Svidchenko_mETodi4ka_po_tOE

2,5	42,0	46,0	21,0	30,5	48,5		31,0	10,5	4,5	3,0
3,0	44,0	46,0	23,0	33,5	49,5		56,0	15,0	7,0	3,5
3,5	45,0	45,0	24,0	36,0	50,0		лин	22,5	8,0	4,0
4,0	46,0	43,0	25,0	38,0	50,5			35,0	10,5	5,0
4,5	лин	лин	25,5	40,0	51,0			60,0	14,0	6,0
5,0			лин	лин	52,0			67,0	19,0	7,5
5,5					53,0			70,0	30,0	10,0
6,0					54,0			лин	52,5	13,5
6,5					56,0				61,0	18,0
7,0					62,5				63,0	25,0
7,5					88,5				лин	лин
8,0					лин

							4. Пример расчета задачи №2
Дана мостовая схема																			E=80 B; R1=40 Ом; R3=20 Ом;
			R2									R3							R0=3 Ом; R5=150 Ом.
							2												Нелинейные резисторы
																			описываются таблично:
					I2								I3
					I5					R5									R2			R4
			R1															R4
																			I2 ,A	U2 ,B	I4 ,A		U4 ,B
																	4
	1				I1		3						I4
																			0	0	0		0
							I					E
					R0														0.5	30.0	0.5		2.0
Рисунок 15.																			1.0	38.0	1.0		5.5
																			1.5	42.0	1.5		11.0
																			2.0	45.0	2.0		18.0
Требуется определить токи во																			2.5	46.0	2.5		31.0
всех ветвях.																			3.0	46.0	3.0		56.0
																			3.5	45.0	3.5		лин.
																			4.0	43.0
																			4.5	лин.

21

		Решение
	-графическим методом
R2	2	R3	Перед применением графического
			метода следует прибегнуть к мето-
			тоду эквивалентного генератора,
Uxx1	R5	R4	рассчитав напряжения Uxx1 и Uxx2,
			возникающие в разрывах ветвей,
1	3 Uxx2	4	содержащих нелинейные элемент
R1			(R1 +R5)· E
			Uxx1 = ——————— =
R0	E		R1 +R5 +R0+R3
			(40+150) ·80
			= —————— = 71,4 (B);
Рисунок 16			40+150+3+20

(R3 +R5) ·E	(20+150)· 80
Uxx2 = ——————— =	—————— = 63,8 (B), (см. рис.16).
R1 +R5 +R0 +R3	40+150+3+20

Линейная часть схемы (рис.16) в пассивном состоянии формирует мостовой четырехполюсник (рис. 17), который, как известно, может быть преобразован в эквивалентную Т – образную схему (рис. 18) с элементами, рассчитываемыми по формулам:

	*	R3 ·R5 + 2·R1 ·R3 + R0 ·R1	20·150 + 2·40·20 +3·40
R		= —————————— = —————————— = 22.2 Ом ;
	1	R1 +R5 +R0+R3	40+150+3+20

R3 ·R0 + 2·R1 ·R3 + R5 ·R1	20·3 + 2·40·20 +150·40
R2*= —————————— = —————————— = 36.0 Ом ;
R1 +R5 +R0+R3	40+150+3+20

R0	·R5 - R1 ·R3	3·150 - 40·20
R3* = ——————— = —————— = - 1.64 Ом.
R1	+R5 +R0+R3	40+150+3+20

22

2	R3	4
R5		R0

1 R1 3

Рисунок 17

R1* a R2*

E1

R3*

E2

U

ab

I4

I2

R2

b

R4

Рисунок 19

2

R1*

R2*4

R3*

1 3

Рисунок 18

В виде, представленном нарис.19, схема может быть проанализирована графическим методом. Построения согласно этому методу выполнены на рис.20. При этом учтено, что

Е1= Uxx1, Е2 = Uxx2.

Основной интерес представляет напряжение между оставшимися после преобразования схемы узлами a и b .

