 . При z=5 получим A=7. Если положить z=4, то получим В=-6.
Следовательно, |
|
z + 2 |
= 7 |
1 |
− 6 |
1 |
. 1). В кольце 4 < |
|
z |
|
< 5 имеем |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
z |
|
|
|
z |
2 − 9z + 20 |
|
z − 5 |
|
z − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
<1 и |
|
|
|
|
<1. Тогда дробь можно представить следующим образом: |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z5
|
|
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
= 7 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− 6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 − 9z + 20 |
5(1− |
z |
) |
|
|
z(1− |
4 |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
геометрической прогрессии: |
|
|
1 |
|
|
|
|
=1+ q + q2 + ... + qn + ..., где |
|
|
|
q |
|
<1. В первой дроби q=z/5, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
во второй дроби q=4/z. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
4 |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −6 ∑ |
|
|
|
+ 7 ∑ |
z |
. 2). В кольце |
|
z |
|
> 5 |
выполняются неравенства |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
2 |
− 9z + |
20 |
|
|
|
n |
n+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 z |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 5 |
|
|
|
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
7 5 |
n |
−1 |
− 6 4 |
n−1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
<1 и |
|
|
|
<1. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 7 |
|
|
|
|
|
|
− 6 |
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z2 − 9z + |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
zn |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
z(1 |
|
− |
) |
|
|
z(1− |
) |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) 1 < |
|
z − 4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
< 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= 7∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6∑ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
z2 |
− 9z + 20 |
|
|
|
z − |
5 |
|
z − |
4 |
|
(z − 4)(1− |
|
1 |
|
|
|
|
z − 4 |
|
(z − 4)n+1 |
4n+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 7∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
z2 − 9z + 20 |
|
(z − |
4)n+1 |
|
|
4n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
4 |
n−1 |
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Ответ. 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −6 ∑ |
|
|
+ 7 |
∑ |
z |
|
в кольце 4 < |
|
z |
|
< 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 9z + 20 |
|
|
|
|
|
n=1 z |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + 2 |
|
∞ |
7 5 |
n−1 |
− 6 |
4 |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2). |
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
в кольце |
|
z |
|
> 5 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 − 9z + 20 n=1 |
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
z + 2 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
zn |
|
|
|
|
|
|||
3) |
|
|
|
|
= 7∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6∑ |
|
|
|
в кольце 1<|z-4|. |
|||||||||||
z2 |
− 9z + 20 |
(z − 4)n+1 |
|
4n+1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задачи 10-11. Вычислить интегралы с помощью вычетов. |
|||||||||||||||||||||||||||||
10. ∫ |
|
2z |
|
+1 |
dz |
11. |
|
|
∫ |
(z + 3)3 cos |
2 |
dz |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z |
|
=2 |
(z |
−1)z |
|
|
|
|
z−1 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 10. Разложим подынтегральную функцию на простые дроби. Знаменатель представляется в виде (z3-1)z=z(z-1)(z2 +z+1). Следовательно,
2z +1 |
= |
A |
+ |
B |
|
+ |
|
Cz + D |
. Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители |
|
|
z − |
|
|
|
||||
(z3 −1)z |
|
z |
1 z |
2 + z +1 |
правой и левой части, получим: A(z-1)(z2 +z+1)+Bz(z2 +z+1)+z(Cz+D)(z-1)=2z+1. Полагая z=0, находим A=-1. Полагая z=1, находим B=1. Для определения С и В приравняем коэффициенты при z3 и z2 в правой и левой части равенства. Получим систему уравнений:
A + B + C = 0
Решая систему, находим: C=0, D=-1. Таким образом,B − C + D = 0
|
∫ |
2z |
+ 1 |
dz = − ∫ |
1 |
dz + |
|
∫ |
1 |
|
dz − ∫ |
|
|
1 |
|
dz = 2πi(−1+ 1) − ∫ |
|
|
1 |
|
dz. |
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
z |
|
=2 |
(z |
−1)z |
|
z |
|
=2 z |
|
z |
|
=2 z −1 |
|
|
z |
|
=2 z |
|
+ z + 1 |
|
|
z |
|
=2 z |
|
+ z + 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Два первых интеграла сразу вычислены по формуле Коши, третий интеграл найдём с помощью вычетов. Полюсами подынтегральной функции являются значения
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
= − |
+ |
i и z |
2 |
= − |
− |
i . Заметим, что z |
1 |
− z |
2 |
= 3i . Тогда |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res |
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
|||
z2 |
− z +1 |
||||
z1 |
|
||||
Res |
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
|||
z2 |
+ z +1 |
||||
z2 |
|
окончательно:
lim[(z
z→z1
lim [(z
z→z2
1
− z1) (z − z1)(z − z2 )
1
− z2 ) (z − z1)(z − z2 )
1 z→z1 (z − z2 )
] = lim
1
z→z2 (z − z1)
= |
|
1 |
= |
1 |
|
= − |
i |
|
. |
||
(z1 |
− z2 ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
3i |
|
|
= |
|
1 |
= |
|
1 |
|
|
= |
i |
|
. Получим |
|
(z2 |
− z1) |
− |
|
|
|
|
|
|
||||
|
3i |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
2z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = 2πi(−1+1) − 2πi |
|
|
|
Res |
|
|
|
|
|
|
|
= −2πi |
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z |
|
=2 (z −1)z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 zi z |
|
+ z + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
11. Подынтегральная функция имеет существенно особую точку z=0. Поэтому для |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вычисления вычета относительно этой точки следует разложить функцию в ряд Лорана. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Воспользуемся разложением в ряд функции cos(w) по степеням w: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos w =1− |
w2 |
+ |
w4 |
− |
w6 |
+ ... Полагая w = |
2 |
, найдём разложение данной функции: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(z + 3)3 |
|
2 |
|
|
|
3)3 (1− |
22 |
|
|
|
24 |
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
= z3 |
+ 9z2 + |
|
|
|
|
|
|
2(z3 + 9z2 + 27z + 27) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
= (z + |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ ...) |
27z + 27 − |
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2z2 |
|
|
|
720z6 |
|
|
z2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
2(z3 |
+ 9z2 |
+ 27z + 27) |
− ... = z3 + 9z2 + 25z + 9 − |
(54 − |
|
2 |
) |
|
1 |
|
− (54 −18) |
1 |
− ... = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3z4 |
|
|
|
3 |
|
z |
z2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= z3 + 9z2 + 25z + 9 − |
160 |
|
1 |
− 36 |
|
1 |
|
− ... |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычет данной функции равен коэффициенту при z-1 в данном разложении, т.е. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Re |
s[( z + 3 ) 3 cos |
|
2 |
] = − |
160 |
. Следовательно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ (z + 3)3 cos |
2 |
dz = 2πi Res[(z + 3)3 cos |
2 |
] = 2πi (− |
160 |
) = − |
320 |
πi. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z−1 |
|
=1 |
|
|
|
|
z |
0 |
|
|
|
z |
3 |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ. 10. ∫ |
|
2z +1 |
dz = 0. 11. |
∫ (z + 3)3 cos |
2 |
dz = − |
320 |
πi. |
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
=2 |
(z −1)z |
|
z−1 |
|
=1 |
|
|
z |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12. Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов.
