- •Лекция 4
- •Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
- •Принадлежность прямой плоскости
- •Параллельность прямой и плоскости
- •Параллельность прямой и
- •Параллельность прямой и плоскости
- •Параллельность двух плоскостей
- •Параллельность двух плоскостей
- •Пересечение прямой с проецирующей плоскостью
- •Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью
- •Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью
- •Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
- •1 ПО. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
- •1 ПО. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
- •1 ПО. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
Лекция 4
Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей.
Позиционные задачи
Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
Прямая и плоскость:
•Прямая принадлежит плоскости (см. тема 3): все точки прямой являются точками плоскости
•Прямая параллельна плоскости: общих точек нет
•Прямая пересекает плоскость: одна общая точка
Две плоскости:
•Плоскости параллельны: общих прямых нет
•Плоскости пересекаются: одна общая прямая
Принадлежность прямой плоскости |
|||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
m |
2 |
12 |
b2 |
|
||
|
а2 |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
22 |
|
2 |
|
n2 |
m |
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
21 |
|
n1 |
|
n1 |
m |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
||
|
|
а1 |
11 |
|
|
1 |
|
1 |
|||
|
|
m |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
b |
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(n m)1 |
|
||||
|
(n m) |
|
|
(1 m) ; 1 b |
|||||||
|
(1 m) ; (2 n) |
|
|||||||||
|
а (1 И 2) |
|
b n b |
||||||||
Прям я принадлежит плоскости, если она проходит: |
|
|
|||||||||
1) |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через две точки этой плоскости; |
|
|
|
|
|||||||
2) через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой этой |
|||||||||||
|
плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
Параллельность прямой и плоскости
b |
Признак параллельности: |
|
Прямая параллель |
||
А |
||
плоскости, если о |
||
n |
||
параллельна како |
||
|
прямой, лежащей |
|
|
этой плоскости |
|
b n b |
|
Через точку А в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий, параллельных данной плоскости . Для однозначного
решения проведем в плоскости прямую n
Параллельность прямой и
плоскости
Задача: |
Через точку D провести |
|||||||||
b |
фронталь, параллельную |
|||||||||
плоскости ( АВС) |
||||||||||
А |
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
f2 D2 |
12 |
|
f2 2 |
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
В2 |
|||||||
А2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
С1 |
|
|
|
f1 D1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b n b |
11 |
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
В1 |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
А1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим в плоскости ( АВС ) вспомогательную фронталь f . Через
точку D проводим фронталь f , проекции которой параллельны одноименным проекциям фронтали f . Получаем искомую прямую f , параллельную заданной плоскости ( АВС )
Параллельность прямой и плоскости
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
n |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
1 1 |
а |
|||||
|
( 1, |
1 |
|
||||
|
|
|
|||||
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
n |
а |
|||||
|
а n |
2
m2
|
|
|
х |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x m |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
1 |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
П2 |
|||
m2 2 |
m |
Если прямая а параллельна плоскости общего положения, то в плоскости строят вспомогательную прямую n и выполняют условие параллельнос- ти одноименных проекций прямых а и n. Если плоскость проецирующая, то одна из проекций искомой прямой m параллельна следу плоскости
Параллельность двух плоскостей
m
n
b a
П2
x |
х |
2 2
х |
1 1
П1
а m |
|
1 1 |
|
b n |
|
2 2 |
|
Признак параллельности: плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. В качестве прямых могут быть использованы следы плоскостей
Параллельность двух плоскостей
Задача 1: |
Через точку D |
||||
|
провести плоскость |
||||
|
, параллельную |
||||
a |
плоскости |
(a b) |
|||
|
|
D |
m |
||
2 b |
|
|
2 |
||
|
2 |
n |
|||
|
|
|
|
2 |
|
2a |
|
2 |
|
||
b1 |
|
D |
m |
||
|
1 |
1 |
|||
m a |
1 |
n |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
n b |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
Задача 2: Построить плоскость
П1
2 2
x |
х |
х |
1 1
1 1
1. Искомая плоскость задается двумя пересекающимися прямыми m
и n, проекции которых соответственно параллельны проекциям прямых а и b заданной плоскости.
2. У параллельных плоскостей и следы параллельны
Пересечение прямой с проецирующей плоскостью
|
П |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
n |
|
1 n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
||||
x |
|
1 |
|
||||
n |
|
|
x х |
n |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
n 1 |
|
1 |
||||
|
1 |
1 |
|
||||
|
П1 |
|
1 |
|
1 |
||
|
1 |
1 |
|
|
Одна из проекций точки 1 (пересечения прямой n с проецирующей плоскостью ) находится на пересечении следа плоскости 1 с проек-
цией прямой n1 . Видимость прямой определяется по направлению взгляда наблюдателя, плоскость считается непрозрачной
Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью
|
2 |
22 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
x |
1 |
|
|||
х |
|
|
|
|
|
|
11 |
21 1 |
|
||
|
|
1 |
П |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
– горизонтально
проецирующая плоскость;( ) – плоскость
общего положения
Две плоскости пересекаются по прямой линии. Необходимо найти две точки искомой линии пересечения, которые принадлежат одновременно двум плоскостям