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Tipovoy_raschet_po_analiticheskoy_geometrii

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2122

Федеральное агенство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Липецкий государственный технический университет"

Кафедра высшей математики

Типовой расчет

по аналитической геометрии

Составитель Ю.Д.Ермолаев

Липецк 2009

ÓÄÊ 514.12(07) Å741

Типовой расчет по аналитической геометрии[Текст] /Сост. Ю.Д.Ермолаев. Липецк:ЛГТУ, 2009. 126 с.

Типовой расчет предназначен для студентов первого курса всех форм обучения, изучающих высшую математику.

Рецензент Ярославцева В.Я.

°c Липецкий государственный технический университет, 2009

 

 

ТР1-2 Аналитическая геометрия

3

 

 

Содержание

 

1.

Параллельность и ортогональность прямых

4

2.

Вычисление угла между прямыми

8

3.

Вычисление расстояния от точки до прямой

12

4.

Приведение уравнения прямой к нормальному виду

16

5.

Координаты основания перпендикуляра к прямой

18

6.

Проведение плоскости через точку (1)

22

7.

Проведение плоскости через точку (2)

26

8.

Точка пересечения прямой и плоскости

34

9.

Расстояние от точки до плоскости

40

10.

Углы между прямыми и плоскостями

44

11.

Угол между прямой и плоскостью

56

12.

Проведение плоскости через три точки

62

13.

Проведение плоскости через точку и прямую

66

14.

Проведение плоскости через параллельные прямые

74

15.

Расстояние от точки до прямой в пространстве

80

16.

Проведение плоскости через точку параллельно прямой

88

17.

Основание перпендикуляра к плоскости

94

18.

Расстояние между параллельными плоскостями

98

19.

Проведение плоскости через две точки

102

20.

Кривая второго порядка (1)

106

21.

Кривая второго порядка (2)

110

22.

Кривая второго порядка (3)

114

23.

Поверхность второго порядка

118

24.

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

122

4

ТР1-2 Аналитическая геометрия

1. Параллельность и ортогональность прямых

Через данную точку провести прямые параллельно и перпендикулярно данной прямой.

1.1. M(1; ¡3; 2)

5x ¡ 2y + 3 = 0

1.2. M(4; ¡3; ¡3)

y = 3x ¡ 2

1.3. M(¡1; 3; ¡1)

5x ¡ 3y + 3 = 0

1.4. M(3; 4; 2)

y = ¡3x + 3

1.5. M(¡3; ¡1; 4)

3x ¡ 3y + 4 = 0

1.6. M(2; 1; 0)

y = ¡3x + 3

1.7. M(¡1; 1; ¡3)

6x ¡ 2y + 4 = 0

1.8. M(¡1; 1; 2)

y = 2x + 1

1.9. M(¡3; ¡3; ¡2)

4x + 2y + 2 = 0

1.10. M(0; ¡3; ¡3)

y = 3x + 1

1.11. M(3; 2; 1)

5x ¡ 3y + 4 = 0

1.12. M(¡2; 0; 0)

y = 3x ¡ 2

1.13. M(3; ¡2; 4)

6x + 4y ¡ 2 = 0

1.14. M(¡2; ¡3; ¡2)

y = 3x + 1

1.15. M(¡1; 2; 3)

6x ¡ 2y ¡ 3 = 0

1.16. M(¡2; ¡2; 4)

y = ¡3x + 2

1.17. M(3; 1; 0)

5x + 2y + 2 = 0

1.18. M(¡1; ¡2; ¡3)

y = 2x + 3

1.19. M(2; 0; 4)

3x + 4y ¡ 2 = 0

1.20. M(¡3; ¡1; 2)

y = 2x + 3

1.21. M(1; 0; 2)

4x ¡ 3y + 3 = 0

1.22. M(¡3; ¡1; 4)

y = 2x + 1

1.23. M(¡2; 4; 0)

6x + 2y ¡ 3 = 0

1.24. M(4; 4; 4)

y = ¡3x + 3

1.25. M(0; 3; 1)

3x + 2y ¡ 3 = 0

1.26. M(¡3; ¡2; 4)

y = 3x ¡ 1

1.27. M(4; ¡2; ¡2)

5x + 4y ¡ 2 = 0

1.28. M(4; ¡1; 4)

y = 2x ¡ 3

1.29. M(¡1; 4; ¡3)

3x + 4y ¡ 3 = 0

1.30. M(¡2; ¡3; 2)

y = 3x + 1

 

