metods_books_fnp2011

f	x, 0 lim			f (x, y) f (x, 0)					x ,
y
	y 0					y
						f
	fxy// 0, 0				x 0, 0		1,
		y
						f
	f yx// 0, 0					y 0, 0		1.
			x

Таким образом, значение второй смешанной производной в этом примере зависит от порядка дифференцирования. Это происходит из-за того, что обе производные f xy// и f yx// не име-

ют предела при x 0 и y 0, а потому, в точке 0, 0 терпят разрыв.

1.3. Полный дифференциал и его применение

Пусть дана функция двух переменных z f x, y . Предположим, что ее аргументы x и y получают соответственно приращения x и y . Тогда функция z f x, y получает полное

приращение

z f x x, y y f x, y .

Полезно отметить следующий геометрический факт: полное приращение функции z равно приращению аппликаты графика

функции z f x, y при переходе от точки M x, y в точку

M1 x x, y y .

Функция z f x, y называется дифференцируемой в точ-

ке x, y , если ее полное приращение z может быть представлено в виде z A x, y x B x, y y o , где

11

x 2 y 2 ,

аo — бесконечно малая более высокого порядка, чем . Ес-

ли функция z f x, y дифференцируема в данной точке, то ее

полным дифференциалом (или просто дифференциалом) в точке

x, y называется главная часть полного приращения этой функции, линейная относительно x и y , т. е.

dz A x, y x B x, y y .

Заметим, что при малых значениях x и y дифференциал dz
дает основной вклад в приращение z .
Легко доказать, что если функция z f x, y дифференци-
руема в точке x, y , то имеют место равенства
A x, y	z	x, y f x/ x, y ,
	x
B x, y	z	x, y f / x, y .
	y	y

Отсюда следует, что для дифференциала функции z f x, y справедлива формула

dz z	x z y .
x	y
Дифференциалами dx и dy независимых переменных x и
y называются их приращения x и y , т. е.		dx x,	dy y .

Таким образом, мы вправе написать, что

dz fx/ x, y dx f y/ x, y dy .

12

Замечание. Важно отметить, что из существования частных производных первого порядка, вообще говоря, не следует существование полного дифференциала (т. е. дифференцируемость функции нескольких переменных). Однако если предположить, что эти частные производные не только существуют, но и непрерыв-

ны в окрестности точки x, y , то функция z f x, y в этой

точке дифференцируема. В то же время даже из дифференцируемости всюду функции нескольких переменных, вообще говоря, не следует непрерывность ее первых частных производных.

При достаточно малых x и y полное приращение функ-

ции можно со сколь угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом:

z dz fx/ x, y x f y/ x, y y .

Вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление ее приращения. Поэтому указанное приближенное равенство может быть использовано для приближенных вычислений.

Как следствие, мы получаем приближенное равенство

f x x, y y f x, y dz f x, y f x/ x, y x f y/ x, y y.

Все изложенное распространяется на функции трех и более переменных.

Пример 10. Даны две точки M 3; 4 и N 3,05; 4,1 . Вычислить

приближенное значение функции z xy в точке N , заменив

приращение функции при переходе от точки M к точке N полным дифференциалом.

Решение. Имеем

z(M ) 3 4 12,

13

dz fx/ (3, 4) x f y/ (3, 4) y 4 0,05 3 0,1 0,5,

где f /	(3, 4) y 4 ,	f /	(3, 4) x 3,	x 0,05,	y 0,1.
x		y

Используя приближенную формулу для приращения функции, получаем

z(N) z(M ) z z(M ) dz 12 0,5 12,5.

Поскольку точное значение z(N) равно 12,505, приближенная формула дала ответ с погрешностью 0,005.

Пример 11. Вычислить приближенно

ln 4,004 31,006 2 .

Решение. Искомое число будем рассматривать как значение функции

f x, y ln x 3 y 2

при x x0 x ,		y y0 y ,	где x0 4,		y0 1,		x 0,004 ,
y 0,006. Применяя формулу
f x x, y y f x , y			f /	x , y	x f	/	x , y	y ,
0	0	0 0	x	0 0		y	0 0

получаем

f x0, y0 ln x0 3 y0 2 ln 4 31 2 0,

f /	x , y					1				1							1					1			1 ,
																	3
x	0 0			x0		3	y0 2 2 x0								4			1 2 2 4						4

14

f /	x0	, y0				1					1						1					1			1 ,
						3											3
					x					3	3 y2
y							y 2						4					1 2 3 3 1							3
			0				0				0
		f x, y 0					1 0,004 1							0,006 0,003.
							4				3

Следовательно,ln 4,004 31,006 2 0,003.

