7. Функции комплексного переменного / m7var14
.pdfВАРИАНТ 14
ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ):
а) Arch2i; б) 3i −1
РЕШЕНИЕ. А). БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARCH3 ПО ФОРМУЛЕ Arch(z) = Ln(z + z2 −1). В ДАННОМ
ПРИМЕРЕ Z=2I, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch 2i = Ln(2i ± |
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− 5) = Ln(2i ± i 5) . ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ |
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ФОРМУЛОЙ Ln(z) = ln |
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z |
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+ i(ϕ + 2kπ) . В ДАННОМ СЛУЧАЕ У ФУНКЦИИ LN(Z) ИМЕЕТСЯ ДВА |
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ЗНАЧЕНИЯ Z: z1 = (2 + |
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z2 = (2 − |
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5)i |
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и |
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5)i . НАЙДЁМ МОДУЛИ И АРГУМЕНТЫ ЭТИХ ЧИСЕЛ: |
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π |
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π , ТАК КАК 2 − |
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< 0 . ТАКИМ |
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z |
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= 2 + 5, |
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ϕ |
= arg z |
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= |
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, |
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z |
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= |
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5 |
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− 2, |
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ϕ |
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= arg z |
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= − |
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5 |
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2 |
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± 2) + iπ(2k ± |
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) . |
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ОБРАЗОМ Arch 2i = Ln((2 ± |
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5)i) = ln( |
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Б) ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛОЙ n |
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(cos ϕ + 2kπ + isin |
ϕ + 2kπ). В ДАННОМ СЛУЧАЕ |
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= n |
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z |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
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n |
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|
n |
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||||||||
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3 |
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(cos |
3π / 4 + 2kπ |
+ isin |
3π / 4 + 2kπ |
) = 3 |
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π |
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2kπ |
) + isin( |
π |
+ |
2kπ |
)) . ПРИ K=0, |
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= 3 |
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i −1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i −1 |
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2 (cos( |
+ |
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3 |
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3 |
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4 |
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3 |
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4 |
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3 |
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1, 2 ПОЛУЧАЕМ КОРНИ: z1 = |
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6 |
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(cos |
π |
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+ isin |
π |
) = 6 |
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( |
1 |
+ |
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i |
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= |
1+ i |
, |
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2 |
2 |
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) |
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4 |
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2 |
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4 |
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2 |
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3 2 |
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π |
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2π |
) + isin( |
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π |
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2π |
) = |
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11π |
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11π |
), |
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z2 = 3 |
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6 |
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(cos |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 (cos( |
+ |
|
+ |
2 |
|
+ isin |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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4 |
3 |
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12 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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12 |
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π |
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4π |
) |
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|
|
π |
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4π |
) = |
|
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19π |
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19π |
) . НАЙДЁМ ЗНАЧЕНИЯ СИНУСОВ И |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z3 = 3 |
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6 |
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(cos |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 (cos( |
+ |
|
|
+ isin( |
+ |
|
|
2 |
+ isin |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
3 |
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12 |
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3 |
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12 |
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КОСИНУСОВ: cos |
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1 (1+ cos |
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11π |
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1 (1+ |
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3 |
) = ± 1 |
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. ТОГДА |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= ± |
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) |
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= ± |
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2 + |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
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2 |
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6 |
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2 |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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11π |
= ± 1− cos2 |
11π |
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1 |
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1 |
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. АНАЛОГИЧНО, |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin |
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= ± |
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1− |
(2 + |
3) = ± |
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2 − |
|
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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12 |
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4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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12 |
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2 |
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19π |
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7π |
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7π = M |
1 |
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7π |
) = M 1 |
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3 |
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= M 1 |
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. ТОГДА |
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cos |
|
= cos( |
|
+ π) = − cos |
(1 |
|
+ cos |
|
(1 |
|
− |
|
|
) |
|
|
|
2 − |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
12 |
2 |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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12 |
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12 |
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6 |
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2 |
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|
2 |
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|
|
2 |
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|
sin 1912π = ±1− cos2 1912π = ±1− 14 (2 − 3) = ± 12 2 + 3 . ЗНАКИ СИНУСА И КОСИНУСА ОПРЕДЕЛЯЕМ ПО РАСПОЛОЖЕНИЮ КОРНЕЙ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ. КОРЕНЬ Z2 РАСПОЛОЖЕН ВО ВТОРОЙ ЧЕТВЕРТИ, А КОРЕНЬ Z3 РАСПОЛОЖЕН В ЧЕТВЁРТОЙ ЧЕТВЕРТИ. СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
z2 = 6 |
|
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|
11π |
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11π |
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= 6 |
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1 |
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1 |
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6 |
2 |
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2 − 3 ) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
(cos |
|
|
|
+ isin |
|
|
|
|
) |
2 (− |
|
|
|
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|
2 |
+ |
3 |
|
+ i |
|
|
|
2 − |
3) = |
|
|
|
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|
(− |
2 + |
|
|
3 + i |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
12 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||
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19π |
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|
19π |
|
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6 |
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z3 = 6 |
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= 6 |
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1 |
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1 |
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2 |
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|||||||||||||||||
|
2 (cos |
|
+ isin |
) |
|
2 ( |
|
2 |
− |
|
3 − i |
|
2 + |
|
3 ) = |
|
|
|
( 2 |
− 3 |
|
+ i 2 + |
3 ) . |
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
12 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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1+ i |
|
|
|
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6 |
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|
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||||||||
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1 |
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|
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|
2 |
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|||||||||||||
ОТВЕТ. А) Arch 2i = ln( |
|
5 ± 2) + iπ(2k ± |
) |
; Б). z1 = |
. z2 = |
|
(− |
2 + |
|
3 + i |
2 − |
3 ) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|||||||
6 |
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2 |
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|||||
z3 = |
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( 2 − 3 |
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+ i 2 |
+ 3 ) |
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|||||||||||
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2 |
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ЗАДАЧА 2. ВЫЯСНИТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СООТНОШЕНИЯ. СДЕЛАТЬ ЧЕРТЁЖ.
