therm_p3

	r		1	r
	fu0	= −		f U ,
			γ

где U – потенциал внешнего силового поля.

Случайное же блуждание с макроскопической точки зрения имеет характер диффузионного процесса, поэтому диффузионный поток частиц можно записать (случай малых градиентов)

r

fuслуч = −D f ,

где величина D по физическому смыслу является коэффициентом диф-

фузии БЧ данного размера, массы в среде с данной T, η и т.д.

D можно определить экспериментально, но это сложно сделать во всех случаях жизни. В связи с этим рассмотрим предел t → ∞ , когда система достигнет своего состояния ТД равновесия (нет потоков, все характеристики постоян-

ны). Поэтому помимо df /dt имеем три уравнения для компонент потоков

r

1

r

r

fv

= −(

f U + D f ) = 0,

γ

которые можно записать в виде

∂lnf

∂

U

α

=

−

,α = x, y, z .

∂r

∂r

α

Df

Решение этого уравнения

r

r

U(r)

f(r)=const

exp

−

dγ

мы могли бы предсказать заранее, т.к. идеальный газ БЧ в поле U(rr) ха-

рактеризуется в равновесном случае больцмановским распределением

r

r

U(r)

f(r)=const exp −

,

(Θ = kBT ).

Θ

Сопоставляя эти выражения, мы получаем, что коэффициент диффузии

D просто связан с T, η и R БЧ

D =

Θ .

γ

Подставляя это выражение в уравнение непрерывности, получим уравнение для f ( r ,t )

168

	df		1 r r		Θ
		−		( f U ) −		f = 0.	(3.56)
	dt		γ		γ

Это и есть уравнение Фоккера-Планка (1914-1917). Дополненное условием нормировки, начальным (НУ) и граничными (ГУ) условиями, оно полностью определяет решение для искомой функции f ( r ,t ). Это решение определяет эволюцию системы на времени t >> −1, которая имеет релаксационный характер (к распределению Больцмана) с некоторым временем релаксации τполн, зависящим уже не только от индивидуальных свойств среды и БЧ, но и от на-

чального распределения, формы и размеров сосуда и т.д.

Рассмотрим случай отсутствия внешнего поля U = 0 и бесконечной одномерной системы с условием отсутствия потоков на бесконечности и НУ, со-

ответствующими нахождению БЧ в точке x = 0:

∂f	=	Θ ∂2 f		= δ (x);
∂t			; f (x,0)
		γ ∂x2				(3.57)
+∞						∂f |x→±∞ = 0.
∫ f (x,t)dx =1; f |x→±∞					= 0;
−∞						∂x

Решение уравнения (3.57), удовлетворяющее начальным и граничным условиям, выглядит следующим образом:

− x2

Θ

f(x,t) = 1 e 4 γ t . 4π Θγ

169

Рис. 3.25

Очевидно, что < x2n+1 >= 0 - ввиду симметрии функции f ( x,t ):

∂n +∞ ∂n π

<x2n+1 >= (−1)n ∂αn −∫∞ e−αx2 dx = (−1)n ∂αn α .

Вчастности, средний квадрат смещения БЧ определяется формулой Эйнштейна

<x2 >= 2 Θγ t .

Значение полученного решения для f ( x,t )не ограничивается только рамками рассмотренного примера. Эта функция может служить основой для получения ряда распределений по другим характеристикам свободного броуновского движения и для проведения оценок.

Оценим время заполнения БЧ сосуда конечных размеров. С математической точки зрения время такой релаксации равно ∞ . Речь идет о физической оценке эффективного времени релаксации.

Рассмотрим сначала одномерную систему, в которой движение БЧ ограничено стенками, так что − L < x < L. Если бы L → ∞ , то эффективный

170

размер облака БЧ определялся бы формулой Эйнштейна

< x2 >= 2Dt .

Если бы на расстоянии L = 2Dt от точки x = 0 по обе стороны стояли стенки, то внутри системы за это время t мы получили бы достаточно равномерное распределение БЧ. Поэтому и полагают, что время полной релак-

сации в слое − L < x < L имеет величинуτполн ~ L2 .

2D

Рис. 3.26

В двумерном случае (БЧ в плоской кювете радиусом R ) формула Эйнштейна имеет вид:

< r2 >=< x2 > + < y2 >= 4Dt →

R2

τполн ~ 4D .

Аналогично в трехмерном случае:

	τ полн		~		R2	,
				6D
	D =	Θ	=		Θ		.
		γ			6πaη

Полученная оценка груба, но универсальна, т.к. не зависит от формы со-

суда.

171

Таким образом, эволюцию БЧ можно представить как последовательность характерных ее этапов:

1) 0 < t < τ − механическая шкала времени, τ – время корреляции случайного взаимодействия F( τ ). Описание эволюции системы – задача теоретической механики о столкновении многих частиц. Движение полностью детерминировано.

2)t >> τ – первая грубая шкала времени, детали воздействия среды на частицу смазаны. В качестве динамических ее параметров выступают усредненные по t >> τ величины.

3)При t >> −1 устанавливается максвелловское распределение по им-

пульсам, и < (x − x0 )2 >= 2Θ t . ГУ несущественны.

γ

t >> −1 – вторая грубая шкала времени. Случайные блуждания БЧ приобретают характер диффузионного процесса. Частица в этом случае не имеет памяти (в механическом смысле) о своей скорости (распределение – максвелловское).

Такие процессы называются марковскими (будущее системы определяется только настоящим и не зависит от ее предыстории). Эволюция системы определяется уравнением Фоккера-Планка. ГУ и НУ существенны.

172