Лабораторная работа № 2.
(механика)
Изучение абсолютно упругого
и абсолютного неупругого ударов шаров.
Цель работы: изучение абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов шаров; проверка выполнения закона сохранения импульса.
Оборудование: установка для изучения соударения шаров (рис. 2).
Краткая теория.
При изучении законов механического движения чаще всего приходится иметь дело с механической системой.
Механическая система - это совокупность взаимодействующих между собой тел. Силы, действующие между телами системы, называются внутренними. Силы, действующие на систему со стороны тел не входящих в нее, называются внешними.
Рассмотрим систему из N материальных точек. На каждую точку действуют как внутренние, так и внешние силы. Обозначим внутренние силы следующим образом: - где первый индекс обозначает точку, на которую действует сила, второй указывает точку, со стороны которой действует сила. Например,- сила, действующая со стороны второго тела на первое. Равнодействующую внешних сил, действующую на материальную точку системы обозначим:.
Запишем теперь уравнение движения каждой точки системы:
. (1)
Число уравнений равно N - числу тел системы.
Величина - векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения, называемаяимпульсом; где m - масса тела, мера инерционных и гравитационных свойств тела. Чтобы найти общее изменение импульса системы, необходимо подсчитать геометрическую сумму изменений импульсов всех точек системы. Просуммируем уравнения системы (1):
.
По третьему закону Ньютона , или. Следовательно, сумма всех внутренних сил, действующих в данной системе, равна нулю. Поэтому полученное уравнение можно переписать в следующем виде:
. (2)
Перепишем уравнение (2) следующим образом:
, (3)
или
. (3)
Это уравнение выражает II закон Ньютона или закон изменения импульса: импульс механической системы тел изменяется только под действием внешних сил.
Рассмотрим теперь замкнутую механическую систему. Замкнутой называется система тел, взаимодействующих только между собой, и не взаимодействующая с телами, не входящими в данную систему. В такой системе тел отсутствуют внешние силы, т.е. . В этом случае уравнение (3) примет вид:
.
Т.е. производная от геометрической суммы импульсов тел системы равна нулю. Производная равна нулю только в том случае, если функция, стоящая под знаком производной, является величиной постоянной:
, (4)
или
. (4)
Это есть закон сохранения импульса: геометрическая сумма импульсов тел в замкнутой механической системе величина постоянная при любых взаимодействиях в данной системе.
Механическое движение может переходить в другие формы движения. Каждое состояние движение характеризуется универсальной мерой количества движения, называемой энергией.
Различают два вида механической энергии:
кинетическая энергия Т - энергия, зависящая от скорости и массы тела: ;
потенциальная энергия П - энергия, зависящая от взаимного расположения взаимодействующих тел: или.
Сумма кинетической и потенциальной энергии системы называется полной механической энергией:
.
В механической системе все действующие силы можно разделить на два класса:
консервативные или потенциальные - силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела (например, сила тяжести);
диссипативные - силы, работа которых возрастает по величине независимо от формы траектории (например, сила трения); в случае действия таких сил механическая энергия переходит во внутреннюю.
Закон сохранения энергии имеет вид:
, (5)
. (6)
Изменение полной энергии механической системы равно работе внешних сил, действующих на нее - закон сохранения энергии для механической системы, находящейся под действием консервативных сил.
Если на систему не действуют внешние силы, то уравнения (5) и (6) принимает вид:
, (7)
. (8)
- закон сохранения полной механической энергии в замкнутой консервативной системы.
Общий закон сохранения энергии: энергия никуда не исчезает и не появляется вновь, она только превращается из одного вида в другой.
Рассмотрим явление удара. Удар - это кратковременное взаимодействие соприкасающихся тел, приводящее к значительному изменению состояния их движения.
Прямым называется удар, если нормаль к поверхности соударения совпадает с направлением движения тел до удара (рис. 1а).
Удар считается центральным, если нормаль к поверхности соударения совпадает с линией, соединяющей центры масс тел (рис. 1б), иначе удар называется косым.
Процесс удара можно разделить на две фазы. Первая - с момента столкновения тел до момента, когда их относительная скорость становится равной нулю. Вторая фаза - от этого момента, до момента, когда соприкосновение тел прекращается. Частное от деления относительной скорости тел после удара на скорость их до удараназываетсякоэффициентом восстановления:
. (9)
Существует два предельных типа удара:
Абсолютно упругий удар () - удар, после которого возникшие в телах деформации полностью исчезают;
Абсолютно неупругий удар () - удар, возникающий при столкновении тел из пластичных материалов, деформация после удара сохраняется, тела после удара движутся как единое целое.
Для сталкивающихся тел замкнутой системы, применим закон сохранения импульса, а при абсолютно упругих взаимодействиях – и закон сохранения энергии.
Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар. Для абсолютно упругого удара справедливы уравнения, выражающие закон сохранения импульса и энергии:
(10)
, (11)
где и– скорости шаров до удара,
и – скорости шаров после удара.
Решение системы уравнений (10) и (11) дает значения скоростей после удара:
,
.
В частном случае, если , то , .
Рассмотрим абсолютно неупругий центральный удар на примере двух шаров. Пусть шары движутся со скоростями и. Если после удара шары двигаются как единое целое, то к ним применим закон сохранения импульса. Пусть массы тели, их скорости до удараи, а их общая скорость после удара. Закон сохранения импульса при абсолютно неупругом ударе примет вид:
.
Тогда:
. (12)
В частном случае, если массы шаров равны: .
Кинетическая энергия системы до удара и после удара равны соответственно:
;
.
Вследствие деформации происходит "потеря" кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Энергия потерь после такого удара будет равна:
,
где приведенная масса шаров.
Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (), то
,
. (13)