U	ab	(I	2	) E I		2		R U			;		U	ab	(I	) E I	4	R U	;
					1				1	2					4	2		2 4	. (9)
U	ab	(I	2	I	) (I		2		I	) R		U
				4					4	3			R3

Построения рис.20 выполнены на основании уравнений (9). Согласно построениям токи через нелинейные резисторы I2=1,542А ,I4=1,548А. По их ВАХ (интерполяционно) могут быть определены соответствующие падения напряжения U2=42,326 В , U4=12,027 В.

Следует учесть, что такая двухэтапная (через метод эквивалентного генератора) реализация графического метода требуется только для тех вариантов задания, в которых нелинейные

23

элементы размещены в противоположных плечах моста. В остальных случаях потребуются лишь преобразования линейной части схемы

			R4
U, B		R2*
			R1*
80				E1
70				E2
60
50				R2
40

30

10

20

0
-10	0	1,0	2,0	3,0	4,0	I,RA3*

Uab(I2) Uab(I4) Uab(I2+I4)

Рисунок 20

вида «треугольник-звезда» или наоборот.

Определение оставшихся токов I, I1, I3, I5 может производиться любыми методами анализа линейных цепей. Например, на основе составления полной системы уравнений Кирхгофа для заданной

схемы (рис.15). Порядок этой системы – четвертый - по числу неизвестных токов. При этом токи через нелинейные элементы I2, I4 считаются известными.

I3 + I5 = I2	или в виде		0	0	1	1				I				1.542
I – I3 = I4	матриц		1	0	-1	0		·		I1		=		1.584
-R1I1 + R5I5 = - U2			0 –40		0 150					I3				- 42.326
R0I + R1I1 = E-U4			3	40 0		0				I5				62.973

Решение этой системы I = 3,015А; I1 = 1,473 А; I3 = 1,431 А; I5 =

24

= 0,111 А дает следующие мощности приемников: 3·3,0152 + 40·1,4732+1,542 · 42,326 + 20 · 1,4312 + 1,584 · 12,027 + 150 · 0,1112 = =241,18 Вт.

Мощность источника : 80·3,015= 241,2 Вт, что приводит к расхождению баланса мощности

|241,2– 241,18|

δ = ————————·200 < 0.01 %.

241,2+ 241,18

Возможен и иной способ определения токов I, I1, I3 , I5 .

R2	I2	I3	R3
	Ik2		Ik3
	I5	R5
R1			R4
I1			I4
I	R0		E
Ik1
Рисунок 21

На рис.21 представлена разметка контуров заданной схемы для использования метода контурных токов при нахождении неизвестных токов в ветвях с линейными элементами. Выбор контуров произведен так, чтобы через нелинейные резисторы протекал только один контурный ток, равный собственному току этого элемента, найденному при реализации графического метода.

При этом Ik2 = I2 и Ik3 = I4 . И тогда для нахождения одного неизвестного контурного тока Ik1 достаточно составить лишь одно уравнение:

Ik1 (R1 R5 R0 R3) Ik2 (R1 R5) Ik3 (R5 R3) E , из которого:

E + Ik2·(R1 +R5) +Ik3·(R3 +R5) 80+1,542·(40+150)+1,584·(20+150)

Ik1= ———————————— = —————————————— =

R1 +R5 +R0+R3

40+150+3+20

=3,015 А .

I = Ik1 =3,015 A; I1 = Ik1 - Ik2 = 3,015-1,542 = 1,473 A; I3 = Ik1 - Ik3 =

25

=3,015 – 1,584 = 1,431 A; I5 = -Ik1 + Ik2 +Ik3 = -3,015 +1,542+1,584 =

=0,111 A .

Расчет нелинейного моста возможен с помощью программы Mathcad Сначала зададим характеристики нелинейных элементов

			0					0
			30.0					0.5				0				0
			38.0					1.0				2.0				0.5
			42.0					1.5				5.5				1.0
Uнл1			45.0		Iнл1			2.0	Uнл7			11.0	Iнл7			1.5
			46.0					2.5				18.0				2.0
			46.0					3.0				31.0				2.5
			45.0					3.5				56.0				3.0
			43.0					4.0

После этого создадим интерполяционные функции:

v1

lspline(Iнл1 Uнл1)

UR2(I)

interp(v1 Iнл1 Uнл1

I

)

U2(I)

UR2(I)

v7

lspline(Iнл7 Uнл7)

UR4(I)

interp(v7 Iнл7 Uнл7

I

)

U4(I)

UR4(I)

Использование функции cspline или regress вместо lspline даст несколько иные результаты.