Im 1z <1.
YРЕШЕНИЕ. ТАК КАК Z=X+IY, ТО ДАННОЕ СООТНОШЕНИЕ ИМЕЕТ
X |
1 |
|
|
ВИД: Im |
<1. |
||
x + iy |
|||
|
|
1
ИЛИ Im |
x − iy |
= |
− y |
<1. ПРИВОДЯ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ И ОТБРАСЫВАЯ ЕГО, |
|
x2 + y2 |
x2 + y2 |
||||
|
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|
ПОЛУЧИМ: x2 + y2 > −y . ВЫДЕЛЯЯ ПОЛНЫЙ КВАДРАТ СУММЫ, МОЖНО ЗАПИСАТЬ: x2 + (y + 12)2 > 14 .
ОТВЕТ. ДАННОЕ СООТНОШЕНИЕ ОПРЕДЕЛЯЕТ ОБЛАСТЬ, РАСПОЛОЖЕННУЮ ВНЕ КРУГА РАДИУСА 1/2 С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ (0; -1/2).
ЗАДАЧА 3. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ: |
e2z − (2 + 3i)ez + 3i =1. |
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РЕШЕНИЕ. ОБОЗНАЧИМ V=EZ И РЕШИМ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ |
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V2-(2+3I)V+3I-1=0: |
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+ |
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(2 + 3i) |
2 |
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12i − 4 |
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2 + |
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2 + 3i |
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2 |
+ |
(3 ±1)i |
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V |
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= |
2 |
3i |
± |
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− |
= |
3i |
± − |
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1 |
|
= |
|
± |
i |
|
= |
. ТАКИМ ОБРАЗОМ, |
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1,2 |
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2 |
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4 |
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4 |
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2 |
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4 |
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2 |
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2 |
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2 |
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ИМЕЕМ ДВА КОРНЯ: V1 =1+ 2i, |
V2 =1+ i . |
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НАЙДЁМ МОДУЛИ И АРГУМЕНТЫ ЭТИХ ЧИСЕЛ: |
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π . |
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V |
= |
|
5, |
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arg V |
|
= arctg2, |
|
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V |
|
= 2, |
arg V |
= |
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|
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1 |
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1 |
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2 |
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2 |
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4 |
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|||||||||||
ТАК КАК V=EZ, ТО Z=LNV. ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛОЙ LnV = ln |
|
V |
|
+ i(ϕ + 2kπ) . |
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ПОЛУЧИМ: z |
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+ |
πi |
+ 2kπi |
|
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1 |
= LnV = ln |
|
5 + i(arctg2 + 2kπ), |
|
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|
z |
2 |
= LnV |
|
= ln |
|
2 |
|
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1 |
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2 |
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|
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4 |
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||||||||
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ОТВЕТ. z1 = ln |
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πi |
+ 2kπi . |
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|
5 + i arctg2 + 2kπi, |
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|
z2 = ln |
2 + |
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4 |
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ЗАДАЧА 4. ДОКАЗАТЬ ТОЖДЕСТВО. |
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sin(z + π) = −sin z . |
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||||||||||||
РЕШЕНИЕ. ПЕРЕЙДЁМ К СИНУСУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМУ ПО ФОРМУЛЕ sin z = −i sh iz |
И |
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РАССМОТРИМ ЛЕВУЮ ЧАСТЬ ТОЖДЕСТВА: |
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eiz+πi |
− e−iz−πi |
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i |
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−iz |
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πi |
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−iz |
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−πi |
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i |
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|
iz |
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|||||||||||||||||||
sin(z + π) = −i sh(i z + πi) = −i |
|
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|
= − |
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|
(e |
|
|
e |
|
|
|
− e |
|
|
e |
|
|
|
) = − |
|
|
|
(e |
|
|
|
(cos π + isin π) − |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|||||||
− e |
−iz |
(cos |
π − isin π)) = − |
i |
(e |
iz |
(−1) − e |
−iz |
(−1)) = |
i |
(e |
iz |
− e |
−iz |
) |
= i sh iz = −sin z , ЧТО И ТРЕБОВАЛОСЬ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ДОКАЗАТЬ.
