Задача 1

В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах. Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X₁ и мощности двигателя X₂ из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях.

1. Парные зависимости

1.1. Построить поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X₁, а также для цены Y и мощности двигателя X₂. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X₁ и Y от X₂ и записать их математически.

1.2. Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии: ,.

1.3. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надёжностью 0,9.

1.4. Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надёжностью 0,9.

1.5. Построить доверительные полосы надёжности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

1.6. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

2. Множественная зависимость.

2.1. По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

2.2. Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надёжностью 0,9.

2.3. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной надёжностью 0,95.

3. Экономическая интерпретация.

На основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.

Решение

1. Парные зависимости

1.1. Построим поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X₁, а также для цены Y и мощности двигателя X₂.

Рисунок 1. Поле рассеяния (возраст-цена).

Рисунок 2. Поле рассеяния (мощность-цена).

На основе визуального анализа выдвигаем гипотезы о линейной статистической зависимости Y от X₁ и Y от X₂ и записываем их математически.

1.2. Методом наименьших квадратов найдём оценки линейных уравнений регрессии:

, .

Оценки параметров можно получить по формулам.

Составим расчётную таблицу.

Таблица 2.

№	х1	х2	у	х1^2	x2^2	x1*y	x2*y	x1*x2	y^2
1	6	126	3	36	15876	18	378	756	9
2	3	116	7	9	13456	21	812	348	49
3	6	137	3,9	36	18769	23,4	534,3	822	15,21
4	7	120	1,3	49	14400	9,1	156	840	1,69
5	3	109	6	9	11881	18	654	327	36
6	4	123	6	16	15129	24	738	492	36
7	5	148	5,1	25	21904	25,5	754,8	740	26,01
8	6	139	4	36	19321	24	556	834	16
9	7	92	0,9	49	8464	6,3	82,8	644	0,81
10	3	112	7,2	9	12544	21,6	806,4	336	51,84
11	4	166	7,4	16	27556	29,6	1228,4	664	54,76
12	5	192	7,1	25	36864	35,5	1363,2	960	50,41
13	4	155	7,30	16	24025	29,2	1131,5	620	53,29
14	7	101	1	49	10201	7	101	707	1
15	6	177	4	36	31329	24	708	1062	16
16	3	112	5	9	12544	15	560	336	25
Сумма	79	2125	76,2	425	294263	331,2	10564,4	10488	442,02
Среднее	4,94	132,81	4,76	26,56	18391,44

Следовательно,

- зависимость цены от возраста.

- зависимость цены от мощности.

1.3. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализируем тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надёжностью 0,9.

Коэффициент парной корреляции определяем по формуле.

1) Проанализируем тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля.

Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции

Не существует линейная зависимость между Х₁ и У, т.к. -1≤ r_x,y ≤ 1 – не выполняется.

2) Проанализируем тесноту линейной связи между ценой и мощностью двигателя.

Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции

Проверим значимость коэффициента корреляции с надёжностью 0,9.

Проверка осуществляется по формуле:

1) В нашем случае для второго коэффициента

Условие выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля, и существует сильная линейная положительная связь между х₂ и у.

1.4. Проверим статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надёжностью 0,9.

Проверим с помощью критерия Фишера значимость уравнения регрессии (адекватность модели исследуемой зависимости):

1)

Рассчитаем коэффициенты детерминации для зависимости y от x₂:

т.е. вариация цены на 21,16% объясняется мощностью автомобиля.

Рассчитаем фактическое значение F – статистики Фишера по формуле:

Пусть доверительная вероятность р=0,9. По таблице найдём: F_t(0,1; 1; 14)=3,1.

Т.к. F_Ф >F_t (0,1; 1; 14), то гипотеза Н₀ отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Проверим статистическую значимость параметров полученной модели:

Для парной регрессии существует связь между статистиками Стьюдента и Фишера:

,

Для зависимости y от x₂ получаем: . Т.к. это значение больше=1,761, поэтому гипотезу о равенстве нулю коэффициентаβ₁ отвергаем.

