- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •1. Растяжение-сжатие
- •Основные понятия и формулы
- •1.1. Расчет статически определимых стержневых систем Основные определения
- •Примеры решения задач
- •1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача № 2) Условие задачи
- •Решение
- •1.1.3. Определение грузоподъемности статически определимой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 3) Условие задачи
- •Решение
- •1.2. Расчет статически неопределимых стержневых систем Основные определения
- •Примеры решения задач
- •1.2.1. Расчет статически неопределимого составного стержня, работающего на растяжение-сжатие (задача № 4) Условие задачи
- •Решение
- •1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 5)
- •1.2.3. Определение грузоподъемности статически неопределимой шарнирно-стержневой конструкции (задача № 6) Условие задачи
- •Решение
- •2. Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности для сложного напряженного состояния
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •Решение
- •2.2. Исследование плоского напряженного
- •Решение
- •2.3. Расчет тонкостенной трубы,
- •Подверженной действию внутреннего давления, продольной силы и крутящего момента
- •(Задача № 9)
- •Основные формулы
- •Условие задачи
- •Решение
- •3. Кручение
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •3.1. Подбор сечения составного стержня (вала), работающего на кручение (задача № 10) Условие задачи
- •Решение
- •3.2. Расчет статически неопределимого вала при кручении (задача № 11) Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 1
3. Кручение
Рекомендуемая литература
Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995.Гл.5 (§ 5.1–5.4), гл. 11 (§ 11.5);
Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 6 (§ 27, 29–30, 32);
Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 6 (§ 6.1–6.4, 6.6, 6.7).
Основные понятия и формулы
При кручении поперечные сечения стержня поворачиваются вокруг его продольной оси, а продольные волокна при этом искривляются, превращаясь в пространственные кривые. Кручение вызывается парами сил, действующими в плоскости поперечных сечений. В поперечных сечениях стержня возникает одно внутреннее усилие крутящий моментМк.
Рис. 3.1. Правило
знаков для крутящего
момента
Напряженное состояние в любой точке поперечного сечения при кручении является чистым сдвигом, и в точках поперечного сечения возникают касательные напряжения.
Касательные напряжения при кручении стержня круглого сечения с радиусом R (или кольцевого сечения с внешним радиусомR) определяются по формуле
, (3.1)
Рис. 3.2. Касательные
напряжения
в круглом сечении
, (3.2)
где – полярный момент сопротивления.
Деформацию стержня круглого (кольцевого) сечения при кручении характеризует угол закручивания поперечного сечения на участке длиной (рис. 3.3)
. (3.3)
Рис. 3.3. Деформация
стержня при кручении
. (3.4)
Эпюры распределения касательных напряжений в стержнях прямоугольного сечения показаны на рис. 3.4. Максимальные касательные напряжения действуют в точках, расположенных по середине длинной стороны сечения. Они равны
Рис. 3.4. Распределение
касательных
напряжений
в прямоугольном
сечении
Напряжения в точках по середине короткой стороны
. (3.6)
Погонный и полный углы закручивания для стержней прямоугольного сечения определяются по формулам
; . (3.7)
Геометрические характеристики сечения, входящие в формулы (3.1)–(3.7), можно найти следующим образом.
Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления:
для круглого сечения
, ; (3.8)
для кольцевого сечения
; . (3.9)
Здесь отношение радиусов внутреннего и внешнего контуров кольца.
Для стержня прямоугольного сечения геометрическая характеристика жесткости
(3.10)
и момент сопротивления кручению
, (3.11)
где меньшая сторона прямоугольного сечения, а коэффициенты , , в формулах (3.6), (3.10), (3.11) определяются в зависимости от отношения сторон сечения по таблицам, имеющимся в справочной литературе, например в [3,§6.6].
Модуль сдвига в формулах (3.3) и (3.7)
. (3.12)
Целью расчета вала на кручение, как правило, является удовлетворение двум условиям: прочности и жесткости. Условие прочности в опасной точке вала при кручении записывается так:
, (3.13)
где [] берется либо на основании опытных данных, либо (при отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности, соответствующим материалу. Например, из теорий прочности для хрупких материалов, примененных для чистого сдвига, следуют такие результаты:
из второй теории прочности
; (3.14)
из теории Мора
, (3.15)
где .
Из теорий прочности для пластичных материалов при чистом сдвиге получим:
по третьей теории прочности
, (3.16)
по четвертой теории прочности
. (3.17)
Условие жесткости вала при кручении – это условие, ограничивающее деформации стержня, а именно:
, (3.18)
где – допускаемый погонный угол закручивания, величина которого нормируется.
Удовлетворяя этим двум условиям, можно либо подбирать размеры сечения, либо определять допускаемую нагрузку на стержень.