ЗАДАЧА 5. ВОССТАНОВИТЬ АНАЛИТИЧЕСКУЮ ФУНКЦИЮ ПО ЗАДАННОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ
ЕЁ:
Ref(z) = u = ln x2 + y2 , ЕСЛИ F(I)=0.
РЕШЕНИЕ. ЧТОБЫ ФУНКЦИЯ U(X,Y) БАЛА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТЬЮ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ НУЖНО, ЧТОБЫ ОНА БЫЛА ГАРМОНИЧЕСКОЙ, Т.Е. ЕЁ ЛАПЛАСИАН ∆U БЫЛ БЫ РАВЕН
НУЛЮ: ∆U=0, |
|
≡ |
∂ |
2 |
+ |
|
∂ |
2 |
. ПРОВЕРИМ ВЫПОЛНЕНИЕ ЭТОГО УСЛОВИЯ, ДЛЯ ЧЕГО НАЙДЁМ |
|||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||
∂x2 |
∂y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОТ U ПО X И ПО Y: |
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
∂u |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
= |
|
x |
, |
∂2u |
= |
x2 + y2 − 2x2 |
= |
y2 |
− x2 |
, |
∂u |
= |
y |
, |
|||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
∂x2 |
x2 + y2 |
x2 |
+ y2 |
∂y |
x2 + y2 |
|||||||||||
|
|
|
|
x2 + y2 2 x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∂2u |
= |
x2 + y2 − 2y2 |
|
= − |
|
y2 − x2 |
. ЛАПЛАСИАН ∆U РАВЕН НУЛЮ, ЗНАЧИТ ФУНКЦИЯ |
|
||||||||||||||||||||||||||
∂y2 |
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x, y) = ln x2 + y2 ЯВЛЯЕТСЯ ГАРМОНИЧЕСКОЙ. ВОССТАНОВИМ МНИМУЮ ЧАСТЬ V(X,Y)
ФУНКЦИИ F(Z)=U(X,Y)+IV(X,Y), ПОЛЬЗУЯСЬ УСЛОВИЯМИ ДАЛАМБЕРА-ЭЙЛЕРА:
∂u |
= |
∂v |
, |
∂u |
= − |
∂v |
. |
∂x |
∂y |
∂y |
|
||||
|
|
|
∂x |
2
ИЗ ПЕРВОГО УСЛОВИЯ ПОЛУЧАЕМ: |
∂v |
= |
∂u |
= |
|
|
|
x |
. ТОГДА v(x, y) = ∫ |
∂vdy + ϕ(x) , ИЛИ |
|||||||||||||||||||||||||||||
∂y |
∂x |
x2 + y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
∂y |
||||||||||||
|
v(x, y) = ∫ |
|
xdy |
|
|
+ ϕ(x) |
= arctg |
y |
+ ϕ(x). ПРОИЗВОДНАЯ ПО X ОТ ЭТОГО ВЫРАЖЕНИЯ РАВНА |
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + y2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂v |
= |
1 |
|
(− |
y |
|
|
) + ϕ′(x) = − |
|
|
y |
|
|
|
+ ϕ′(x). С ДРУГОЙ СТОРОНЫ ПО ВТОРОМУ УСЛОВИЮ |
|||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
x2 |
x2 + y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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||||
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|
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|
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|
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|
|||
ДАЛАМБЕРА-ЭЙЛЕРА |
∂v |
|
= − |
|
|
y |
|
|
|
. ПРИРАВНИВАЯ ЭТИ ВЫРАЖЕНИЯ, ПОЛУЧИМ: ϕ′(x) = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
x2 + y2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
+ i(arctg |
y |
+ C). |
||||||||||||||||||||||||||
ИЛИ ϕ(x) = C. ТАКИМ ОБРАЗОМ, v(x, y) = arctg |
|
+ C.Т ОГДА f(z) = ln x |
2 + y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
x |
||||
ИЛИ, ЧЕРЕЗ ПЕРЕМЕННУЮ Z |
f(z) = ln z + iC. |
|
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ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ F(I)=0. В ДАННОМ СЛУЧАЕ |
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f(i) = f(0 +1 i) = i(arctg(∞) + C) = i( |
π |
+ C) . СЛЕДОВАТЕЛЬНО, C=-Π/2. |
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2 |
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y |
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− π) = ln z − i |
π . |
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ОТВЕТ. f(z) = ln |
x2 + y2 |
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+ i(arctg |
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x |
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2 |
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2 |
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ЗАДАЧА 6. ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛ ПО ДУГЕ C ОТ ТОЧКИ Z1 ДО ТОЧКИ Z2. |
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∫ |
z |
Imz dz; |
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C − прямая, |
z1 = 0, z2 = 4 + 2i. |
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C |
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РЕШЕНИЕ. ВЫЧИСЛИМ ИНТЕГРАЛ, СВОДЯ ЕГО К КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛАМ ВТОРОГО РОДА ПО ФОРМУЛЕ ∫f (z)dz = ∫udx − vdy + i∫udy + vdx . В ДАННОМ СЛУЧАЕ F(Z)=(X-IY)Y, Т.Е. U=XY,
C C C
V=-Y2. ЗНАЧИТ ∫z Imzdz = ∫xydx + y2dy + i∫xydy − y2dx . ПРИМЕМ X ЗА ПАРАМЕТР. СОСТАВИМ
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C |
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C |
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C |
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УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПО КОТОРОЙ ПРОВОДИТСЯ ИНТЕГРИРОВАНИЕ: |
y |
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= |
x |
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, Т.Е. y = |
x |
, |
dy = |
dx |
. |
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2 |
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4 |
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2 |
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2 |
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НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКЕ Z1=0 СООТВЕТСТВУЕТ ЗНАЧЕНИЕ X=0, КОНЕЧНОЙ Z2=4+2I – ЗНАЧЕНИЕ X=4. |
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1 |
4 |
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1 |
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1 |
4 |
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5x |
3 |
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4 |
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40 |
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СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ∫ |
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Imz dz = |
∫(x2 |
+ |
x2 )dx + i |
∫(x2 |
− x2 )dx = |
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= |
|
. |
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z |
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2 |
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4 |
8 3 |
3 |
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C |
0 |
4 |
|
0 |
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|
0 |
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ОТВЕТ. ∫ |
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Imz dz = |
40 . |
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z |
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|||||
C |
3 |
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i
ЗАДАЧА 7. ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛ ОТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ∫(z −1) сh zdz .
