Раздел 1. Основные понятия теории вероятностей
Тема 1. Пространство элементарных исходов и события. Операции над событиями и отношения между ними
|
Название |
Обозначение |
Определение |
|
Испытание (опыт, эксперимент) |
|
Выполнение некоторого комплекса условий |
|
Элементарный исход (элементарное событие) |
|
Простейший неразложимый результат испытания |
|
Пространство элементарных исходов (элементарных событий) |
|
Множество всех возможных элементарных исходов испытания |
|
Событие |
A, B, C, … |
Любой результат (исход) испытания |
|
Событие A происходит (осуществляется) |
|
В результате испытания происходит (осуществляется) какой-либо элементарный исход A |
|
Достоверное событие |
|
Событие, которое в результате испытания обязательно происходит |
|
Невозможное событие |
|
Событие, которое в результате испытания произойти не может |
|
Случайное событие |
A, B, C, … |
Событие, которое в результате испытания как может произойти, так и не произойти |
|
Сумма (объединение) событий А и В |
А + В (A È В)
|
Событие, которое заключается в появлении хотя бы одного из них, т.е. в появлении либо только события А, либо только события В, либо этих событий вместе |
|
Сумма (объединение) событий А1, А2, ... , Аn |
А1 + А2 + ... + Аn =
(А1
È
А2
È
... È
Аn
|
Событие, которое заключается в появлении хотя бы одного из этих n событий |
|
Произведение (пересечение) событий А и В |
А В (A В) |
Событие, которое состоит в появлении этих событий вместе |
|
Произведение (пересечение) событий А1, А2, ... , Аn |
А1
· А2
· ... · Аn
=
(А1
Ç
А2
Ç
... Ç
Аn
|
Событие, которое состоит в совместном появлении всех этих n событий |
|
Событие дополнительное (противоположное) к событию А |
|
Событие, заключающееся в не появлении события А |
|
Разность событий А и В |
A \ B
|
Событие, которое заключается в появлении события A и не появлении события B |
|
Событие А влечет за собой событие В (событие А включается в событие В) |
A Ì B |
Из наступления события A следует наступление события B |
|
Равенство (эквивалентность) событий А и В |
А = В |
А Ì В и В Ì А (появление одного из этих событий влечет за собой появление другого) |
|
Несовместность событий А и В |
AB = Æ |
Совместное появление событий А и В невозможно |
|
Попарная несовместность событий А1, А2, ... , Аn |
AiAj = Æ, i, j = 1, 2, …, n ; i j |
Любые два события из этой совокупности вместе произойти не могут |
|
Полная группа событий А1, А2, ... , Аn |
|
В результате испытания обязательно произойдет хотя бы одно из этих n событий |
)
)
На рис. 1.1 изображены основные соотношения между событиями А и В. Результаты операций изображены в виде затемненных фигур.
Рис
1.1.
а) Сумма (объединение) событий А
+
В
(АÈ
B);
b)
произведение событий А×В;
с) разность событий А
\ В;
d)
противоположное событие
;e)
отношение включения А
Ì
В;
f) отношение несовместности А×В = Æ.
Рис. 1.2. Полная группа событий. Рис. 1.3. Полная группа попарно
несовместных событий.
Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами:
A + B = B + A, AB = BA (коммутативность);
(A + B) + C = A + (B + C), A(BC) = (AB)C (ассоциативность);
(A + B)C = AC + BC (дистрибутивность);
(
двойственность).
Если А – конечное множество, т.е. множество, состоящее из конечного числа элементов, то будем обозначать через N(A) число элементов в А и N N().