Шпоры (ТОЭ)

10.

Первичные параметры однородной длинной линии.

Однородной (регулярной) называется линия, параметры которой не изменяются по длине.

R	2l	- сопротивление утечки.
l	S
1). Сопротивление на единицу длины: r			Rl		Ом					(учитывая нагрев)
		0	l				м
					g0			См
2). Удельная проводимость между проводами:											.
									м

Характеризует наличие утечки между проводами при неидеальном диэлектрике.

3).

BdS - магнитный поток.

S

u	L		di
t			dt
		См
Удельная индуктивность: L0						- характеризует запас энергии магнитного поля.
			м
						Ф
4). Емкость на единицу длины:			C0					- характеризует запас энергии электрического поля.
						м

Схема замещения длинной линии с помощью идеальных элементов.

Запишем второй закон Кирхгофа:

u du u r0dx i L0dx i

t

du r dx i L dx					i
	0		0
	u				t
du		dx
	x
u	r i L i				(1).
x	0		0 t
Запишем 1-й закон Кирхгофа.
i i di iд iС 0
di g		dx	u du		C dx	u du
	0				0		t

Пренебрегаем величинами следующего порядка малости:

u du u

	u			i
	x		r0 i L0 t
	i				u
	x		g0	u C0	t

1
2	- система телеграфных уравнений

Полученная системасистема дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами).

Чтобы найти решение надо в дополнение принять начальные условия:

11.

Решение системы уравнений (1) и (2) операторным методом.

С помощью преобразований Лапласа получаем:

i x,t	I x, p
u x,t	U x, p

	i	pI x, p i x, 0
	t
	u	pU x, p u x, 0
	t

Для определенности возьмем

i x, 0 0 ; u x, 0 0

d

x dx

Таким образом

dUdx r0 I pL0 I r0 pL0 I Z0 I

Z0 r0 pL0 - операторное продольное сопротивление на единицу длины.

dxdI g0U pC0U g0 pL0 U Y0 U

Y0 g0 pC0 - операторная поперечная проводимость на единицу длины.

Важно заметить, что Z0 1 , так как это абсолютно разные по свойствам величины.

Y0

	dU			Z0 I	(1a)
	dx
					- телеграфные уравнения в операторной форме.
		dI		Y0 U	(2a)
	dx

Это уравнения от одной переменной при нулевых начальных условиях.

Сведем систему (1a), (2a) к одному уравнению 2-го порядка.

d 2U Z0 dI =Z0 Y0 U dx2 dx

Z0 Y0 r0 pL0 g0 pC0 p - постоянная распространения

	d 2U	2 U	3		d 2U	2 U 0 - волновое уравнение (однородное уравнение 2-го
	dx2				dx2

порядка)

Характеристическое уравнение:

2 2 0

1,2 - решение характеристического уравнения.

U p A1 e x A2 e x

U x, p A1 p e p x A2 p e p x - решение для напряжения.

1а I

1

dU

A e x A e x

Z0

dx

Z0

1

2

Z

Y

1

0

Y

1

0

0

Z0

ZВ

Z0

Z0

Ом

Z

Z0

- волновое операторное сопротивление линии.

В

Y0

I x, p

A1 p

e p x

A2 p

e p x

- решение для тока.

ZВ

ZВ

A1 , A2 - неизвестные константы интегрирования. Найти их можно из граничных условий.

Граничные условия для линий удобно задавать в следующем виде:

(отсчет слева направо)

I (l, p)

u1 t e t u 0,t

u2 t RН i2 t

u l,t RН i l,t

U l, p RН I l, p

u 0,t	e t
U 0, p	E p

Граничные условия:

U

U

U

U

0, p

E p

l, p RН I l, p

0, p E p A1 p A2 p

l, p		A	p e l A			p e l
		1			2
		A	p	e l	A	p	e l
		1			2
		ZВ			ZВ

R		A1 p ,	A2 p
Н

Получаем полностью определенные решения

U x, p A1 p e p x

I x, p A1 p e p x

ZВ

A p e p x			(4а)
	2
	A2 p	e p x	(4в)
	ZВ

Для того, чтобы получить решение для напряжения и тока во временной области, переходим от изображений к оригиналу.