1
РЕШЕНИЕ. ПРИМЕНИМ ФОРМУЛУ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ:
i |
|
u = z −1 du = dz |
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|
i |
||
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|
|||||
∫(z −1) сh z dz = |
|
= (z −1) sh z |
|
1i |
− ∫sh z dz = (i−1) sh i −ch z |
|
1i = |
|
|
|
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||||||
|
dv = сh zdz v = sh z |
|
|
|||||
1 |
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|
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|
1 |
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|
|
|
|
= (i −1) sh i − chi + ch1.
ПЕРЕЙДЁМ К ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ: sh i = isin1, ch i = cos1.ПОЛУЧИМ:
i
∫(z −1) ch zdz = ch1− sin1− cos1− isin1.
1
i
ОТВЕТ. ∫(z −1) ch zdz = ch1− sin1− cos1− isin1.
1
ЗАДАЧА 8. НАЙТИ ИНТЕГРАЛ, ИСПОЛЬЗУЯ ИНТЕГРАЛЬНУЮ ФОРМУЛУ КОШИ, ПО КОНТУ-
3
РАМ L1, L2, L3.
∫ |
|
sin zdz |
, 1) L1 |
:(x +1) |
2 + |
y2 |
=1 |
|
z −1 |
|
=1, 2) L2 : |
|
z + 1 |
|
= 2, 3) L3 : |
|
z − 2 |
|
= 2. |
||
|
|
|
|
|
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|
π |
|
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L (z − |
|
)(z − π)2 |
|
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4 |
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6 |
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РЕШЕНИЕ. 1). ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ АНАЛИТИЧНА ВСЮДУ, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ТОЧЕК
Z=Π/6 И Z= Π. ВНУТРИ ЭЛЛИПСА (x +1)2 + |
y2 |
≤1 НЕТ ОСОБЫХ ТОЧЕК. ТОГДА ПО ТЕОРЕМЕ КОШИ |
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4 |
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||
I1=0. |
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2). ВНУТРИ ОБЛАСТИ |
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z +1 |
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≤ 2 РАСПОЛОЖЕНА ОДНА ОСОБАЯ ТОЧКА Π/6. ТОГДА ПО |
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ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЕ КОШИ: |
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sin z |
|
|
|
dz |
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I2 = ∫ |
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sin zdz |
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= |
∫ |
(z |
− π)2 |
= |
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π |
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π |
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L (z |
− |
)(z − π)2 |
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L2 |
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(z − |
) |
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6 |
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|
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|
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|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
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|
sin z |
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|
sin |
π |
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36i |
|
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||||||||||||||||||||||
= |
2πi |
|
|
|
|
|
|
= |
2πi |
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6 |
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= |
|
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π |
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25π |
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(z − π)2 |
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|
π |
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2 |
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z= |
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( |
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− π) |
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6 |
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6 |
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3) В КРУГЕ |
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z − 2 |
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≤ 2 НАХОДИТСЯ ДВЕ ОСОБЫХ ТОЧКИ: Z=Π/6 И Z= Π. ПОЭТОМУ ПРИМЕНИМ |
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ТЕОРЕМУ КОШИ ДЛЯ МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ: |
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I3 = ∫ |
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sin zdz |
|
= ∫ |
sin zdz |
= ∫ |
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sin zdz |
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L3 |
(z − |
π)(z − π)2 |
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l1 |
(z − |
π |
)(z − π)2 |
l2 (z − |
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π |
)(z − π)2 |
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L1 |
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L3 |
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6 |
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6 |
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6 |
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-2 |
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2 |
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X |
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, ГДЕ L1 - ОКРУЖНОСТЬ ДОСТАТОЧНО МАЛОГО РАДИУСА |
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С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ Z= Π/6, А L2 - ОКРУЖНОСТЬ |
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МАЛОГО РАДИУСА С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ Z= Π. ПЕРВЫЙ |
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L2 |
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ИНТЕГРАЛ В ЭТОЙ СУММЕ СОВПАДАЕТ С I2. ВЫЧИСЛИМ |
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ВТОРОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЕ |
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КОШИ: |
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sin zdz |
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dz |
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∫ |
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sin zdz |
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= |
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∫ |
(z − π / 6) |
= |
|
2πi |
|
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d |
sin zdz |
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= |
2πi |
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cos z (z − π / 6) − sin z |
= |
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π |
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2 |
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(z − π)2 |
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1! |
|
dz |
|
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|
|
π |
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|
|
1! |
|
(z − π / 6)2 |
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|
L3 |
(z − |
|
|
|
)(z − π) |
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L3 |
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) |
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(z − |
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z=π |
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6 |
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6 |
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z=π |
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− |
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5π |
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36 |
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|||||
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12i |
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36i |
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12πi |
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12 |
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= 2πi |
6 |
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= − |
. ТОГДА I3 = |
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− |
= |
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(3 |
− 5π)i.. |
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25π2 |
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5 |
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25π |
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5 |
