Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Nachertatelnaya_geometria / презентации / 4.Взаим. положение_кор.ppt
Скачиваний:
100
Добавлен:
29.03.2015
Размер:
729.09 Кб
Скачать

Лекция 4

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей.

Позиционные задачи

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

Прямая и плоскость:

Прямая принадлежит плоскости (см. тема 3): все точки прямой являются точками плоскости

Прямая параллельна плоскости: общих точек нет

Прямая пересекает плоскость: одна общая точка

Две плоскости:

Плоскости параллельны: общих прямых нет

Плоскости пересекаются: одна общая прямая

Принадлежность прямой плоскости

1

 

 

1

 

m

2

12

b2

 

 

а2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

22

 

2

 

n2

m

 

 

 

 

 

n

 

 

2

 

 

 

 

21

 

n1

 

n1

m

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

а1

11

 

 

1

 

1

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

1

b

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n m)1

 

 

(n m)

 

 

(1 m) ; 1 b

 

(1 m) ; (2 n)

 

 

а (1 И 2)

 

b n b

Прям я принадлежит плоскости, если она проходит:

 

 

1)

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через две точки этой плоскости;

 

 

 

 

2) через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой этой

 

плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

Параллельность прямой и плоскости

b

Признак параллельности:

Прямая параллель

А

плоскости, если о

n

параллельна како

 

прямой, лежащей

 

этой плоскости

b n b

 

Через точку А в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий, параллельных данной плоскости . Для однозначного

решения проведем в плоскости прямую n

Параллельность прямой и

плоскости

Задача:

Через точку D провести

b

фронталь, параллельную

плоскости ( АВС)

А

 

 

С

 

 

 

 

 

 

f2 D2

12

 

f2 2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

В2

А2

 

 

 

 

 

 

 

 

С1

 

 

 

f1 D1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b n b

11

 

f1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим в плоскости ( АВС ) вспомогательную фронталь f . Через

точку D проводим фронталь f , проекции которой параллельны одноименным проекциям фронтали f . Получаем искомую прямую f , параллельную заданной плоскости ( АВС )

Параллельность прямой и плоскости

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

n

 

 

а

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

а

 

( 1,

1

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

n

а

 

а n

2

m2

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

x m

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

П2

m2 2

m

Если прямая а параллельна плоскости общего положения, то в плоскости строят вспомогательную прямую n и выполняют условие параллельнос- ти одноименных проекций прямых а и n. Если плоскость проецирующая, то одна из проекций искомой прямой m параллельна следу плоскости

Параллельность двух плоскостей

m

n

b a

П2

x

х

2 2

х

1 1

П1

а m

 

1 1

 

b n

 

2 2

 

Признак параллельности: плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. В качестве прямых могут быть использованы следы плоскостей

Параллельность двух плоскостей

Задача 1:

Через точку D

 

провести плоскость

 

, параллельную

a

плоскости

(a b)

 

 

D

m

2 b

 

 

2

 

2

n

 

 

 

 

2

 

2a

 

2

 

b1

 

D

m

 

1

1

m a

1

n

 

1

 

 

 

 

n b

 

 

 

 

 

1

 

Задача 2: Построить плоскость

П1

2 2

x

х

х

1 1

1 1

1. Искомая плоскость задается двумя пересекающимися прямыми m

и n, проекции которых соответственно параллельны проекциям прямых а и b заданной плоскости.

2. У параллельных плоскостей и следы параллельны

Пересечение прямой с проецирующей плоскостью

 

П

 

 

 

2

 

 

 

2

 

n

 

1 n

 

 

1

 

 

 

 

2

 

2

 

2

2

 

 

2

 

 

x

 

1

 

n

 

 

x х

n

 

 

 

 

 

 

n 1

 

1

 

1

1

 

 

П1

 

1

 

1

 

1

1

 

 

Одна из проекций точки 1 (пересечения прямой n с проецирующей плоскостью ) находится на пересечении следа плоскости 1 с проек-

цией прямой n1 . Видимость прямой определяется по направлению взгляда наблюдателя, плоскость считается непрозрачной

Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью

 

2

22

 

 

 

 

12

 

 

 

 

2

2

 

 

x

1

 

х

 

 

 

 

 

11

21 1

 

 

 

1

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

горизонтально

проецирующая плоскость;( ) – плоскость

общего положения

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Необходимо найти две точки искомой линии пересечения, которые принадлежат одновременно двум плоскостям