1.5. Построим доверительные полосы надёжности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразим графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

Доверительные интервалы среднего значения цены для рассчитываем по формуле.

где - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала в точке;- значение независимой переменнойx₁, для которой определяется доверительный интервал; - квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1- и числом степеней свободы n-2. При =0,05 t_0,95;14=2,1448.

Значение стандартной ошибки S_y определяется по формуле:

_где ;- остаточная дисперсия уравнения регрессии.

Рассмотрим первое уравнение парной регрессии.

1. - зависимость цены от возраста.

Составим расчётную таблицу

Таблица 3.

х1	у
6	3	-0,39	0,155236	1,06	1,12890625	3,394
3	7	-0,26	0,068121	-1,94	3,75390625	7,261
6	3,9	0,51	0,256036	1,06	1,12890625	3,394
7	1,3	-0,81	0,648025	2,06	4,25390625	2,105
3	6	-1,26	1,590121	-1,94	3,75390625	7,261
4	6	0,03	0,000784	-0,94	0,87890625	5,972
5	5,1	0,42	0,173889	0,06	0,00390625	4,683
6	4	0,61	0,367236	1,06	1,12890625	3,394
7	0,9	-1,21	1,452025	2,06	4,25390625	2,105
3	7,2	-0,06	0,003721	-1,94	3,75390625	7,261
4	7,4	1,43	2,039184	-0,94	0,87890625	5,972
5	7,1	2,42	5,841889	0,06	0,00390625	4,683
4	7,30	1,33	1,763584	-0,94	0,87890625	5,972
7	1	-1,11	1,221025	2,06	4,25390625	2,105
6	4	0,61	0,367236	1,06	1,12890625	3,394
3	5	-2,26	5,112121	-1,94	3,75390625	7,261
79	76,2	-0,02	21,060233		34,9375	76,217
4,94	4,76

Представим полученные результаты графически

Рисунок 3. Поле рассеяния с полосой надежности.

Рассмотрим второе уравнение парной регрессии.

2. - зависимость цены от мощности.

Составим расчётную таблицу

Таблица 4.

№	х2	у
1	126	3	-1,52	2,322576	-6,81	46,41016	4,524
2	116	7	2,85	8,099716	-16,81	282,6602	4,154
3	137	3,9	-1,03	1,062961	4,19	17,53516	4,931
4	120	1,3	-3,00	9,012004	-12,81	164,1602	4,302
5	109	6	2,11	4,431025	-23,81	567,0352	3,895
6	123	6	1,59	2,518569	-9,81	96,28516	4,413
7	148	5,1	-0,24	0,056644	15,19	230,6602	5,338
8	139	4	-1,01	1,010025	6,19	38,28516	5,005
9	92	0,9	-2,37	5,597956	-40,81	1665,66	3,266
10	112	7,2	3,19	10,20164	-20,81	433,1602	4,006
11	166	7,4	1,40	1,948816	33,19	1101,41	6,004
12	192	7,1	0,13	0,017956	59,19	3503,16	6,966
13	155	7,30	1,70	2,900209	22,19	492,2852	5,597
14	101	1	-2,60	6,754801	-31,81	1012,035	3,599
15	177	4	-2,41	5,812921	44,19	1952,535	6,411
16	112	5	0,99	0,988036	-20,81	433,1602	4,006
Сумма	2125	76,2	-0,22	62,735851		12036,44
Среднее	132,81	4,76

Представим полученные результаты графически

Рисунок 4. Поле рассеяния с полосой надежности.

1.6. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

1) Подставляем в первую модель возраст 3 года, получаем точечный прогноз:

_7,261

Подставляем точечный прогноз среднего цены и в уравнения границ доверительного интервалаи получаем интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,95:

, или ; тыс. у.е.

2) Подставляем во вторую модель мощность 165 л.с., получаем точечный прогноз: тыс. у.е.

Подставляем точечный прогноз среднего цены ив уравнения границ доверительного интервалаи получаем интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,95:

, или ;тыс. у.е.