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25π |
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ОТВЕТ. |
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I1 = 0, |
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I2 |
= |
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36i |
|
, |
|
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I3 |
= |
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12 |
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(3 − 5π)i.. |
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25π |
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25π |
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ЗАДАЧА 9. РАЗЛОЖИТЬ ФУНКЦИЮ В РЯД ЛОРАНА В ОБЛАСТЯХ. |
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z − 2 |
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, |
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1) |
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2 < |
|
z |
|
< 3 |
|
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2) |
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z |
|
> 3. |
3) |
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1<|Z+2|. |
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z2 + 5z + 6 |
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РЕШЕНИЕ. КОРНЯМИ УРАВНЕНИЯ Z2+5Z+6=0 ЯВЛЯЮТСЯ ЧИСЛА Z1=-2 И Z2=-3. РАЗЛОЖИМ ЭТУ |
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ДРОБЬ НА ПРОСТЫЕ ДРОБИ: |
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|
z − 2 |
|
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|
= |
|
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A |
+ |
|
|
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B |
|
= |
A(z + 3) + B(z + 2) |
. ИЛИ |
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z2 + 5z + 6 |
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z + 2 |
|
z + 3 |
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(z + 2)(z + 3) |
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A(z + 3) + B(z + 2) = z − 2 . ПРИ Z=-2 ПОЛУЧИМ A=-4. ЕСЛИ ПОЛОЖИТЬ Z=-3, ТО ПОЛУЧИМ В=5.
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, |
z − 2 |
= −4 |
1 |
+ 5 |
1 |
. 1). В КОЛЬЦЕ 2 < |
|
z |
|
< 3 ИМЕЕМ |
|
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||||||||||
|
|
|
|||||||||
z2 + 5z + 6 |
|
z + 2 |
|
z + 3 |
|
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|
|
||
|
|
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|
|
4
|
|
2 |
|
|
<1 |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
z |
<1. ТОГДА ДРОБЬ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ: |
|
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z |
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|
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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z − 2 |
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|
= −4 |
|
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|
|
|
1 |
|
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|
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|
|
+ 5 |
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|
1 |
|
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|
. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛОЙ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНО |
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z2 + 5z + 6 |
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|
2 |
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|
z |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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z(1+ |
|
) |
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3(1+ |
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) |
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|
z |
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|
3 |
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УБЫВАЮЩЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ: |
|
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1 |
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=1+ q + q2 + ... + qn + ..., ГДЕ |
|
q |
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<1. В |
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|
1− q |
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ПЕРВОЙ ДРОБИ Q=-2/Z, ВО ВТОРОЙ ДРОБИ Q= -Z/3. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, |
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z − 2 |
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∞ |
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(−1) |
n−1 |
2 |
n−1 |
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∞ |
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(−1) |
n |
z |
n |
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∞ |
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(−1) |
n |
2 |
n+1 |
|
∞ |
(−1) |
n |
z |
n |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= −4∑ |
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+5 |
∑ |
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= |
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∑ |
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+5 ∑ |
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. 2). В КОЛЬЦЕ |
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z2 + 5z + 6 |
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zn |
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3n+1 |
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zn |
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3n+1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n=1 |
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n=0 |
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n=1 |
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n=0 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
> 3 |
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|
ВЫПОЛНЯЮТСЯ НЕРАВЕНСТВА |
|
|
2 |
|
<1 |
|
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|
|
и |
|
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3 |
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<1. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, |
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z |
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z |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||
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z − 2 |
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1 |
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1 |
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∞ |
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(−1) |
n−1 |
2 |
n−1 |
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∞ |
(−1) |
n−1 |
3 |
n |
−1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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= −4 |
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+ 5 |
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= −4 ∑ |
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+5 ∑ |
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= |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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z2 + 5z + 6 |
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2 |
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3 |
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zn |
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zn |
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n=1 |
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n=1 |
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z(1+ |
z |
) |
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z(1+ |
z |
) |
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||||||||||||||||||||||||
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∞ |
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5 3 |
n−1 |
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− 2 |
n+1 |
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|||||||||||||||
= ∑(−1)n−1 |
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. |
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|
zn |
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n=1 |
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|||||||||||
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3) 1 < |
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z + 2 |
