Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Пособие ч.1.doc
Скачиваний:
50
Добавлен:
28.03.2015
Размер:
4.12 Mб
Скачать

1.1. Расчет статически определимых стержневых систем Основные определения

Статически определимая стержневая система– это конструкция, состоящая из стержней, для определения внутренних усилий в которых достаточно уравнений статики. В данном разделе рассматриваются конструкции, стержни которых работают только на растяжение-сжатие, т. е. в каждом стержне возникает одно внутреннее усилие – продольная силаN.

Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием такой эксплуатации является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций, подробно о которых можно прочитать в [1, §3.12]. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности можно записать в таком виде:

, (1.5)

где – максимальное напряжение в конструкции, вычисляемое с помощью формулы (1.1);допускаемое напряжение которое находится по формуле

. (1.6)

В формуле (1.6) – предельное напряжение, которое является характеристикой материала. При достижении такого уровня напряжения в материале стержня наступаетпредельное состояние: появляются пластические деформации, если материал пластичный, или происходит разрушение, если материал хрупкий.n – нормируемый коэффициент запаса прочности.

Кроме формулы (1.5), возможен второй вариант записи условия прочности

, (1.7)

где

(1.8)

называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал оказался в опасном (предельном) состоянии.

Порядок решения большинства задач о проверке прочности статически определимых стержневых систем при расчете по допускаемым напряжениям таков:

  1. находим внутренние усилия (продольную силу при растяжении-сжатии);

  2. определяем напряжения и выявляем опасные сечения;

  3. вычисляем максимальные напряжения в опасных сечениях и используем условие прочности (формулы (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии).

Из условия прочности:

  • либо находим грузоподъемность конструкции, т. е. допускаемую нагрузку– максимальную нагрузку, обеспечивающую безопасную эксплуатацию конструкции;

  • либо подбираем сечения стержней, т. е. находим такие минимальные размеры поперечного сечения, которые обеспечивают безопасную эксплуатацию конструкции.

Если нагрузка на конструкцию задана и известны размеры поперечных сечений стержней, то просто проверяем прочность (по формулам (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии) и делаем вывод о возможности эксплуатации конструкции.

Примеры решения задач

1.1.1. Подбор сечения стержня, подверженного

растяжению-сжатию (задача № 1)

Условие задачи

Стержень переменного сечения с заданным отношением площадей подвержен действию нагрузок, показанных на рис. 1.3,а. Цель расчета – подобрать площади сечений так, чтобы на каждом участке соблюдалось условие прочности (1.5) или (1.7). (При этом должно выполняться заданное отношение площадей.)

Решение

Определяем продольную силу и строим эпюру N. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:

.

Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке:

на первом участке ) ;

на втором участке ;

на третьем участке .

Поясним, что на первом и втором участках суммируем все силы, находящиеся слева от рассматриваемого сечения, на третьем участке – силы, находящиеся справа от сечения.

Рис. 1.3. К решению задачи № 1:

а – схема нагрузки на стержень;

б, в – эпюры продольной силы и напряжений

Вычисляем значенияN на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит отx. В начале второго участка

,

в конце второго участка

.

Аналогично для третьего участка

, .

По полученным точкам строим эпюру N. На рис. 1.3,бэпюраN построена для следующих исходных данных:м,м;F1= 10 кН,F2= 40 кН,q1 = 15 кН/м,q2 = 20 кН/м.

Зная продольную силу, по формуле (1.1) находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. 1.3, в). Для этого площади сечений на всех участках выразим через одну неизвестную величину, используя заданное отношение площадей. Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т. е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются также и в местах изменения поперечного сечения.

Для подбора сечения по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении хрупкого материала много меньше, чем при его сжатии. Например, на эпюре , показанной на рис. 1.3,в, опасным является не только сечение в начале третьего участка, где действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в конце третьего участкас максимальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рис. 1.3, достаточно проверить прочность в трех опасных сечениях:

для чугунной части

, откуда,

и;

для стальной части

, тогда.

Из трех значений A1, найденных из условий прочности в опасных сечениях, выбираем то, которое удовлетворяетвсемусловиям (то есть максимальное их всех найденных значение. ВеличинуА2находим по заданному соотношению:.

Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке по формуле (1.8) и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках согласно (1.7) должен быть больше нормируемого.