1.4. Дифференцирование сложных функций

Случай одной независимой переменной

Пусть z f x, y — дифференцируемая функция двух пе-

ременных x и y , причем аргументы этой функции являются

дифференцируемыми функциями одной независимой переменной t , т. е. x (t) и y (t). Тогда сложная функция

z f (t), (t)

тоже дифференцируема,

формуле

dz dt

и ее производная dz вычисляется по dt

z dx z dy .x dt y dt

Пусть теперь	z f x, y , и пусть	y (x) . Тогда
z f x, (x) , т. е.	функция z есть функция одной перемен-

ной x . Этот случай сводится к предыдущему, где роль переменной t играет x . Полная производная функции z по переменной

x равна

dz z z dy . dx x y dx

15

y u, v . Тогда

Пример 12. Найти	dz	, если z e2x 5y , где x sin t ,			y t3.
	dt
Решение. Имеем
z	2e2x 5y ,			z 5e2x 5y ,
x				y
		dx cos t	,	dy 3t2 ;
		dt		dt
dz 2e2x 5y cos t 5e2x 5y			3t2 (2cos t 15t2) e2sin t 5t3 .
dt

Пример 13. Найти частную производную z и полную произ-

x

водную dz , если

z e3xy, а

y

x2 4 .

dx

Решение. Имеем

z 3ye3xy ,

z

3xe3xy ,

dy

x

,

x

y

dx

x2 4

6x2 12

dz 3ye3xy 3xe3xy

x

e3x

x2 4 .

dx

x2 4

x2 4

Случай нескольких независимых переменных

Предположим теперь,

что

z f x, y ,

где

x u, v и

z есть сложная функция двух независимых

переменных u и v . Частные производные этой сложной функции находятся по формулам

	z	z x	z y	и	z	z x	z y .
	u				v
		x u	y u			x v	y v

16

Эти формулы обобщаются на случай сложной функции любого конечного числа аргументов.

Пример 14. Найти частные производные

z

и

z

, если

z yx ,

u

v

x u

, y u v.

v

Решение. Имеем

z

yx ln y

,

z xyx 1;

x

y

x

1 ,

x

u

,

y v ,

y

u ;

u

v

v

v

v2

u

z

u

zv

yx ln y 1 xyx 1 v				1 ln u v u v v				,
							u
v					v
	u				u 1 ln u v			u
yx ln y			xyx 1	u			u v v .
	v	2			v	2

1.5. Неявные функции и их дифференцирование

Пусть F x, y — дифференцируемая функция двух пере-

менных x и y , и пусть уравнение F x, y 0 определяет y как

функцию x . Первая производная этой неявной функции y y(x) в точке x0 может быть вычислена по формуле

					F /	x , y
dy
					x	0 0
dx			x x0		Fy/	x0, y0

17

при условии, что F /	x	, y	0, где	y	y(x ) и
y	0	0		0	0

F x0, y0 0. Производные высших порядков вычисляются по-

следовательным дифференцированием этой формулы.

Пусть теперь F x, y, z — дифференцируемая функция трех переменных x , y и z, и пусть уравнение F x, y, z 0 определяет z как функцию независимых переменных x и y .

Частные производные этой неявной функции

z z x, y в

точке x0, y0 могут быть вычислены по формулам

z

x0, y0

F /

x , y , z

z

x0, y0

F /

x , y , z

x

0

0

0

,

y

0 0 0

F /

x , y , z

F /

x , y , z

x

0

y

z

0

0

z

0 0 0

при условии,	что	F / x		, y , z 0,		где		z	z x , y		и
F x0, y0, z0		z	0	0	0			0	0	0
	0.
Пример 15. Найти частные производные						z	и	z	, если z		опре-
						x		y
деляется, как функция от x и y , из уравнения
		z3 4xy2 2z2 1 0.
Решение. Обозначим левую часть данного								уравнения			через
F x, y, z . Тогда
		F /	x, y, z 4y2			,
		x
		F /	x, y, z 8xy			,
		y

18

F /

x, y, z 3z2 4z .

z

Отсюда получаем

z

Fx/ x, y, z

4 y2

,

x

3z2

/

x, y, z

4z

Fz

z

F /

x, y, z

8xy

y

.

y

/

x, y, z

3z2

4z

Fz

1.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M0 на-

зывается плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку. Точка M0

называется точкой касания. Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Если

поверхность

задана

уравнением

F x, y, z 0,

то

уравнение касательной плоскости в точке

M

0

x0, y0, z0

по-

верхности имеет вид

F / M

0

x x F / M

0

y y F

/

M

0

z z

0,

x

0

y

0

z

0

где x , y ,

z

— координаты текущей точки касательной плоско-

сти, x

,

y

,

z — координаты точки касания

M

0

x , y , z .

0

0

0

0

0

0

Нормаль к поверхности в точке M

0

x0, y0, z0

определя-

ется уравнением

x x0

y y0

z z0

.

F /

M

0

F / M

0

F /

M

0

x

y

z

19

В случае задания поверхности в явной форме z f x, y

уравнение касательной плоскости в точке M0 x0, y0, z0 имеет вид

z z f /			x , y			x x				f		/	x , y		y y	,
0	x			0	0				0		y		0 0		0
а уравнение нормали —
				x x0					y y0					z z0	.
			f /	x , y					f / x , y					1
			x	0	0				y	0 0

Пример 16. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности z ex cos y в точке M0 1, , 1/e .

Решение. Начнем с нахождения частных производных функции f x, y ex cos y и их значений в точке 1, :

fx/ ex cos y cos y ,	fx/ 1, ecos cos e 1,
f y/ ex cos y x sin y ,	f y/ 1, ecos 1 sin 0.

Напишем уравнение касательной плоскости:

z e 1 e 1 x 1 0 y

или

x ez 2 0.

Теперь напишем уравнение нормали:

x 1		y z e 1
e 1			0		1

20