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; |
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1 |
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< 1; |
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|||||||||||||||||||||||||
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z + 2 |
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∞ |
(−1)zn |
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∞ |
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(−1)n |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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z − 2 |
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||||||||||||||||||||
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= |
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− 4 |
|
|
+ |
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5 |
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= |
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− 4 |
|
+ |
|
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5 |
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= −4∑ |
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|
+ 5∑ |
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; |
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||||||||||||||||||||||||
|
z2 + 5z + 6 |
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−1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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z |
+ 2 |
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z |
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+ 3 |
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z |
+ 2 |
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1 |
2n + |
1 |
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1 (z + 2)n +1 |
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(z + 2)(1− z + 2) |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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z − 2 |
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∞ |
(−1)zn |
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∞ |
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(−1)n |
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= −4∑ |
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+ 5∑ |
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; |
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||||||||||||||
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z2 + 5z + 6 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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1 2n +1 |
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1 (z + 2)n + 1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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z − 2 |
|
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∞ |
(−1)zn |
|
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∞ |
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|
(−1)n |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
= −4∑ |
|
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|
|
+ 5∑ |
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z2 + 5z + 6 |
|
|
|
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1 2n +1 |
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1 (z + 2)n + 1 |
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z − 2 |
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∞ |
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(−1) |
n |
2 |
n |
+1 |
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∞ |
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(−1) |
n |
z |
n |
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ОТВЕТ. 1). |
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= |
∑ |
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+5 ∑ |
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В КОЛЬЦЕ 2 < |
|
z |
|
< 3 . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 + 5z + 6 |
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zn |
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3n+1 |
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n=1 |
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n=0 |
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z − 2 |
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|
∞ |
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5 |
3 |
n |
−1 |
− |
2 |
n+1 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
2). |
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= |
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∑(−1)n−1 |
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В КОЛЬЦЕ |
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z |
2 + 5z + |
6 |
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zn |
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z |
> 3 |
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n=1 |
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3) |
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z − 2 |
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∞ |
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(−1)zn |
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∞ |
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(−1)n |
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В КОЛЬЦЕ 1<|Z+2|. |
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= −4∑ |
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+ 5∑ |
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; |
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z2 + 5z + 6 |
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1 2n |
+1 |
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1 (z + 2)n +1 |
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ЗАДАЧИ 10-11. ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛЫ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ. |
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sh |
πz |
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|||||
10. |
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∫ |
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2 |
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|
dz |
|
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11. |
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∫ |
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(z − |
1) |
4 |
sh |
|
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3 |
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dz |
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(4z |
2 |
+1) |
2 |
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z |
−1 |
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z |
=1 |
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z |
=2 |
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5
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sh |
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πz |
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sh |
πz |
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1 |
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|||||||
РЕШЕНИЕ. 10. ПРЕОБРАЗУЕМ ПОДИНТЕГРАЛЬНУЮ ФУНКЦИЮ: |
|
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2 |
|
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|
= |
|
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2 |
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. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4z2 +1)2 |
|
|
16 |
|
(z |
2 |
+ |
1 |
) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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4 |
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|||||
КОРНИ ЗНАМЕНАТЕЛЯ: |
z1 |
= − |
i |
|
|
, |
|
|
|
|
|
z2 |
|
= |
|
i |
|
I. ЗНАЧЕНИЯ Z1 И Z2 ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛЮСАМИ |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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|
|||||
ПОДЫНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ КРАТНОСТИ 2. ТОГДА |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
sh |
|
πz |
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|
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|
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|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
(z + |
|
|
|
i |
|
) |
2 |
|
sh |
|
|
πz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