∞ |
x2 − x + 2 |
|
∫ |
|
dx. |
(x4 + 10x2 + 9) |
||
−∞ |
|
|
Решение. В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=i и z=3i.
Функции f(z) = |
|
z2 − z |
+ 2 |
|
= |
|
|
|
z2 |
− z + 2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(z4 +10z |
2 + 9) |
(z2 +1)(z |
2 + 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
x2 − x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 − z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 − z + 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2πi(Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
||||||||||||||
|
|
(x |
2 |
+ 1)(x |
2 |
+ |
9) |
(z |
2 |
+1)(z |
2 |
+ |
9) |
|
(z |
2 |
+1)(z |
2 |
+ |
9) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res |
|
z2 − z |
+ 2 |
|
= lim |
|
(z − i)(z2 − z + 2) |
|
|
= |
|
|
|
|
1− i |
= |
|
1 |
|
− i |
|
= |
1− i |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i(i2 |
|
|
|
|
2i 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
i |
(z |
2 |
+1)(z |
2 |
+ |
9) |
|
|
z→i (z + i)(z − i)(z2 |
+ 9) |
|
|
|
|
+ 9) |
|
|
|
|
|
16i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res |
|
z2 − z |
+ 2 |
|
= lim |
|
(z − 3i)(z2 − z + 2) |
|
|
= |
|
|
− 7 − 3i |
|
|
|
= |
− |
7 − 3i |
= |
|
7 + 3i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6i(9i2 + 1) |
|
− 6i 8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3i |
(z |
2 |
+1)(z |
2 |
+ |
9) |
|
|
z→3i (z + 3i)(z − 3i)(z2 |
+ |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
48i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
x2 − x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1− i |
|
|
|
7 + 3i |
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Следовательно. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2πi( |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
) |
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
+ |
|
|
2 |
+ 9) |
|
16i |
48i |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ (x |
|
1)(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
x2 − x + 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
− i |
|
|
7 |
+ |
3i |
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответ. |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
2πi( |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
) |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
+ 1)(x |
2 |
+ 9) |
|
|
|
|
48i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−∞ (x |
|
|
|
|
|
|
|
16i |
|
i |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13. Вычислить интеграл от заданной ветви многозначной функции по кривой С от точки z1 до точки z2.
∫ln zdz , где С прямая, z1=2-2i, z2=-2-2i, ln(2 − 2i) = ln |
|
− |
9 |
πi . |
|
8 |
|||||
|
|||||
C |
4 |
|
|||
|
|
|
|
Решение. Рассмотрим функцию ln z = ln z + i(ϕ + 2kπ). Рассматривается та ветвь функции,
для которой в точке 2-2i величина lnz будет принимать заданное значение. С одной стороны ln(2 − 2i) = ln 8 + i(− π + 2kπ). С другой стороны ln(2 − 2i) = ln 8 − 9 πi . Сравнивая
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||
эти выражения, приходим к выводу, что указанной ветви функции соответствует |
|||||||||||||||||||||||||||||||
значение k=-1. Следовательно, данная ветвь функции имеет уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ln z = ln |
|
z |
|
|
+ i(ϕ − 2π). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
u = ln z |
du = |
dz |
|
|
2−−22i−2i |
|
|
|
|
|
|
2−−22i−2i |
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ln z dz = |
|
= z ln z |
|
− ∫dz = z(ln z −1) |
|
= (−2 − 2i)(ln |
|
+ i(− |
− 2π) −1) − |
||||||||||||||||||||||
z |
|
|
8 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
dv = dz |
v = z |
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
− (2 − 2i)(ln |
|
+ i(− π − 2π) −1) = −4ln |
|
|
+ 4 + |
3πi |
+ 4πi − |
3π |
− 4π + |
πi |
+ 4πi + |
π |
+ 4π. = |
||||||||||||||||||
8 |
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
= 4 − π − 6ln 2 + 10πi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ. |
|
∫ln zdz = 4 − π − 6ln 2 + 10πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|