ТР1-2 Аналитическая геометрия

5

1.31. M(1; 0; 2)

6x + 4y ¡ 3 = 0

 

1.32. M(2; ¡2; ¡1)

y = 2x + 3

 

1.33. M(1; ¡1; 0)

2x + 3y ¡ 3 = 0

 

1.34. M(¡1; 0; 4)

y = ¡2x ¡ 1

 

1.35. M(2; ¡2; ¡3)

6x + 3y + 2 = 0

 

1.36. M(¡2; 1; 4)

y = 3x ¡ 2

 

1.37. M(¡1; ¡1; ¡1)

4x ¡ 2y ¡ 2 = 0

 

1.38. M(4; 0; 1)

y = ¡2x + 1

 

1.39. M(0; 2; 3)

4x + 2y + 2 = 0

 

1.40. M(1; ¡2; 3)

y = ¡2x ¡ 3

 

1.41. M(¡3; ¡3; ¡1)

3x + 4y ¡ 3 = 0

 

1.42. M(1; ¡3; 2)

y = ¡2x ¡ 3

 

1.43. M(¡3; 1; ¡2)

4x ¡ 2y + 2 = 0

 

1.44. M(0; ¡2; ¡1)

y = ¡2x ¡ 1

 

1.45. M(3; 2; 0)

2x + 4y ¡ 3 = 0

 

1.46. M(3; 0; ¡1)

y = 3x ¡ 3

 

1.47. M(¡2; 0; ¡2)

5x + 4y + 2 = 0

 

1.48. M(4; ¡2; 2)

y = ¡2x ¡ 1

 

1.49. M(4; 4; 3)

5x ¡ 3y + 2 = 0

 

1.50. M(¡1; ¡1; ¡1)

y = 3x + 1

 

1.51. M(1; 1; ¡1)

2x + 4y + 3 = 0

 

1.52. M(4; 2; ¡3)

y = 3x + 2

 

1.53. M(2; 4; ¡2)

2x + 4y + 4 = 0

 

1.54. M(1; 3; 2)

y = 3x + 2

 

1.55. M(4; ¡1; 3)

5x ¡ 2y + 4 = 0

 

1.56. M(1; ¡1; ¡3)

y = ¡3x + 2

 

1.57. M(0; 0; ¡1)

5x + 3y + 4 = 0

 

1.58. M(3; 2; ¡1)

y = 3x ¡ 3

 

1.59. M(¡2; 1; ¡1)

2x ¡ 2y ¡ 3 = 0

 

1.60. M(¡2; 3; ¡3)

y = 3x + 1

 

6

1.61. M(1; 4; 4) 1.62. M(¡2; 1; ¡2) 1.63. M(¡3; 2; ¡1) 1.64. M(4; ¡1; ¡1) 1.65. M(0; 0; 1) 1.66. M(¡3; 0; 2) 1.67. M(¡1; ¡2; ¡1) 1.68. M(¡1; ¡3; ¡2) 1.69. M(¡1; ¡3; 0) 1.70. M(2; ¡2; ¡2) 1.71. M(1; ¡3; 3) 1.72. M(1; 0; ¡2) 1.73. M(0; 1; 3) 1.74. M(3; 4; 4) 1.75. M(2; 2; ¡2) 1.76. M(3; ¡2; 1) 1.77. M(¡3; 2; 3) 1.78. M(¡2; 2; 2) 1.79. M(¡2; 4; ¡3) 1.80. M(1; ¡2; 3) 1.81. M(¡2; ¡2; 1) 1.82. M(3; ¡3; 2) 1.83. M(¡2; 0; ¡3) 1.84. M(2; 1; 3) 1.85. M(0; 0; ¡2) 1.86. M(¡3; 2; 3) 1.87. M(1; 3; 2) 1.88. M(2; ¡1; 3) 1.89. M(0; 1; ¡2) 1.90. M(2; ¡1; ¡3)