ch |
πz |
(z |
|
− |
i |
) |
2 |
− 2sh |
πz |
|
(z − |
|
|
i |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Res |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
[ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
] = lim [ |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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1 |
|
|
|
dz |
|
|
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|
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i |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
|
i |
|
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16(z |
2 |
|
+ |
|
) |
2 |
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|
z→− |
|
i |
|
|
16(z + |
|
i |
) |
2 |
|
(z − |
|
|
i |
|
|
) |
|
2 |
|
z→− |
i |
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|
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|
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|
|
|
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16(z − |
) |
4 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
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4 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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πi |
|
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π |
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π)] = − |
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)] = − |
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) + |
2sin(− |
[ |
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|
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] = |
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2 |
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(4 − π) , |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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16 |
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2 |
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4 |
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4 |
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16 |
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2 |
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4 |
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4 |
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16 |
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2 |
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2 |
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2 |
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64 |
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πz |
(z + |
|
i |
) |
2 |
− 2sh |
πz |
|
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+ |
i |
|
) |
|
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|
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2 |
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] = lim [ |
2 |
|
2 |
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2 |
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2 |
|
|
|
2 |
|
] = |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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) |
2 |
(z − |
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) |
2 |
|
|
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z→ |
i |
|
|
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|
|
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16(z + |
) |
4 |
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2 |
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2 |
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2 |
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4 |
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2 |
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|
2 |
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2 |
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|||||||||
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1 |
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π ch( |
πi |
|
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πi |
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1 |
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π |
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π |
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π |
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π |
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[ |
) + 2ish( |
)] = − |
|
[ |
cos( |
) − |
2sin( |
|
)] = − |
|
1 |
|
[ |
|
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1 |
|
|
− |
|
2 |
|
] = |
|
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2 |
(4 − π) |
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16 |
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2 |
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4 |
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4 |
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16 |
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|
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2 |
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4 |
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|
4 |
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16 |
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|
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2 |
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|
2 |
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2 |
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64 |
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ЗДЕСЬ БЫЛИ ИСПОЛЬЗОВАНЫ ФОРМУЛЫ chiz = cos z, |
|
sh iz = isin z . ПОЛУЧИМ ОКОНЧАТЕЛЬНО: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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sh |
πz |
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|||
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∫ |
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2 |
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2πi |
|
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πi |
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||||||||||||||||||
|
z |
|
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dz = |
2(8 − 2π) = |
|
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2(4 − π). |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(4z2 + 1)2 |
|
64 |
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16 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
=1 |
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|
|
11. ПОДИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ИМЕЕТ СУЩЕСТВЕННО ОСОБУЮ ТОЧКУ Z=1. ПОЭТОМУ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЫЧЕТА ОТНОСИТЕЛЬНО ЭТОЙ ТОЧКИ СЛЕДУЕТ РАЗЛОЖИТЬ ФУНКЦИЮ В РЯД ЛОРАНА. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ РАЗЛОЖЕНИЕМ В РЯД ФУНКЦИИ SHW СТЕПЕНЯМ W:
sh(w) = w + |
w3 |
+ |
w5 |
|
+ |
|
w7 |
|
+ |
... ПОЛАГАЯ w = |
|
3 |
|
|
, ПОЛУЧИМ: |
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||
3! |
5! |
|
|
7! |
|
|
z −1 |
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|||||||||||
(z −1) |
4 |
sh |
3 |
|
|
= (z −1) |
4 |
[ |
|
3 |
|
|
+ |
|
33 |
|
|
+ |
|
|
35 |
|
|
|
+ |
|
|
37 |
|
+ ...] = |
3(z |
−1)4 |
+ |
33 |
(z −1) |
4 |
+ |
||||||||
|
z− |
1 |
|
|
z− |
1 |
|
3!(z−1)3 |
|
|
5!(z−1) |
5 |
|
|
7!(z−1)7 |
|
z−1 |
3!(z−1)3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||
+ |
35 (z |
−1)4 |
|
+ |
|
37 |
(z −1)4 |
+ ... = |
3(z −1) |
3 |
+ |
33 |
(z −1) |
+ |
|
|
35 |
+ |
37 |
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5!(z−1)5 |
|
7!(z−1) |
7 |
|
|
|
3! |
5!(z |
−1) |
7!(z−1)3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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ПОСЛЕДУЮЩИЕ СЛАГАЕМЫЕ НЕ СОДЕРЖАТ СТЕПЕНИ (Z-1)-1. КОЭФФИЦИЕНТОМ ПРИ (Z-1)-1 В
РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИИ БУДЕТ ЧИСЛО 35 = 81 . ВЫЧЕТ ДАННОЙ ФУНКЦИИ РАВЕН
5! 40
КОЭФФИЦИЕНТУ ПРИ |
|
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|||||||||||
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(Z-1)-1 В ДАННОМ РАЗЛОЖЕНИИ, Т.Е. Res[(z −1)4 sh |
3 |
|
] = |
81 . СЛЕДОВАТЕЛЬНО. |
|||||||||||||||||||||||||||
z− |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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1 |
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40 |
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|||||
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∫ |
(z −1)4 sh |
