3. Первообразная функции комплексных переменных

Функция называетсяпервообразнойфункции в областив областиеслидифференцируема ви

Из теоремы Коши для односвязной области следует, что интеграл не зависит от формы путиПоэтому можно сформулировать следующее утверждение.

Теорема 1. Если однозначная функция дифференцируема в односвязной областито она имеет первообразную в этой области. Одной из первообразных является интегралгделюбой кусочно-гладкий путь, соединяющий фиксированную точкус текущей точкой. Все остальные первообразные имеют видгдепроизвольная комплексная постоянная.

Доказательство этой теоремы проводится так же, как и в действительном анализе. Используя эту теорему, нетрудно доказать следующие утверждения.

1. Если функция аналитична в односвязной областииеё первообразная в, то справедлива формула Ньютона-Лейбница

2. Если функция аналитична в односвязной областииеё первообразная в, то справедлива формула интегрирования по частям

Замена переменных в интегралах от функции комплексного переменного аналогична случаю функции действительного переменного. Пусть аналитическая функция отображает взаимно однозначно кусочно-гладкий контурв плоскостина контурв плоскости.Тогда

Замечание 2. Интегралы от элементарных однозначных функций в односвязных областях вычисляются по тем же формулам, что и в действительном анализе. Если же областьнеодносвязна, то это правило может нарушаться. Для вычисления интеграла от многозначной функции указывается, какая именно однозначная ветвь ее берется (см. ниже пример 7). Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. Если контур интегрированиязамкнут, то начальной точкойпути интегрирования считается та, в которой задано значение подынтегральной функции. Рассмотрим примеры.

Пример 3. Вычислитьпо кривой, соединяющей точки.

Решение.Для параболыимеем,. По теореме 1 предыдущей лекции имеем

Пример 4. Вычислить, где– дуга окружности,.

Решение.Положим,. Тогда, и по формуле (49) находим:

Пример 5. Вычислить.

Решение.Так как подынтегральная функцияаналитична всюду, то по формуле (7) вычисляем:.

Пример 6. Вычислить.

Решение.Функцииианалитичны всюду. По теореме 3 предыдущей лекции получаем, что

Пример 7. Вычислить,.

Решение.Функцияявляется многозначной:,;. Условиюудовлетворяет та однозначная ветвь этой функции, для которой. Действительно, при(и так как). Полагая теперь,на кривой, находим,и, следовательно,

============================================================

Лекция 9. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана

Пусть дана функциональная последовательность состоящая из комплексных функций (Тогда формальная сумма бесконечного числа слагаемых:

называется рядом,построенным по указанной функциональной последовательности. В частности, если всето ряд будет числовым. При этомобщий член ряда (1), а егоя частичная сумма.Множество

называется областью определения ряда (1).

Определение 1. Говорят, что ряд (1) сходится в точкек суммеесли существует конечный пределего частичных сумм. Это эквивалентно высказываниюЕсли здесь номер не зависит от (т.е.), то говорят, что ряд (1)сходится равномерно по (или равномерно на множестве).

Это определение фактически не отличается от аналогичного определения в действительном анализе. Поэтому здесь также справедливы следующие утверждения.

1. Если ряд (1) сходится в точке , то его общий членпри

2. Если ``модульный ряд'' сходится, то сходится и сам ряд (1)(в этом случае говорят, что ряд (1)сходитсяабсолютно; если ряд (1) сходится, а его ``модульный ряд'' расходится, то говорят, что (1)сходится условно).

Для нахождения области абсолютной сходимости ряда (1) и области его равномерной сходимости надо применить известные признаки сходимости (Даламбера, Коши, интегральный признак, признак Вейерштрасса) к действительному знакоположительному ряду При этом все свойства равномерно сходящихся действительных рядов рядов переносятся и на комплексные ряды. Эти свойства следующие.

3. Если ряд (1) состоит из непрерывных на множестве слагаемыхи сходится к суммеравномерно на множестве, то его сумманепрерывна на.

4. Если ряд (1) сходится равномерно на ограниченной кусочно- гладкой кривой и все его члены непрерывны нато ряд (1) можно интегрировать нат.е.

5. Если все члены ряда (1) аналитичны в ограниченной односвязной области и ряд (1) сходится равномерно в замкнутой областито его суммааналитична впричем

а ряд из производных будет сходиться равномерно по