В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций.

Лекция 1. Предел функции в точке и при Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций

1. Обозначения

Множества (любой природы) обозначаются большими латинскими буквами а их элементы – малыми латинскими буквамиБольшими латинскими буквами обозначаются также высказывания (например,{числоделится на 3}). Везде ниже вводятся следующие обозначения:

“всякий”, “каждый”, “ для всякого”,“для каждого”,

“существует”, “найдется хотя бы один”,

“принадлежит”, “не принадлежит”,

“следует из”, “вытекает из”,

“эквивалентно”, “необходимо и достаточно”, “тогда и только тогда”,

“входит в”, “содержится в”

или“по определению” (в тексте слово “если”)

логическое “И”, логическое “ИЛИ”,

объединение множеств ипересечение множестви

разность множеств идополнение(есливысказывание, тоотрицание высказывания).

Через обозначаются множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел соответственно

2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа

Модуль числа определяется следующим образом:

Свойства модуля:

1. 2. 3.

4. 5. 6. 7.

8.

3. Понятие функции

Пусть даны два множества и

Определение 1. Говорят, что на множеситве задана функцияотображающая множествов множествоесли каждому элементупоставлен в соответствие единственный элементпо законуПри этомназывается аргументом функцииазначением этой функции (при указаннном значении аргумента_). Множество называетсяобластью определения функции (обозначение:), а множество называется множеством значений этой функции.

Чаще всего функцию задают двумя способами: а) табличный способ (здесь для каждого аргумента указывается соответствующий) и б) аналитически (формулой; например ). При аналитическом задании функциив качестве области определения обычно берутестественную область определения, т.е. множество {выражениеимеет смысл}. Например,Будет также использоваться обозначениедля множества всех значенийкогдапробегает подмножество

4. Предел функции

Сначала дадим понятие предела функции в конечной точке Различают проколотую - окрестность точки которая определяется как симметричный интервал с выброшенной точкой

и просто - окрестностьточкисовпадающую с указанным интервалом:

Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестноститочки(в самой точкефункция можеть быть определена или нет; её значение в точкене существенно).

Определение 2. Говорят, что число P является пределом функции в точке( или приесли для произвольного числанайдется число(зависящее, вообще говоря, оттакое, что для всех значений, удовлетворяющих неравенствубудет иметь место неравенствоПри этом пишути читают: “ предел функцииприравен”.

Это определение записывают кратко так:

Отметим, что в этом определении не фигурирует значение функции в точке(стремится кнотак какЭто означает, что пределне зависит от того, каким является значение функции в точкеНапример, функции

имеют один и тот же предел в точке

Геометрически высказывание (1) означает, что для любого существует числотакое, что криваяпри всехлежит внутри полосыЕсли эта ситуация будет иметь место для произвольного интервала(или, что то же самое, для произвольногото числобудет пределом функциипри. Если же существует интервалтакой, что в любой проколотой окрестноститочкинайдется абсциссадля которойтоГеометрические соображения часто используют при доказательстве существования пределов для конкретных функций.

Теорема 1. Если существует (конечный) предел , то он единственен, а сама функция f(x) является ограниченной при , т.е.

существуют постоянные такие, чтодля всех из проколотой окрестноститочкиимеет место неравенство

Замечание 1. Если функция удовлетворяет условию,записанному в рамке, то ее называют функцией класса и пишут Функции класса обладают следующими очевидными свойствами.

Теорема 2. Если ито