ТР1-2 Аналитическая геометрия

3x ¡ 2y + 2 = 0 y = 2x ¡ 3

4x + 2y ¡ 3 = 0 y = ¡3x ¡ 1 4x ¡ 2y ¡ 3 = 0 y = ¡3x ¡ 1 6x + 2y ¡ 3 = 0 y = ¡3x + 3 5x + 2y + 3 = 0 y = 2x + 1

6x + 4y + 4 = 0 y = ¡3x + 3 6x ¡ 3y ¡ 2 = 0 y = ¡3x + 2 5x + 4y ¡ 2 = 0 y = 2x + 3

5x + 4y + 3 = 0 y = ¡3x + 1 2x + 4y ¡ 2 = 0 y = 3x + 1

5x + 4y + 3 = 0 y = 3x + 2

6x ¡ 3y + 3 = 0 y = 3x ¡ 3

6x ¡ 3y ¡ 3 = 0 y = ¡3x + 1 4x + 2y ¡ 3 = 0 y = 2x ¡ 3

6x + 2y + 4 = 0 y = ¡2x + 1

 

ТР1-2 Аналитическая геометрия

7

1.91. M(3; 4; 4)

5x ¡ 3y + 4 = 0

 

1.92. M(¡1; ¡1; 4)

y = ¡2x + 3

 

1.93. M(¡3; 4; 1)

4x ¡ 3y ¡ 3 = 0

 

1.94. M(4; 0; ¡1)

y = 2x + 3

 

1.95. M(¡3; 1; 3)

6x + 3y ¡ 3 = 0

 

1.96. M(¡1; ¡1; 0)

y = ¡3x + 3

 

1.97. M(4; 4; ¡1)

2x ¡ 3y ¡ 2 = 0

 

1.98. M(1; 3; 4)

y = ¡2x ¡ 1

 

1.99. M(3; ¡1; 0)

2x + 4y ¡ 3 = 0

 

1.100. M(4; ¡2; ¡3)

y = 2x + 1

 

1.101. M(¡1; 0; 4)

4x + 2y + 2 = 0

 

1.102. M(0; 0; 1)

y = 2x + 1

 

1.103. M(1; ¡2; 0)

2x + 4y + 3 = 0

 

1.104. M(4; ¡1; ¡2)

y = ¡2x + 3

 

1.105. M(¡3; 1; 4)

2x + 3y ¡ 3 = 0

 

1.106. M(¡1; 2; ¡1)

y = ¡3x + 2

 

1.107. M(4; 0; ¡3)

5x ¡ 3y ¡ 3 = 0

 

1.108. M(2; ¡2; ¡3)

y = 3x + 2

 

1.109. M(0; ¡3; 2)

4x + 3y ¡ 2 = 0

 

1.110. M(¡1; 3; ¡2)

y = ¡3x + 3

 

1.111. M(¡1; 2; 0)

3x ¡ 2y + 4 = 0

 

1.112. M(¡1; 2; ¡1)

y = 3x ¡ 2

 

1.113. M(1; 1; ¡2)

4x ¡ 2y ¡ 3 = 0

 

1.114. M(¡2; ¡1; ¡1)

y = ¡2x + 1

 

1.115. M(4; 4; 4)

3x ¡ 3y + 2 = 0

 

1.116. M(¡1; 3; ¡3)

y = ¡3x ¡ 2

 

1.117. M(0; 4; 0)

5x + 4y + 2 = 0

 

1.118. M(¡1; ¡2; 3)

y = ¡3x + 3

 

1.119. M(3; 1; 1)

2x ¡ 2y ¡ 3 = 0

 

1.120. M(2; 2; 3)

y = ¡3x ¡ 2

 

8

ТР1-2 Аналитическая геометрия

2. Вычисление угла между прямыми

Найти тангенс угла между прямыми.

