1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача № 2) Условие задачи

Рис. 1.4. К решению задачи № 2:

а – схема нагрузки на стержень; б, в – эпюры продольной силы и напряжений

Стержень переменного сечения с соотношением площадей поперечных сеченийA₁/A₂ = 2 находится под действием сосредоточенных сил и собственного веса (рис. 1.4,а). Материал стержня на всех участках одинаков. Требуется построить эпюры распределения продольной силы и напряжений вдоль оси стержня и определить перемещение сеченияа–а.

Решение

Строим эпюры изменения продольной силы и напряжений вдоль оси стержня. Собственный вес стержня учитываем, заменяя его распределенной по длине нагрузкой. Интенсивность распределенной нагрузки равна собственному весу, действующему на единицу длины стержня, т. е.

на первом и втором участках

,

на третьем участке

,

где – объемный вес материала стержня.

Эпюры продольной силы и напряжений строим, используя метод сечений, аналогично тому, как это делали в задаче № 1. Заметим, что угол наклона эпюры продольной силы зависит от величины q и, следовательно, при построении эпюрыN в масштабе угол ее наклона на первом и втором участке должен быть больше, чем на третьем участке, так какA₁по условию больше, чемA₂ (рис. 1.4,б). Угол же наклона эпюры напряжений зависит от объемного веса, и поэтому угол наклона эпюры напряжений на всех участках одинаков (рис. 1.4,в).

Находим перемещение (опускание) сечения а–а.Это перемещение можно вычислять разными способами. Попервомуспособу для определения перемещения используем формулу (1.4). ЗдесьF – сосредоточенная сила, вызывающая перемещение участка длинойl;G – собственный вес рассматриваемого участка. Эту формулу можно использовать на участках постоянного сечения между сосредоточенными силами. Отсчет надо вести от неподвижного сечения, т. е. заделки. Например, в рассматриваемой задаче перемещение сеченияа–а складывается из удлинения участка длинойl₁, которое мы обозначимl₁, и удлинения участка длинойl_a–l_a. При определении удлиненияl₁ в формуле (1.4) силаFравна суммеF₁,F₂и собственного веса всех расположенных ниже участков. Вес рассматриваемого участка стержня длинойl₁:. Таким образом, по (1.4)

.

Удлинение l_aпроисходит под действием сосредоточенной силы, состоящей из силыF₂, веса участков стержня, расположенных ниже сеченияа–а, и собственного веса участка. То есть

.

Окончательно, опускание сечения а–аравно.

Если построена эпюра распределения напряжений, то для определения перемещения заданного сечения удобно использовать второй способ, применяя формулу (1.2). В формуле (1.2), длинойlслужит координатасечения, а– площадь соответствующей части эпюры напряжений. Подсчитав с учетом знака площади двух трапеций на участке между неподвижным сечением (заделкой) и сечениема–а (заштрихованные площадииэпюрына рис. 1.4,в) и разделить полученную величину на модуль упругости, получим искомое перемещение сеченияа–а:

.

При вычислении перемещения обращайте внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы. Рекомендуем окончательный результат записать в сантиметрах.