12.

Расчет распределенной системы в частотной области.

Рассмотрим установившийся режим в линии при синусоидальных токах и напряжениях.

p j

Z0 r0 jL0

Y0 g0 jC0

j ,

r0

j L0 g0 j C0

Z0 Y0

где - постоянная фазы (коэффициент),

- постоянная затухания (коэффициент).

В общем случае:

- зависят от частоты.

Z

Z0

r0 j L0

- волновое сопротивление линии.

В

Y0

g0 j C0

A p A j A

U x, p U j U x

I x, p I j I x

x A1

e

x

A2

e

x

(7а)

U

A

A

- решение телеграфных уравнений в комплексной форме.

I x

1

e x

2

e x

(7б)

ZВ

ZВ

y ch y U2 ZВ sh y I2

U

sh

y

- распределение напряжения и тока вдоль линии в

I y

U2

ch y

I2

ZВ

гиперболических функциях.

Входное сопротивление линии.

U

1

ch l U2 ZВ sh l I2

I2

ch l Z

Н ZВ sh l

ch l

Z

вх.л

I

sh l

U2 ch l I2

ZН

sh l ch l

1

ZВ

Z

В

ch l

ZН ZВ th l

ZВ

.

Z

В

Z

Н

th l

j

ZВ

- вторичные параметры длинной линии.

(8a)

U y U2 cos y j ZВ I2 sin y

sin

y

Распределения напряжения и тока вдоль линии в

y

j

U2 I2 cos y

I

(8б)

Z

В

тригонометрических функциях

Коэффициент отражения в линии без потерь.

n

Uобр 0

B

U

2

Z

в

I

2

Z

I

2

, U

Uпр 0

2

н

2

B1

U2 Zв I2

n

zн zв

,

n n

z

н

z

в

rн jxн zв

rн zв 2 xн2

n

,

Z

L0

,

n

n

1

n 1 .

rн jxн zв

в

r z

2 x2

C0

в

н

н

0 2

По коэффициенту отражения n удобно рассчитывать распределение U y и I y вдоль линии.

Действительную ось выбирают таким образом, чтобы угол между векторами Uпр 0 и Uобр 0

делился этой осью пополам.

Далее эти векторы вращаются с одинаковой скоростью y , но в разные стороны. Таким образом определяется положение максимумов и минимумов вдоль линии.

Zвх l

U

U

l

8

U2 cos l j ZВ I2 sin l

I

2 cos l

Z

Н j ZВ

tg l

1

I

l

U

Z

I

j

2

sin l I2 cos l

1 j

Н

tg l

1

Z

ZВ

В

ZВ

ZН j ZВ tg l

.

Z

В

j Z

Н

tg l

Zвх y ZВ

ZН j ZВ tg y

- сосредоточенный параметр, которым можно заменить любой

Z

В

j Z

Н

tg y

отрезок длинной линии вместе с нагрузкой так, чтобы в остальной части длинной линии распределения напряжения и тока не изменились.

13.

1). Линия, короткозамкнутая на конце.

n

z

н

z

в

z

в

1 1 180

U

обр 0

z

н

z

в

z

U

пр

0

в

				2
	Zвх	j Zв	tg l j Zв	tg		l	j xвх

Распределение Zвх y будет выглядеть следующим образом:

0 y

4

xвх 0

Zвх j L jxL

y

4 2

xвх 0

Zвх j 1C jxC

То есть сопротивление вдоль линии меняет свой характер.

При длине линии кратной вблизи этой точки Z 0 короткозамкнутая линия ведет себя как

2	вх
последовательный LC контур (режим резонанса напряжений), а при длине линии кратной

4

Zвх и линия ведет себя как параллельный LC контур (режим резонанса токов).

Рассмотрим распределения

(8a)

(8б)

	U y
		j ZВ I2 sin y
	I y I	2 cos y	стоячая волна.

			U	пр y B1 e		j y
			U y B e j y
				обр	2
			U y Uпр y Uобр y
U y,t ZВ I2		sin y sin t
	2

U y,t Um sin t sin y - уравнение стоячей волны

2). Линия, разомкнутая на конце.

ZН

n zн zв 1 zн zв