2.1. 5x ¡ 2y ¡ 2 = 0,

y = ¡3x ¡ 2

2.2. 6x ¡ 2y + 4 = 0,

y = 3x ¡ 2

2.3. 4x + 2y ¡ 3 = 0,

y = ¡2x + 0

2.4. 5x ¡ 2y + 3 = 0,

y = ¡4x ¡ 2

2.5. 3x + 2y ¡ 1 = 0,

y = ¡2x + 2

2.6. 4x ¡ 2y + 3 = 0,

y = 2x ¡ 1

2.7. 2x + 3y + 3 = 0,

y = ¡2x + 2

2.8. 5x + 3y + 4 = 0,

y = ¡3x + 3

2.9. 6x + 2y + 2 = 0,

y = 2x + 0

2.10. 5x + 3y + 4 = 0,

y = 3x + 1

2.11. 5x + 4y ¡ 2 = 0,

y = 2x + 3

2.12. 5x + 3y + 2 = 0,

y = ¡4x + 1

2.13. 5x + 3y ¡ 1 = 0,

y = 3x ¡ 3

2.14. 6x ¡ 3y + 4 = 0,

y = 3x ¡ 1

2.15. 5x ¡ 3y + 3 = 0,

y = ¡2x + 0

2.16. 5x + 4y ¡ 2 = 0,

y = ¡2x + 3

2.17. 5x + 3y ¡ 2 = 0,

y = ¡2x ¡ 3

2.18. 2x + 3y ¡ 1 = 0,

y = 2x ¡ 2

2.19. 6x ¡ 3y ¡ 2 = 0,

y = 2x + 1

2.20. 2x + 3y ¡ 1 = 0,

y = 2x ¡ 1

2.21. 5x + 3y ¡ 2 = 0,

y = ¡4x + 1

2.22. 5x + 4y + 1 = 0,

y = ¡3x + 3

2.23. 4x + 2y + 2 = 0,

y = 3x ¡ 1

2.24. 2x ¡ 2y + 4 = 0,

y = 2x ¡ 2

2.25. 6x + 4y ¡ 2 = 0,

y = 2x ¡ 3

2.26. 4x ¡ 3y + 1 = 0,

y = 3x + 2

2.27. 5x + 3y + 3 = 0,

y = 3x + 1

2.28. 2x + 3y ¡ 1 = 0,

y = ¡3x ¡ 2

2.29. 4x ¡ 3y ¡ 2 = 0,

y = 2x + 3

2.30. 4x ¡ 2y + 2 = 0,

y = ¡4x ¡ 2

2.31. 6x ¡ 3y + 1 = 0,

ТР1-2 Аналитическая геометрия

9

y = ¡4x ¡ 2

 

2.32. 2x + 4y + 4 = 0,

y = ¡2x ¡ 1

 

2.33. 5x ¡ 3y + 3 = 0,

y = ¡4x + 1

 

2.34. 3x + 2y + 2 = 0,

y = 3x ¡ 1

 

2.35. 3x ¡ 3y ¡ 2 = 0,

y = ¡3x + 1

 

2.36. 6x ¡ 2y + 2 = 0,

y = ¡2x + 1

 

2.37. 4x + 2y + 1 = 0,

y = ¡4x + 3

 

2.38. 5x + 4y ¡ 3 = 0,

y = ¡3x + 1

 

2.39. 2x + 3y ¡ 2 = 0,

y = ¡3x + 3

 

2.40. 6x + 4y + 2 = 0,

y = 3x + 2

 

2.41. 5x ¡ 3y + 4 = 0,

y = ¡4x + 1

 

2.42. 6x + 2y + 3 = 0,

y = ¡3x + 3

 

2.43. 5x ¡ 2y + 3 = 0,

y = ¡2x ¡ 1

 

2.44. 4x ¡ 3y ¡ 1 = 0,

y = ¡2x + 2

 

2.45. 6x + 2y + 1 = 0,

y = ¡2x + 3

 