Далее следует задать параметры линейных элементов схемы:

R0 3 Ом ;

R1 40 Ом ;

R3 20 Ом ;

R5 150 Ом ;

E 80 В.

и начальные приближения искомых величин (это могут быть произвольные числа):

I1 1A I2 1 A I3 1 A I4 1 A I5 1 A I0 1 A.

Группа многократно исполняемых операторов формируется на базе законов Кирхгофа в соответствии с заданной схемой и записывается после оператора (Given):

26

Given
I0					I1		I2
I2					I5		I3
I0					I3		I4

0

0

0

I5 R5

U4(I4)

I4

R3

I3

0

I4

(I1) R1

U2(I2)

I2

I5 R5

0

I2

I0 R0

U2(I2)

I2

R3

I3

E

I2

Запуск итерационного поиска решения

C

Find(I0 I1 I2 I3 I4 I5)

Результат расчета:

T

C

3.015 1.473

1.542

1.431

1.584

0.111

При этом

U2 C

42.326 В

U4 C

12.027

В

.

2

4

Проверка правильности результата через баланс мощности дает нулевую погрешность:

PP		C U2 C					C 2 R1					C U4 C					C 2 R3				C 2 R5				C 2 R0
2			2	1				4					4	3				5				0
PP 241.221			Bт					E C 241.221								Bт
								0

6. Контрольные задания задачи № 3 Расчет реактивного фильтра

На рисунках 22-25 даны схемы LC фильтров, на вход которых воздействует одно из периодических напряжений u1(t). Графики напряжений u1(t) представлены на рисунках 26-31. Фильтры работают на согласованную нагрузку. Численные значения параметров входного сигнала и схемы приведены в таблице 4.

Требуется :

1.Разложить u1(t) в ряд Фурье до пятой гармоники включительно. Определить значения граничных частот пропускания фильтра (частот среза).

2.Вывести формулу для комплексной амплитуды напряжения на нагрузке Ủ2m через комплексную амплитуду входного напряжения, частоту и параметры схемы и рассчитать ее значения для всех учитываемых гармоник.

27

3.Построить друг под другом линейчатые спектры входного u1 и выходного u2 напряжений.

4.Получить аналитически и построить в виде графиков зависимости Ζс(ω), α(ω), β(ω) , рассчитав значения этих величин для учитываемых гармоник.

Таблица 4

Вар-нт		L		C	Um		T	Схема,	Сигнал,
		мГн		мкФ	В		мс	рисунок	рисунок
1	2			3	4		5	6	7
1	1.44			0.8	12.0		0.48	23	31
2	11.00			4.0	100.0		2.00	24	30
3	0.5			0.4	50.0		0.167	25	29
4	0.4			0.5	50.0		0.159	22	27
5	0.7			0.24	45.0		0.134	23	28
6	5.00			1.00	25.0		0.625	24	31
7	5.60			2.28	48.5		1.200	25	30
8			2.52	1.4	17.0		0.63	22	30
9			4.2	1.44	40.0		0.80	23	29
10	20.00			1.00	80.0		1.67	24	28
11	1.00			1.00	100.0		0.314	25	31
12	20.00			8.00	30.0		5.88	22	31
13	1.50			0.30	33.4		0.354	23	26
14	3.00			0.90	40.0		0.565	25	26
15	6.25			12.4	40.0		3.13	23	27
16	6.25			10.0	70.0		2.50	23	28
17	0.50			0.40	110.0		0.167	25	31
18	0.70			0.875	70.0		0.277	22	29
19	1.60			0.89	18.9		0.536	23	27
20	9.57			3.48	104.6		1.74	24	26
21	0.55			0.44	33.4		0.184	25	26
22	0.357			0.447	150		0.142	22	29
23	0.62			0.212	15.0		0.118	23	26
24	4.35			0.87	26.2		0.544	24	27
25	6.15			2.5	76.0		1.33	25	28
26	2.92			1.00	13.4		0.555	23	27
27	1.15			1.15	104.5		0.362	25	27
28	16.7			6.67	141		4.9	22	29
						28