3 |
dz = 2πi 81 |
= 81πi . |
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|||||||||||
z−1 |
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|
z |
|
=2 |
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40 |
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20 |
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πz |
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ОТВЕТ. 10. ∫ |
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sh 2 |
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πi |
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11. ∫ |
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4 sh |
3 |
|
dz = 2πi 81 |
|
81πi . |
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dz = |
|
|
2(4 − π) . |
(z −1) |
= |
||||||||||||||||||||||||||
|
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z |
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=1 (4z2 + 1)2 |
|
16 |
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z |
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=2 |
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z−1 |
40 |
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20 |
|||||||
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ЗАДАЧА 12. ВЫЧИСЛИТЬ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ. |
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∞ |
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x2 + 3 |
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||||
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∫ |
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dx. |
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(x |
4 |
+10x |
2 |
+ 9) |
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||||||
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0 |
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||||
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6 |
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РЕШЕНИЕ. НАЙДЁМ КОРНИ ЗНАМЕНАТЕЛЯ ФУНКЦИИ f(z) = |
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z2 + 3 |
|
|
|
, РЕШАЯ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
(z4 +10z2 |
+ 9) |
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БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ: (Z2)2+10(Z2)+9=0, z2 = −5 ± |
|
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|
= −5 ± 4. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
25 − 9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1,2 |
= ±i, |
z3,4 |
|
= ±3i . В ДАННОМ СЛУЧАЕ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ РАСПОЛОЖЕНЫ ДВА |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПОЛЮСА Z=I И Z=3I ФУНКЦИИ f(z) = |
|
|
z2 + 3 |
|
|
|
= |
|
|
|
z2 + |
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z4 |
+ 10z2 |
+ 9) |
(z2 |
+1)(z2 |
+ 9) |
|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
∞ |
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|
|
x2 + 3 |
|
|
|
|
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|
|
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|
|
z2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
z2 + 3 |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
ТОГДА |
∫ |
|
|
|
|
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|
dx = 2πi(Res |
|
|
|
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|
+ Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
||||||||||||
(x |
2 |
+ 1)(x |
2 |
+ 9) |
(z |
2 |
+1)(z |
2 |
+ 9) |
|
|
(z |
2 |
+ |
1)(z |
2 |
+ 9) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
||
Res |
|
z2 + 3 |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
(z − i)(z2 + 3) |
|
|
|
= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(z2 |
+1)(z2 |
+ |
9) |
|
|
|
|
+ i)(z |
− i)(z2 + 9) |
|
2i(i2 + |
|
8i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
z→i (z |
|
|
|
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Res |
|
z2 + 3 |
|
|
|
= lim |
|
(z − |
3i)(z2 |
+ |
3) |
|
|
|
|
= |
|
|
− 6 |
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(z2 |
+1)(z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3i |
+ |
9) |
|
|
|
z→3i (z + 3i)(z − 3i)(z2 |
+ |
1) |
|
|
|
6i(9i |
|
|
|
|
|
8i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x2 + 3 |
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
x2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πi |
|
1 |
|
|
1 |
|
π |
|
|||||||||||||
СЛЕДОВАТЕЛЬНО. ∫ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
dx |
= |
|
∫ |
|
|
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dx = |
|
|
( |
|
+ |
|
|
|
) = |
|
. |
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|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
0 (x2 +1)(x2 + 9) |
|
2 |
−∞ (x |
2 +1)(x2 + 9) |
|
|
|
2 |
|
8i |
i |
|
8i |
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||
|
|
∞ |
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|
x2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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ОТВЕТ. |
∫ |
|
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dx = |
|
. |
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|||
|
(x4 + 10x2 |
+ 9) |
|
4 |
|
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|||||||||||||||
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|
0 |
|
|
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ЗАДАЧА 13. ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛ ОТ ЗАДАННОЙ ВЕТВИ МНОГОЗНАЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО КРИВОЙ
С ОТ ТОЧКИ Z1 ДО ТОЧКИ Z2.
∫ |
dz |
|
|
, ГДЕ С – НИЖНЯЯ ПОЛУОКРУЖНОСТЬ |
|
|
=1, Z1=1, Z2=-1, |
4 |
|
|
= −i . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 z3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C |
|
|
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1 |
|
(cos ϕ + 2kπ + isin ϕ + 2kπ) РАССМАТРИВАЕТСЯ ТА |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ. РАССМОТРИМ ФУНКЦИЮ 4 |
z |
= |
|
z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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4 |
|
|
|
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|
4 |
|
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||||||||||||
|
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||||||||||||||||||
ВЕТВЬ ФУНКЦИИ, ДЛЯ КОТОРОЙ В ТОЧКЕ Z=1 ФУНКЦИЯ БУДЕТ ПРИНИМАТЬ ЗАДАННОЕ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ЗНАЧЕНИЕ. С ОДНОЙ СТОРОНЫ 4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2kπ |
|
|
|
|
|
|
2kπ |
), ТАК КАК 1=COS(0)+ISIN(0). С |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
= |
|
1 |
|
|
|
(cos |
+ isin |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
|
|
|
|
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|
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||||||||||
|
|
|
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4 |
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|
= −i = (cos(− |
π |
) + isin(− π)) . СРАВНИВАЯ ЭТИ ВЫРАЖЕНИЯ, ПРИХОДИМ К |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ДРУГОЙ СТОРОНЫ |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
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ВЫВОДУ, ЧТО УКАЗАННОЙ ВЕТВИ ФУНКЦИИ СООТВЕТСТВУЕТ ЗНАЧЕНИЕ K=3. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
|
(cos ϕ + 6π |
+ isin ϕ + 6π) . |
|||||||||||||||||||||
ДАННАЯ ВЕТВЬ ФУНКЦИИ ИМЕЕТ УРАВНЕНИЕ 4 |
z |
= |
|
z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ТАКИМ ОБРАЗОМ, |
|
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|
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|
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|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫ |
dz |
|
|
= 44 |
|
|
|
|
−1 = 4 (cos 7π + isin 7π |
− (cos 3π |
+ isin 3π)) = 4(− |
1 |
|
|
− |
i |
+ i) = 4i − 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
2(1+ i) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C |
4 z3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
4 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ОТВЕТ. ∫ |
|
dz |
= 44 |
|
|
|
−1 = −2 |
|
|
|
|
− 4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
2 − i(2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C |
4 z3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||
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|
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|
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|
|
7