2.46. 6x + 2y + 3 = 0,

y = ¡4x + 1

 

2.47. 5x ¡ 3y + 1 = 0,

y = ¡2x + 2

 

2.48. 3x ¡ 3y ¡ 2 = 0,

y = ¡4x + 1

 

2.49. 5x + 4y ¡ 1 = 0,

y = 3x ¡ 1

 

2.50. 3x ¡ 2y + 1 = 0,

y = ¡3x + 1

 

2.51. 5x ¡ 2y + 3 = 0,

y = 2x ¡ 3

 

2.52. 6x + 4y ¡ 2 = 0,

y = 2x ¡ 1

 

2.53. 2x ¡ 3y ¡ 3 = 0,

y = ¡4x ¡ 1

 

2.54. 5x + 3y + 1 = 0,

y = ¡3x + 3

 

2.55. 3x + 2y ¡ 2 = 0,

y = 3x + 2

 

2.56. 5x + 3y + 3 = 0,

y = ¡3x + 0

 

2.57. 3x ¡ 2y + 2 = 0,

y = ¡4x ¡ 2

 

2.58. 5x + 4y ¡ 2 = 0,

y = 3x + 0

 

2.59. 5x + 3y + 1 = 0,

y = 2x ¡ 2

 

2.60. 2x ¡ 3y + 1 = 0,

y = ¡2x ¡ 1

 

10

ТР1-2 Аналитическая геометрия

2.61. 3x ¡ 2y ¡ 1 = 0,

y = ¡3x + 1

2.62. 2x ¡ 3y ¡ 2 = 0,

y = 2x ¡ 2

2.63. 5x ¡ 2y + 1 = 0,

y = 2x ¡ 1

2.64. 4x ¡ 2y + 2 = 0,

y = 3x ¡ 1

2.65. 6x + 3y ¡ 1 = 0,

y = ¡4x ¡ 3

2.66. 5x ¡ 3y + 1 = 0,

y = 3x + 2

2.67. 6x ¡ 2y + 4 = 0,

y = 3x + 1

2.68. 6x + 2y ¡ 1 = 0,

y = 2x + 1

2.69. 5x + 4y + 1 = 0,

y = ¡2x ¡ 3

2.70. 5x ¡ 2y ¡ 2 = 0,

y = ¡3x + 3

2.71. 5x ¡ 3y + 4 = 0,

y = ¡4x ¡ 1

2.72. 4x ¡ 3y + 1 = 0,

y = ¡3x ¡ 1

2.73. 6x ¡ 3y + 3 = 0,

y = ¡4x + 1

2.74. 4x + 3y + 2 = 0,

y = ¡3x + 2

2.75. 4x + 2y + 3 = 0,

y = 3x + 1

2.76. 3x ¡ 3y ¡ 1 = 0,

y = 2x + 0

2.77. 6x + 2y ¡ 2 = 0,

y = ¡4x ¡ 3

2.78. 4x ¡ 3y ¡ 2 = 0,

y = ¡3x + 1

2.79. 2x + 4y + 4 = 0,

y = ¡3x + 1

2.80. 2x ¡ 3y + 4 = 0,

y = ¡4x + 3

2.81. 3x + 4y ¡ 1 = 0,

y = ¡3x + 1

2.82. 4x + 3y ¡ 3 = 0,

y = 2x + 1

2.83. 6x + 2y ¡ 3 = 0,

y = 2x ¡ 1

2.84. 2x ¡ 2y + 4 = 0,

y = ¡4x + 0

2.85. 6x + 2y + 4 = 0,

y = ¡3x ¡ 2

2.86. 2x ¡ 3y ¡ 2 = 0,

y = ¡4x ¡ 2

2.87. 5x + 3y + 4 = 0,

y = 2x ¡ 1

2.88. 6x + 2y ¡ 1 = 0,

y = ¡3x + 0

2.89. 5x + 2y ¡ 1 = 0,

y = ¡4x ¡ 2

2.90. 5x + 2y ¡ 1 = 0,

y = 3x ¡ 3