Продолжение таблицы 4

1	2	3	4		5	6	7
29	1.72	0.344	100.0		0.416	23	28
30	1.95	1.08	37.5		0.365	23	31
31	3.6	1.08	60		0.678	25	28
32	5.94	3.3	60		1.47	22	28
33	5.68	11.3	40		2.84	23	27
34	6.87	11.0	44.7		2.75	24	30
35	0.625	0.5	110		0.209	25	31
36	0.65	0.81	14.9		0.257	22	31
37	0.455	0.364	31.9		0.152	25	31
38	0.333	0.417	31.9		0.133	22	31
39	0.578	0.198	9.56		0.11	23	30
40	5.75	1.15	39.2		0.72	24	29
41	7.28	2.97	50.7		1.57	25	26
42	2.19	1.22	80		0.55	22	28
43	17.4	0.87	51.1		1.45	24	30
44	0.87	0.87	156.5		0.274	25	29
45	1.88	0.375	21.3		0.442	23	30
46	3.9	1.17	38.3		0.735	25	30
47	6.47	3.6	60		1.6	22	28
48	4.82	9.57	25.5		2.41	23	31
49	0.534	0.427	173		0.179	25	29
50	0.600	0.753	23.4		0.238	22	27
51	0.52	0.364	12.3		0.182	24	26
52	0.70	0.417	49.6		0.225	23	27
53	0.15	0.198	18.0		0.078	25	28
54	4.20	1.15	104.5		0.893	22	28
55	1.705	0.80	110.0		0.454	25	29
56	19.0	4.00	15.0		3.56	23	30
57	0.2	0.4	48.2		0.122	23	31
58	3.5	8.0	51.1		2.2	22	30
59	0.55	0.3	60		0.171	23	30
60	7.42	10.0	40		3.52	24	29
61	0.924	0.875	39.2		0.347	25	28
62	0.70	0.89	30		0.324	24	26
63	7.79	2.5	18.9		1.85	23	27
64	1.6	1.00	150.0		0.51	22	27
				29

Окончание таблицы 4

1	2	3	4		5	6	7
65	0.526	0.344	26.2		0.179	25	26
66	2.23	1.17	12.0		0.652	22	28
67	11.5	3.6	45.0		2.557	23	29
68	6.30	9.57	25.0		3.0	24	30
69	0.49	0.344	13.4		0.210	25	31
70	8.17	3.6	76		2.26	24	26
71	0.606	0.417	33.4		0.200	23	27
72	1.815	3.3	173		0.100	22	28
73	1.08	1.08	44.7		0.44	25	29
74	3.6	1.15	9.56		0.81	23	30
75	1.95	2.97	51.1		0.100	24	31
76	1.15	1.22	80.0		0.400	22	30
77	0.25	0.375	60.0		0.132	23	28
78	0.68	0.427	23.4		0.224	24	29
79	0.63	0.753	141		0.284	25	29
80	9.39	6.67	76.0		3.245	24	27
81	1.32	0.9	17.0		0.443	23	26
82	0.4	0.3	45.0		0.150	22	28
83	11.2	8.00	30.0		3.86	25	30
84	4.35	1.00	70.0		0.84	23	31
85	0.92	1.44	110.0		0.467	22	26
86	0.92	1.00	100.0		0.400	25	27
87	0.15	0.24	173.0		0.08	24	28
88	0.67	0.44	39.2		0.226	22	29
89	7.14	3.48	31.9		2.01	23	30
90	0.01	0.212	9.56		0.025	24	31
91	1.08	0.87	11.5		0.400	25	26
92	7.62	2.5	17.8		1.83	24	27
93	1.35	2.28	40.0		0.700	23	28
94	1.15	0.875	50.7		0.440	22	29
95	5.18	3.48	68.0		1.775	23	30
96	10.0	5.37	52.2		3.01	24	31
97	0.9	0.12	11.1		0.12	25	26
98	3.6	1.73	13.5		1.000	24	27
99	9.92	1.41	148		0.463	23	27
100	7.14	2.6	17		1.81	22	28
				30